UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica

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1 Problema 1 Con riferimento al circuito in figura, nel quale l interruttore si chiude all istante t = 0, determinare l espressione di i 3 (t) per ogni istante di tempo t, e rappresentarne graficamente l andamento temporale. Dati: = 300 V, I 0 = A, = 100 Ω, = = 50 Ω, C = 1 µf. C t=0 i 3 (t) I 0 Problema Determinare l espressione della tensione v(t) nel dominio del tempo. Dati: I 0 = 1 A, v 0 (t) = cos ωt, = 1 V, ω = 10 6 rad/s, = = = 100 Ω, C = 0 nf, L = 10 mh. L I 0 C v(t) v 0 (t) Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, determinare il valore dell impedenza caratteristica Z X affinché il generatore eroghi tutta la potenza disponibile. In tali condizioni, calcolare la potenza assorbita e l ampiezza della tensione su ciascuna resistenza di carico. Dati: f = 100 MHz, P d = 1 W, = 50 Ω, Z g = 50 Ω, = 100 Ω, = 5 Ω. l/ Generatore P d Z g l/4 Z X

2 Soluzione del Problema 1 Prima dell istante t = 0 il circuito può essere diviso in due sottocircuiti che operano autonomamente in regime stazionario, in cui il condensatore si comporta come un circuito aperto, come mostrato nella seguente figura: v C (0 ) i 3 (0 ) I 0 Considerando il circuito di destra, poiché sulla resistenza non scorre corrente, si ha i 3 (0 ) = I 0 = A Inoltre si osserva che v C (0 ) = = 300 V Quando l interruttore si chiude, il circuito diventa: v 3 v C (t) C i 3 (t) I 0 Per t il circuito opera in condizioni stazionarie. Sostituendo il condensatore con un circuito aperto e applicando il metodo dell analisi nodale si ha: v 3 v 3 I 0 = 0 Sostituendo v 3 = i 3 ( ) e risolvendo si ottiene: i 3 ( ) = ( )I 0 = 3 A Nell istante t = 0, applicando il metodo dell analisi nodale, si ottiene: v 3 v C (0 ) v 3 I 0 = 0 Sostituendo v C (0 ) = v C (0 ) = e v 3 = i 3 (0 ), ossevando che =, si ottiene: i 3 (0 ) = I 0 = 4 A

3 Per il calcolo della costante di tempo si spengono i generatori e si vede facilmente che la resistenza equivalente vista ai capi del condensatore risulta R eq = //( ) = 50 Ω, da cui L espressioni della corrente risulta quindi i 3 (t) = τ = R eq C = = 50 µs A t < 0 3 e 0.0t [µs] A t > 0 Il grafico dell andamento della corrente è mostrato nella seguente figura: 4 3 i 3 [A] t [ms]

4 Soluzione del Problema Il circuito è alimentato da due generatori indipendenti. In particolare, il generatore di corrente I 0 lavora in regime stazionario (ω = 0) mentre il generatore di tensione v 0 lavora in regime sinusoidale (ω = 10 6 rad/s). Quindi, per calcolare v(t), è necessario trattare i due contributi separatamente. Per quanto concerne il contributo dato dal generatore di corrente I 0, il circuito equivalente è il seguente: I 0 V 1 Si ricava quindi che: V 1 = I 0 ( ) = I 0 = 50 V Per quanto concerne il contributo dato dal generatore di tensione v 0, il circuito equivalente nel dominio dei fasori è il seguente: Z C V dove: = Z C = 1 jωc = j50 Ω Si nota inoltre che è possibile modificare il circuito sostituendo al generatore di tensione ed alla resistenza il relativo equivalente di Norton: C V I 1 = / L ammettenza totale composta dal parallelo di C, e risulta pari a: La tensione V risulta quindi pari a: Y = jωc 1 1 = jωc

5 V = I 1 Y = V R 0 jωcr3 ( ) (ωcr = 0.5 j0.5 V 0.35 ) e j π 4 V A questo punto, per calcolare v(t), è necessario esprimere entrambi i contributi nel dominio del tempo al fine di poterli sommare: v 1 (t) = 50 V v (t) = 0.35 cos(ωt π 4 ) V v(t) = v 1 (t) v (t) = cos(ωt π 4 ) V

6 Soluzione del Problema 3 Poiché la linea collegata al generatore ha impedenza caratteristica pari a quella del generatore stesso (Z g = ), ipotizzando che tutte le linee siano senza perdite (assunzione lecita, non essendo fornita alcuna indicazione in proposito), dal punto di vista della potenza erogata ai carichi il circuito dato equivalente a quello mostrato nella seguente figura: Z A l/ Generatore V 1 P d Z g V I l/4 Z I Z X V Z B Per le proprietà delle linee in mezz onda e in quarto d onda, osservando che = e = /, si ha: da cui si ottiene Z I = Z A Z B = Z A = = = 100 Ω Z B = Z X = Z X Z X Z = X Affinché il generatore risulti adattato si deve avere 1 ( ) ZX Z I = Z g = Z X = = 50 Ω Osservando che Z A = Z B, risulta evidente che la potenza erogata dal generatore si distribuisce equamente su questi due carichi. Inoltre, essendo le linee senza perdite, tali potenze vengono assorbite solo dalle resistenze di carico. Si ha quindi: P R1 = P R = P d / = 0.5 W Note le potenze sui carichi, le ampiezze delle tensioni sulle due resistenze si calcolano come segue: V 1 = P R1 = 10 V V = P R = 5 V

7 Problema 1 Tutti i generatori presenti nel circuito in figura funzionano in regime stazionario. Calcolare per tutte le resistenze il valore di tensione (con le convenzioni di segno indicate) e determinare le potenze assorbite o erogate da tutti gli elementi del circuito. Dati: = R 5 = 100 Ω, = R 4 = 50 Ω, = 00 Ω, I 0 = 0.1 A, = 10 V. V 1 V 3 3I 0 R 4 V I 0 V 4 R 5 V 5 Problema Con riferimento al circuito in figura, in cui i due generatori operano in regime sinusoidale alla pulsazione ω, determinare la potenza attiva assorbita dal carico indicato nel rettangolo tratteggiato. Dati: ω = 10 6 rad/s, = 100 V, I 0 = A, R = 50 Ω, L = 50 µh, C = 0 nf. carico C L C I 0 R L Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, nell ipotesi che le linee di trasmissione siano in aria e che le perdite nel tratto in quarto d onda siano trascurabili, determinare i valori dell impedenza caratteristica Z 1 e della suscettanza B in modo tale che la linea principale risulti adattata. Dire con quale elemento può essere realizzata la suscettanza B e dimensionare tale elemento, sapendo che il generatore opera alla frequenza f. Calcolare infine la potenza attiva assorbita dal carico Z L. Dati: P d = 100 mw, f = 10 GHz, Z g = = 50 Ω, Z L = 00j100 Ω, d = 5 m, α = 0.6 db/m. linea principale Generatore P d Z g, a jb Z 1 Z L d l/4

8 Soluzione del Problema 1 Il circuito può essere separato in due parti che agiscono autonomamente, come mostrato nella seguente figura: V 1 I a 3I 0 V 3 R 4 V V a I 0 V 4 I b R 5 V b V 5 Applicando la KCL al nodo evidenziato nel circuito di sinistra si vede che sulla resistenza scorre una corrente pari a I 0, entrante dal morsetto negativo della tensione. Si ha quindi: V 1 = (I 0 ) = = 0 V Sulla resistenza scorre la corrente I 0 entrando dal morsetto positivo della tensione e quindi: Inoltre si ha che V a = V 1 = 0 V V = I 0 = = 5 V V b = V V a = 15 V Applicando il metodo alle maglie al circuito di destra si ottiene: R3 I a R 4 (I a I b ) = 0 R 4 (I b I a ) R 5 I b = 0 Tenendo conto del fatto che = 4R 4 e R 5 = R 4, risolvendo di ottiene Le tensioni sulle resistenze risultano quindi: I a = I b = = 10 = 0.1 ma R 4 50 V 3 = I a = 00 ( 0.1) = 0 V V 4 = R 4 (I a I b ) = 50 ( ) = 0 V 5 = R 5 I b = 100 ( 0.1) = 10 V

9 Le potenze assorbite o erogate dagli elementi del circuito sono quindi: P R1 = V 1 = ( 0) 100 = 4 W (assorbita) P R = V = 5 = 0.5 W (assorbita) 50 P R3 = V 3 = 0 00 = W (assorbita) P R4 = V 4 = 0 R 4 50 = 0 P R5 = V 5 = ( 10) R = 1 W (assorbita) P 3I0 = V a 3I 0 = = 6 W (erogata) P I0 = V b I 0 = = 1.5 W (assorbita) P V0 = I a = 0 ( 0.1) = W (erogata) P V0 = I b = 10 ( 0.1) = 1 W (erogata) Il bilancio di potenza complessivo risulta verificato: P R1 P R P R3 P R4 P R5 P 3I0 P I0 P V0 P V0 = 0 Si noti che, essendo il circuito separato in due sottocircuiti, anche i bilanci parziali di questi ultimi sono verificati: P R1 P R P 3I0 P I0 = 0 P R3 P R4 P R5 P V0 P V0 = 0

10 Soluzione del Problema Le impedenze associate alle induttanze e alle capacità sono: Z C = jx C = j 1 ωc = j = j50 Ω = jr Z L = jx L = jωl = j = j50 Ω = jr Pertanto il circuito da considerare è il seguente: carico jr -jr -jr I 0 V R R jr È evidente che la potenza attiva assorbita dal carico coincide con la potenza assorbita dalla resistenza R, per il cui calcolo è sufficiente calcolare la tensione V R. Può convenire applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Consideriamo il circuito in cui viene spento il generatore di corrente (sostituito da un circuito aperto): jr -jr -jr (a) V R R jr I due elementi reattivi ai lati di R sono in parallelo e di valore opposto e quindi si cancellano. L elemento jr nel ramo superiore e la resistenza R sono quindi in serie e sottoposte alla tensione. Si ha quindi: V (a) R = R R jr = 1 j = (1 j) 50 V Consideriamo ora il circuito in cui viene spento il generatore di tensione (sostituito da un corto circuito): jr -jr -jr I 0 V R (b) R jr In questo caso gli elementi alla sinistra del generatore di corrente hanno un impedenza equivalente infinita. Infatti, l elemento jr in parallelo al cortocircuito è ininfluente e gli altri due risultano in parallelo. Pertanto, il contributo alla tensione risulta: V (b) R = R(jR) R jr I 0 = j 1 j R I 0 = (1 j) 50 V

11 Si ottiene infine da cui V R = V (a) R V(b) R = (1 j) 50 (1 j) 50 = 100 V P R = V R R = = 100 W

12 Soluzione del Problema 3 Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura Generatore P d Z g Z I linea principale, a Y B Y A jb Z 1 Z L d l/4 affinché la linea principale risulti adattata deve essere Y B = 1/. D altra parte, tenendo conto delle proprietà delle linee in quarto d onda si ha: Y B = jb Y A = jb Y 1 = jb Z L Y L Z1 = jb R L jx L Z 1 = 1 dove R L e X L indicano rispettivamente la resistenza e la reattanza di Z L. Separando la parte reale e quella immaginaria nella precedente equazione si ottiene: B = X L Z 1 Z 1 = R L = = 100 Ω = X L = 100 = 10 ms R L Poiché la suscettanza B è negativa, può essere realizzata con un induttore di valore L = 1 ωb = 1 π nh 0.01 Volendo evitare l uso di elementi discreti, lo stesso valore di suscettanza potrebbe essere ottenuto con un tratto di linea in cortocircuito oppure aperta all estremità. Poiché la linea principale è adattata, indipendentemente dalla sua lunghezza l impedenza d ingresso coincide con l impedenza caratteristica della linea (Z I = ). Ma essendo = Z g anche il generatore risulta adattato ed eroga la sua potenza disponibile. Tale potenza sarà in parte dissipata lungo la linea principale; la rimanente parte sarà assorbita dal carico, dato che la suscettanza B e la linea in quarto d onda non assorbono potenza. La potenza che giunge a Z L coincide quindi con quella erogata a Y B. Poiché la linea principale è adattata, tale potenza risulta: P L = P d e αd 0.6 = P d e = 0.5 P d = 50 mw Il calcolo dell esponenziale poteva essere evitato notando che l attenuazione totale sulla tratta (espressa in db) è αd = 3 db, che corrisponde ad un dimezzamento della potenza.

13 Problema 1 Con riferimento al circuito in figura, nel quale l interruttore si chiude all istante t = 0, determinare l espressione di i(t) per ogni istante di tempo t, e rappresentarne graficamente l andamento temporale. Dati: = 100 V, I 0 = A, R = 100 Ω, C = 100 pf. C R i(t) R t=0 I 0 R Problema Con riferimento al circuito in figura, in cui i generatori indipendenti operano in regime sinusoidale alla pulsazione ω, determinare il circuito equivalente di Thevenin ai morsetti ab. Calcolare quindi la potenza disponibile del generatore e il valore del carico per cui tale potenza viene effettivamente erogata. Dati: ω = 10 6 rad/s, = 10 V, g = 0 ms, = = 100 Ω, = 50 Ω, C = 10 nf. a gv ab C V ab b Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, nell ipotesi che le linee di trasmissione siano senza perdite, determinare i valori delle suscettanze B 1 e B in modo il generatore risulti adattato. Indicare quindi una possibile realizzazione delle suscettanze B 1 e B così determinate. Calcolare infine l ampiezza della tensione sulla resistenza R e calcolare il massimo valore raggiunto dalla tensione nella linea in mezz onda. Dati: P d = 100 W, f = 500 MHz, Z g = Z 1 = 100 Ω, = R = 50 Ω. Generatore P d Z g jb 1 jb Z 1 R l/4 l/

14 Soluzione del Problema 1 Prima dell istante t = 0 il circuito opera in regime stazionario e il condensatore si comporta come un circuito aperto, come mostrato nella seguente figura: v C (0 - ) R i(0 - ) R i R I 0 v R R Risulta evidente che i(0 ) = 0 Inoltre, poiché i R = I 0 i(0 ) = I 0, si osserva che v C (0 ) = v R = RI 0 Quando l interruttore si chiude la parte di destra del circuito non influisce sul comportamento della corrente i(t), e il circuito diventa: C R i(t) v C (t) Per t il condensatore torna a comportarsi come un circuito circuito aperto e si ha quindi Nell istante t = 0, si ha i(0 ) = v(0 ) R La costante di tempo risulta i( ) = 0 = v(0 ) R = RI 0 R τ = RC = = 10 ns L espressioni della corrente risulta quindi 0 A t < 0 i(t) = e 0.1t [ns] A t > 0 Il grafico dell andamento della corrente è mostrato nella seguente figura: i [A] = I 0 = A t [ns]

15 Soluzione del Problema Il modo più semplice per risolvere il circuito è quello di utilizzare l equivalenza fra generatori di Thevenin e di Norton. Trasformando i due generatori di tensione (, ) in generatori di corrente, si ottiene il circuito a sinistra nella figura seguente, che, combinando i generatori di corrente e le resistenze in parallelo, coincide con il circuito di destra: a a gv ab C gv ab C V ab V ab b b Trasformando sia il generatore di corrente indipendente ( /, /) che quello comandato (gv ab, ) in generatori di tensione, si ottiene il circuito a sinistra nella figura seguente: gv ab C a V R 0 1 = V ab b Combinando in serie le due resistenze di valore / e, tenendo conto del fatto che g = 1, che / =, che = e che l impedenza associate alla capacità è: Z C = jx C = j 1 ωc = j = j100 Ω = j si vede che tale circuito coincide con il seguente: V ab -j a V ab b La tensione a vuoto del generatore coincide con V ab considerando il partitore di tensione: in quest ultimo circuito, e si ottiene V ab = j j (V ab ) = 1 j j (V ab )

16 da cui: e quindi ( j)v ab = (1 j)(v ab ) V T h = V ab = (1 j) = 10 j10 V Per il calcolo dell impedenza interna del generatore equivalente si devono spegnere i generatori indipendenti. Poiché nel circuito è presente un generatore dipendente, è necessario collegare ai morsetti ab un generatore di test, come indicato nella seguente figura: I I I 1 1 -j V ab V ab Si ha che: e che I = V ab V ab = 0 V ab I 1 = I 3 = j da cui Z T h = V ab = j = 100 j100 Ω I 1 La potenza disponibile del generatore equivalente è P d = V T h = R T h = 0.5 W e il carico da collegare ai morsetti ab affinché il generatore eroghi tale potenza è Z L = Z T h = 100 j100 Ω

17 Soluzione del Problema 3 Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura Generatore Y I Y C Y B Y A P d Z g jb 1 jb Z 1 R l/4 l/ per le proprietà delle linee in mezz onda si ha Y A = 1/R e quindi Y B = 1 R jb Ricordando le proprietà delle linee in quarto d onda si ha Y C = (1/) Y B = 1 Z 0 ( 1 R jb ) = 1 jz 0 B Imponendo la condizione di adattamento del generatore si ottiene l equazione complessa Y I = Y C jb 1 = 1 Z g = 1 1 jz 0 B jb 1 = 1 da cui ( jz 0B )jb 1 = 1 j B Svolgendo i calcoli ed eguagliando le parti reali e immaginarie si ha Z 0 B B 1 = 1 B 1 = B B 1 = ± 1 B = ± 1 Poiché la frequenza di lavoro non è molto elevata, tali suscettanze possono essere realizzate utilizzando dei condensatori (per valori positivi) o degli induttori (per valori negativi). Assumendo B 1 = 1/( ) e B = 1/ si ha C 1 = B 1 ω = 1 ω = 1 = 3.18 pf 50 π C = B ω = 1 ω = C 1 = 6.36 pf

18 Se, al contrario, si assume B 1 = 1/( ) e B = 1/ allora si ottiene L 1 = 1 = ωb 1 ω = 50 = 31.8 nh π L = 1 = ωb ω = L 1 = 15.9 nh Poiché il generatore risulta adattato, esso eroga tutta la potenza disponibile. Dato che le linee sono senza perdite, l unico elemento che può assorbire potenza attiva è la resistenza R. Si ha quindi V R = RP d = = 100 V Poiché il carico R è reale e R < Z 1, la sezione del carico rappresenta un minimo del diagramma d onda stazionaria nella linea in mezz onda. Inoltre, il rapporto d onda stazionaria si può calcolare come rapporto fra l impedenza caratteristica della linea e resistenza minima ottenendo da cui ROS = Z 1 R min = Z 1 R = = V max = ROS V min = ROS V R = 00 V Tale valore viene raggiunto ad una distanza pari a d max assumendo che le linee siano in aria, alla distanza d max = λ 4 = c 4f = = 15 cm = λ/4 dal carico resistivo, cioè,

19 Problema 1 Con riferimento al circuito in figura, nel quale l interruttore si apre all istante t = 0, determinare l espressione di i(t) per ogni istante di tempo t, e rappresentarne graficamente l andamento temporale. Dati: = 00 V, I 0 =.5 A, = 100 Ω, = 00 Ω, L = 0.5 µh. i(t) L I 0 t=0 Problema Con riferimento al circuito in figura, in cui il generatore di tensione opera in regime sinusoidale alla pulsazione ω, calcolare la potenza media assorbita dalla resistenza. Dati: ω = 10 9 rad/s, = 4 V, n = 4, α = 0.5, = 100 Ω, = 100 Ω, = 400 Ω, L = 50 nh. I L 1:n L ai L Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, progettare un adattatore d impedenza a parametri distribuiti in modo tale che il carico Z L risulti adattato alla linea principale. Nella determinazione delle lunghezze delle linee che costituiscono l adattatore, si assuma che esse vengono realizzate con un materiale di costante dielettrica relativa ϵ r e che siano senza perdite. Determinare quindi la potenza che giunge al carico Z L e l ampiezza della tensione V L, Nell ipotesi che la linea principale abbia una costante di attenuazione α. Dati: P d = 100 mw, f = 0 GHz, D = 10 cm, ϵ r = 4, α = 5 db/m, Z g = 50 Ω, = 50 Ω, Z L = 5 j 40 Ω. generatore P d Z g linea principale, a adattatore V L Z L D

20 Soluzione del Problema 1 Prima dell istante t = 0 il circuito opera in regime stazionario e l induttore si comporta come un corto circuito, come mostrato nella seguente figura: i(t) I 0 V 1 V Poiché è cortocircuitata si ha V = 0 e quindi V 1 =, da cui si ottiene i(0 ) = V 1 = = A Per t > 0 l interruttore si apre e il circuito diventa: i(t) L I 0 Nell istante t = 0, si ha i(0 ) = i(0 ) = A Per t l induttore torna a comportarsi come un cortocircuito. Risolvendo il circuito, ad esempio applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, si ottiene la corrente i( ) = I 0 = I = = 1 A Spegnere i generatori indipendenti si vede che la resistenza equivalente ai capi dell induttore risulta pari alla serie di e. Si ottiene quindi τ = L R eq = L = 300 = 5 3 ns L espressioni della corrente risulta quindi A t < 0 i(t) = 1 3 e 0.6t [ns] A t > 0 Il grafico dell andamento della corrente è mostrato nella seguente figura: 1 i [A] 0 4 t [ns] -

21 Soluzione del Problema Introducendo i simboli mostrati nella seguente figura I 1 I jx L I L V 1 1:n V ai L V 3 I 3 si ha che la potenza richiesta è data da: P 3 = Re V3 I } 3 = V 3 = V R 3 = V ( ) Per il calcolo della tensione V conviene osservare preliminarmente che X L = ωl = = 100 Ω = = 1 = 4 α = 1/n e che, per le proprietà del trasformatore ideale, si ha e, infine, V 1 = V /n I 1 = ni I L = V 1 jx L = V jn Applicando il metodo di analisi nodale e scrivendo le KCL per i due nodi superiori del trasformatore, tenendo conto delle precedenti relazioni, si ottiene V /n V jn ni = 0 I 1 n V V = 0 jn 1 4 Ricavando I dalla seconda equazione e sostituendola nella prima, esplicitando si ottiene: V = = 8 V che sostituita nella prima equazione permette di ricavare la potenza richiesta P 3 = 4 V (16 ) = V 18 = = 5 mw

22 Soluzione del Problema 3 Il circuito di adattamento può essere realizzato utilizzando diverse configurazioni. Tre possibili soluzioni sono mostrate nella seguente figura: R a Y b d Z A V L Z L Z A V L Y L V L Z L l/4 soluzione a d l/4 soluzione b d s d s soluzione c Indipendentemente dalla soluzione adottata, poiché le linee che costituiscono l adattatore sono senza perdite, tutta la potenza che giunge in fondo alla linea principale verrà assorbita dal carico. Pertanto, siccome la linea principale è adattata e quindi non c è onda riflessa, si avrà Ricordando che l ampiezza della potenza sul carico risulta P L = P d e αd = P d e = 0.89P d = 89 mw VL I } L VL V } L P L = Re = Re ZL = V L Re ZL } Z L V L = ZL P L Re Z L } = (5 40 ) = 3.98 V Affrontiamo ora il problema del progetto dell adattatore, esaminando le tre soluzioni proposte. Soluzione a Il primo passo prevede di individuare la lunghezza d della linea di impedenza caratteristica in modo tale da rendere il carico puramente reale. Dopo aver calcolato il valore normalizzato dell impedenza di carico Z L = Z L / = (5 j 40)/50 = 0.5 j 0.8 lo si colloca sulla carta di Smith (v. figura seguente). Ruotando in senso orario (dal carico verso il generatore) si individua la rotazione d/λ che rende il carico puramente reale (asse orizzontale). Il valore normalizzato risulta R a = 3.5, da cui R a = R a = 3.5 Inoltre si ha che d = = 0.13 λ

23 Tenendo conto del fatto che si ha λ = v f = c f ϵ r = = 7.5 mm d = 0.13λ = mm Affinché la linea in quarto d onda che realizzi l adattamento deve avere impedenza caratteristica Z A = R a = 3.5 = 1.87 = 93.5 Ω e deve essere lunga λ/4 = mm d/l Z L R a Soluzione b In questo caso la lunghezza d s dello stub deve essere scelta in modo da eliminare la parte suscettiva dell ammettenza di carico Y L = 1 Z L = Z L Z L 5 j 40 = 5 = 11.4 j ms 40 Si noti che Y L poteva agevolmente essere dedotta utilizzando la carta di Smith, semplicemente considerando il punto simmetrico rispetto al centro a partire da Z L. Poiché uno stub in cortocircuito presenta un ammettenza d ingresso pari a 1 Y stub = j tan πd s /λ bisogna imporre che 1 tan πd s /λ = ImY L

24 da cui d s = λ π ( arctan ) ( 1 1 nπ = λ ImY L π arctan n ) ( = λ n ) scegliendo come soluzione la linea più corta possibile si ottiene d s = λ 1 mm In queste condizioni si ha Y b = ReY L e, per realizzare l adattamento, la linea in quarto d onda deve avere impedenza caratteristica Z A = Z b = 50 = = 66.7 Ω Y b e deve avere la stessa lunghezza calcolata per il caso precedente. Soluzione c Si lascia allo studente la progettazione dell adattatore a singolo stub. Una possibile accoppiata di lunghezze per la linea e lo stub è la seguente: d/λ = = 0.30 d =.65 mm e d s /λ = = 0.10 d s = mm

25 Problema 1 Nell istante t = 0 sull armatura superiore del condensatore indicato nel circuito in figura è immagazzinata la carica Q. Successivamente, nell istante t = 0 i due interruttori vengono commutati istantaneamente (quello di sinistra si chiude mentre quello di destra si apre). Determinare l espressione di v(t) e i(t) per ogni istante di tempo t 0, e rappresentarne graficamente l andamento temporale. Dati: = 100 V, Q = 0.5 µc, C = 10 nf, = = 100 Ω, = 50 Ω, L = 75 µh. L t=0 t=0 i(t) C v(t) Problema Con riferimento al circuito in figura, determinare il generatore equivalente di Thevenin ai morsetti ab e calcolarne la potenza disponibile. Dati: = 10 j 10 V, g = 5 ms, r = 100 Ω, = 00 Ω, = 100 Ω, Z 1 = j 50 Ω, Z = j 100 Ω. gv ab a Z ri Z 1 I V ab b Problema 3 Assumendo che le linee di trasmissione nel circuito in figura siano realizzate con un materiale di costante dielettrica relativa ϵ r e che siano senza perdite, determinare la lunghezza d e il valore della capacità C affinché la linea principale risulti adattata. Calcolare quindi le potenze attive assorbite dal carico Z L e dalla resistenza R. Dati: P d = 0 mw, f = 1 GHz, ϵ r = 9, Z g = = 50 Ω, Z 1 = 100 Ω, R = 100 Ω, Z L = 100 j 100 Ω. Generatore P d Z g R C Z 1 Z L linea principale d

26 Soluzione del Problema 1 Prima dell istante t = 0 il circuito opera in regime stazionario e l induttore si comporta come un corto circuito. Inoltre, poiché sul condensatore c è immagazzinata la carica Q si ha: Quindi il circuito da considerare è il seguente: v(0 ) = Q/C = /10 8 = 50 V L i L (0 - ) v(0 - ) i(0 - ) Si ha quindi i(0 ) = v(0 )/ = 50/50 = 1 A E anche opportuno osservare che i L (0 ) = v(0 )/ = 50/100 = 0.5 A Quando commutano gli interruttori (t > 0) il circuito diventa: L i L (t) i(t) C v(t) Le due parti del circuito agiscono autonomamente come un RC forzato e un RL autonomo. Nell istante t = 0, si ha v(0 ) = v(0 ) = 50 V e i(0 ) = i L (0 ) = i L (0 ) = 0.5 A Per t la tensione sul condensatore coincide con quella del generatore v( ) = = 100 V mentre la corrente sul circuito di destra si annulla Le costanti di tempo dei due circuiti sono i( ) = 0 τ C = C = = 1 µs

27 τ L = L R eq = L = 150 Le espressioni della tensione e della corrente risultano quindi v(t) = i(t) = = 0.5 µs 50 V t = e t [µs] V t > 0 1 A t = e t [µs] A t > 0 I grafici degli andamenti della tensione e della corrente sono mostrati nelle seguenti figure: 100 v [V] t [ns] 1 i [A] t [ns]

28 Soluzione del Problema Per il calcolo della tensione di Thevenin bisogna lasciare i morsetti ab aperti e si ha quindi che su non scorre corrente e che V T h = V ab. Applicando la KCL al nodo comune tra ed si ha I = gv T h ri V T h Z Inoltre, si ha I = V T h che sostituito nell equazione precedente, tenendo conto del fatto che r =, g = 1/( ) e Z = j, fornisce: V T h = gv T h r VT h V0 Z V T h = V T h j da cui si ricava V T h = (1 j) = (1 j)(1 j)10 = j 40V Per il calcolo dell impedenza Z T h si deve spegnere il generatore indipendente di tensione e applicare ai morsetti ab una sorgente esterna (ad esempio di corrente), come mostrato nella seguente figura: gv ab Z ri Z 1 I V ab I X a Applicando la KCL al nodo comune tra ed, tenendo conto delle relazioni fra gli elementi indicate prima, si ha Inoltre e quindi da cui I = gv ab I ri Z I = V ab I X b I X = V ab I X V ab I X = V ab I X Z T h = V ab I X = ( ) = 600 Ω

29 La potenza disponibile del generatore è data da P d = V T h 8R T h = j = 0.33 W

30 Soluzione del Problema 3 Affinché la linea principale risulti adattata la sua ammettenza di carico complessiva Y a (v. figura) deve coincidere con la sua ammettenza caratteristica. Y a Y b Y c Generatore P d Z g R C Z 1 Z L linea principale d Si deve quindi avere Y a = 1 R Y b = 1 R jωc Y c = 1 Separando parte reale e immaginaria si ottengono le seguenti condizioni: ReY c } = 1 1 R = = = 1 Z 1 C = ImY c} ω La lunghezza d della linea può essere ottenuto per via grafica utilizzando la carta di Smith. Il carico normalizzato Z L = Z L /Z 1 = 1 j viene riportato sulla carta. Il suo simmetrico rappresenta l ammettenza normalizzata Y L equivalente a Z L. La lunghezza d si determina ruotando in senso orario (verso il generatore) fino a quando si incrocia il cerchio di valore ReY c } = ReY c } Z 1 = 1. I punti di incrocio possibili sono due, ma non sono entrambi accettabili. Infatti il punto sopra l asse orizzontale (indicato con A) darebbe luogo a valori positivi di ImY c } e quindi a valori non fisici della capacità (C < 0). E quindi necessario ruotare fino ad incontrare il punto B. Si nota che la rotazione compiuta è esattamente pari a π (d/λ = 0.5) e questo corrisponde ad un tratto di linea di lunghezza pari a λ/4. Si ha quindi d = λ 4 = c 4 ϵ r f = m =.5 cm Dalla carta si vede che il valore della suscettanza normalizzata nel punto B è 1. Il valore di capacità risulta quindi C = ImY c} ω = ImY c} Z 1 πf = 1 Z 1 πf = 1 = 1.59 pf 100 π 109 Infine, poiché anche la linea è adattata al generatore esso eroga tutta la potenza disponibile. Siccome ReY c } = 1/R, questi due carichi assorbono ciascuno metà della potenza disponibile.

31 Ovviamente la parte assorbita da ReY c } finisce tutta sul carico Z L, essendo la linea senza perdite. Si ha quindi: P R = P ZL = P d / = 10 mw d/l Y L A Z L B

32 Problema 1 Prima dell istante t = 0 il condensatore C indicato in figura ha ai suoi capi una tensione di valore V. All istante t = 0 l interruttore viene commutato dal morsetto a al morsetto b. Determinare l espressione della corrente i(t) per ogni istante di tempo e rappresentarne graficamente l andamento temporale. Dati: = 50 V, V = 100 V, I 0 = A, C 1 = 60 nf, C = 10 nf, = 5 Ω, = 50 Ω. i(t) C 1 I0 t=0 b a V C Problema Con riferimento al circuito in figura, determinare le potenze attive e reattive assorbite o erogate da ciascun elemento del circuito. Dati: I 0 = A, n = 10, r = 100 Ω, = 10 Ω, = 1 kω, X 1 = 10 Ω, X = 1 kω. I 0 jx 1 I a 1:n jx ri a Problema 3 Con riferimento al circuito in figura, sapendo che tutte le linee sono in aria, determinare la lunghezza d della linea in cortocircuito e l impedenza Z 1 della linea in quarto d onda in modo tale che la linea principale risulti adattata. Calcolare quindi l ampiezza della corrente sul carico Z L. Dati: P d = 100 mw, f = 5 GHz, D = 1 m, α = 0.1 db/m, Z g = = 50 Ω, Z L = 100j 100 Ω. d Generatore P d Z g linea principale, a D Z 1 Z L l/4

33 Soluzione del Problema 1 Prima dell istante t = 0 il circuito opera in regime stazionario e il circuito da considerare è il seguente: i(0 - ) v 1 (0 - ) v (0 - ) b a I 0 Per ispezione si vede che i(0 ) = I 0 = A Inoltre, poiché su non scorre corrente, si ha v 1 (0 ) = I 0 = 100 V Infine si osserva che v (0 ) = V = 100 V Quando commuta l interruttore (t > 0) il circuito diventa quello di sinistra nella seguente figura: i(t) v 1 (t) v (t) C 1 a b C I0 i(t) v 1 (t)v (t) C eq I 0 che è equivalente a quello di destra con All istante t = 0 la corrente è data da C eq = C 1C C 1 C = 40 nf i(0 ) = (v 1 (0 ) v (0 )) che tenendo conto della continuità della tensione sui condensatori diventa i(0 ) = v 1 (0 ) v (0 ) = I 0 V = I 0 V = 6 A

34 Poiché la resistenza vista dal condensatore equivalente quando si spengono i generatori coincide con, la costante di tempo del circuito risulta τ = C eq = = 1 µs Per t il circuito da considerare è il seguente i(t) I 0 b a e si vede immediatamente che i( ) = I 0 = A L espressione della corrente risulta quindi A t < 0 v(t) = 4 e t [µs] A t > 0 Il grafici dell andamento della corrente è mostrato nella seguente figura: i [A] t [ms] -6

35 Soluzione del Problema Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura I 0 jx 1 1:n I a I 1 I V 1 V I b jx I c ri a applicando l analisi nodale ai due morsetti indicati nel tratteggio si ottiene I 1 V 1 I 0 = 0 I V V ri a jx = 0 Ricordando le relazioni ingresso/uscita del trasformatore ideale (V = nv 1, I = I 1 /n), osservando che I a = V 1 /, sostituendo ed eliminando I 1 si ricava V 1 I 0 n V 1 n V 1 nrv 1 / jx = 0 È utile osservare che r/ = n. Si nota infatti che l ultimo termine della somma si annulla. Tenendo anche conto che = n si ricava V 1 I 0 n V 1 n = 0 V 1 = I 0 = 10 V Si possono ora ricavare tutte le quantità di interesse per il calcolo delle potenze: V = nv 1 = 100 V I 1 = I 0 V 1 = I 0 I 0 = 1 A I = I 1 n = 0.1 A = V 1 jx 1 ( I 0 ) = 10 j0 V I c = I V = = 0 Adottando la convenzione degli utilizzatori, le potenze complesse su tutti gli elementi risultano S I0 = I 0 S jx1 = jx 1 I 0 = 10 j0 VA (attiva erogata, reattiva induttiva) = j10 4 = j0 VAR (reattiva capacitiva) S R1 = V 1 = 100 = 5 W (attiva assorbita) 10 S R = V = = 5 W (attiva assorbita) 1000 S jx = jx I c S ria = ri ai c = 0 = 0

36 Soluzione del Problema 3 Affinché la linea principale risulti adattata la sua ammettenza di carico complessiva Y a (v. figura) deve coincidere con la sua ammettenza caratteristica Y 0 = 1/. Y b d Generatore P d Z g linea principale, a Y a V a D Z 1 I L Z L Y c l/4 Per le proprietà della linea in quarto d onda, osservando che Z L = j, si ha 1 Y c = Z1 /Z L = Z L Z 1 = Z 1 j Z 1 Inoltre, l ammettenza d ingresso della linea in cortocircuito è data da Y b = 1 j tan βd = j 1 tan βd Per avere l adattamento della linea principale deve essere verificata la condizione Y a = Y b Y c = j Eguagliando le parti reali si ottiene: Z 1 1 tan βd Z1 j Z1 = 1 = 1 Z 1 = = 70.7 Ω che sostituita nell eguaglianza fra le parti immaginarie fornisce 1 tan βd Z 1 = 1 tan βd 1 = 0 tan βd = 1 βd = π 4 nπ ricordando che β = π/λ, che alla frequenza di lavoro la lunghezza d onda in aria risulta λ = c/f = 6 cm, scegliendo come soluzione la linea più corta possibile (n = 0), si ha βd = π λ d = π 4 d = λ 8 = 6.5 mm Poiché la linea principale risulta adattata e il generatore è adattato alla linea, tutta la potenza disponibile viene erogata e giunge al carico Y a = 1/ subendo un attenuazione esponenziale. L ampiezza della tensione V a alla fine della linea risulta V a = P a = P d e αd = e (0.1/8.68) 1 = 3.16 V

37 e per le proprietà della linea in quarto d onda si ha I L = j V a = V a = 31.6 ma Z 1 Z 1