Linee di Trasmissione: Propagazione per onde

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1 Linee di Trasmissione: Propagazione per onde v + (z) Rappresentazione shematia di una linea di trasmissione z Definizione matematia dell onda di tensione he si propaga verso la z resente: ω 0 v ( z) = ( V e ) e + j t γ z 0 L onda é un fasore (ioé un vettore rotante) sia nel tempo (termine tra parentesi) he lungo la direzione z (seondo termine)

2 Posto γ=α+jβ, si ha: Signifiato della ostante di propagazione γ ( ) 0 v ( z) = V e e e + jω t α z jβ z Costante di attenuazione α: India la rapiditá on ui si ridue l ampiezza dell onda he si propaga. Si misura in Neper/m o in db/m (1Np = db) Costante di fase β: India la rapiditá on ui ambia la fase lungo la oordinata z (per t=ost). E legata alla lunghezza d onda e alla pulsazione dalla relazione β=2π/λ 0 =ω/ν (ν rappresenta la veloitá di propagazione he dipende dal mezzo heriempela linea). β si misura in rad/se

3 Parametri primari della linea Sezione Δz L Δz R Δz C Δz G Δz Gli elementi R, L, C, G, sono detti parametri primari della linea di trasmissione. Dipendono dalla struttura fisia della linea e dal mezzo he la riempe. Utilizzando i parametri primari si possono riavare le equazioni he governano la propagazione sulla linea (si impongono le equazioni di Kiroff alla maglia e al nodo sul tratto di lunghezza infinitesima e si integra) - 3 -

4 Parametri seondari Impedenza Caratteristia (Z ): él impedenzahesivedeall ingressodi una linea di lunghezza infinita (é presente solo l onda he si propaga verso le z resenti) Costante propagazione γ=α+jβ Formule di alolo in funzione dei parametri primari: L 1 R 1 Z =, α= + G Z, β = ω L C C 2Z 2 Queste relazioni sono valide per ω>> R/L, G/C; tali ondizioni sono in pratia sempre verifiate se la frequenza operativa è superiore a qualhe deina di MHz

5 Tensioni e orrenti sulla linea I(z) V(z) v + (z) v - (z) + jβz - Vz () = v () z+ v () z= V0e + V0e Z L + - V0 jβz V0 Iz () = i () z+ i () z= e e Z Z z + + jβz + + jβz v +, i + : Onde Inidenti v -, i - : Onde Riflesse L onda riflessa di tensione ha lo stesso segno dell onda inidente; l onda riflessa di orrente ha segno opposto rispetto a quella inidente. Entrambe sono legate tramite l impedenza aratteristia della linea Le onde riflesse si generano quando si introdue una disuniformitá nella struttura fisia della linea (nel aso rappresentato é il ario). Per annullare l onda riflessa bisogna he Z L sia uguale a Z C

6 Coeffiiente di riflessione Onda Riflessa V e V Γ ( z) = = = e =Γ e Onda Inidente V e V + jβ z jβ z j2β z + j2β z 0 Propietá di Γ(z): Il modulo non dipende da z (é ostante lungo la linea) La fase presenta, al variare di z, una periodiitá di λ/2 Il modulo é sempre minore di 1 quando il ario é passivo (la potenza riflessa non puó superare quella inidente)

7 Andamento del V(z) V V max + + [ 1 Γ ] V(z) = v (z) + v (z) = v (z) + (z) + 0 j2 β z V ( z) = V 1 + Γ e = 0 + V min V min z V 0 + { 2 } Γ 0 os( 2β z ) + Γ La tensione presenta un andamento periodio (stesso periodo di Γ) on massimi e minimi he valgono rispettivamente: V max 1+ Γ, V 1 min Γ Si definise Rapporto d onda stazionaria (ROS) il rapporto tra queste due tensioni: ROS = V max V min - 7 -

8 Impedenza lungo la linea I(z) Z(z) V(z) Z L Z( z) V ( z) = = I( z) Z 1+ 1 Γ( z) Γ( z) z Esiste una orrispondenza biunivoa tra il valore del oeffiiente di riflessione e l impedenza vista in ogni sezione della linea (normalizzata all impedenza aratteristia) OSSERVARE: L impedenza é quella vista verso il ario! Relazione inversa: Γ ( z ) = Z( z) Z( z) + Z Z - 8 -

9 Impedenza di un tratto di linea hiuso su una Z L generia I(z) V(z) Z, β L Z L Z in Vin = = I in Z Z jz L L + tan( β ) Z + jz tan( βl) L Casi partiolari: Z L = 0 (orto iruito) Z L = (iruito aperto) Vin L Zin = = jz tan( β L) = jz tan(2 π ) I λ in Vin L Zin = = jz ot( β L) = jz ot(2 π ) I λ in

10 Rappresentazione grafia di Γ Γ é un numero omplesso he puó essere rappresentato sul piano x, y in forma polare Γ Φ 1 Se il numero omplesso Γ rappresenta il oeffiiente di riflessione su una linea di trasmissione, il punto su piano é sempre all interno del erhio a raggio unitario -1 1 Γ

11 Rappresentazione grafia di Γ Il oeffiiente di riflessione su una linea di trasmissione priva di perdite si rappresenta sul piano ome un erhio di raggio pari al Γ. La fase varia di 360 per uno spostamento di λ/2 sulla linea d Γ b a Punti aratteristii: Linea adattata Γ =0 ( entro della arta) Ciruito Aperto Γ =1 (a) Corto iruito Γ =-1 (d) Massimo di tensione sulla linea (b) (Γ reale e positivo) Minimo di tensione sulla linea () (Γ reale e negativo)

12 Carta di Smith Sul piano di rappresentazione di Γ si possono traiare le urve he rappresentano il luogo dei punti in ui la parte reale (o la parte immaginaria) di z n =Z/Z rimane ostante: Γ () z + 1 Re{ Zin} = Re = ost ( r) Γ() z 1 Γ () z + 1 Im{ Zin} = Im = ost ( x) Γ() z 1 Queste urve sono dei erhi, il ui raggio e entro dipendono dal valore di r o x. La Carta di Smith é la rappresentazione grafia di tali erhi, he onsente di risolvere, per via grafia, molti problemi relativi all impiego di linee di trasmissione nei iruiti a miroonde

13 Angolo di Γ (si misura in gradi o in L/λ 0 Verso il generatore Cerhio a x = 1 Verso il ario Cerhio a r = 1 Asse di riferimento

14 Rappresentazione delle ammettenze sulla Carta di Smith Γ φ Π+φ Γ Impedenza nel punto Γ: Impedenza nel punto Γ : ( π+ φ) z n 1+ Γ = 1 Γ j jφ 1+Γ 1+Γe 1 Γe 1 Γ 1 z n = = = = = j 1 ( π+ φ) jφ Γ 1 Γe 1+ Γ e 1+Γ z n Il punto diametralmente opposto presenta l inverso dell impedenza del punto originale, ioè la sua ammettenza. La arta di Smith può rappresentare indifferentemente Z o Y

15 Γ0 0 Γ x Γ L Carta di Smith Spostamenti a Γ ostante Z L ( x) ( x ) j2βx j Γ j4π 0 λ Γ = Γ0 e = Γ0 e e j 2βd j Γ j4π L Γ ( d ) = ΓL e = ΓL e e Spostamenti su linee senza perdite Asse d d 0 Asse x Spostamenti su erhi a Γ ostante (ironferenze entrate nell origine) Spostamenti verso il ario spostamenti lungo x resente ( x) = Γ βx Γ Rotazione antioraria dal ario spostamenti lungo x resente ( x) = ΓL βd Γ 2 Rotazione oraria NOTA: Γ (z) è una funzione periodia della distanza on periodo λ/2 ( d ) λ

16 Carta di Smith Spostamenti a r o x Costanti Spostamento a x ostante r x L Γ L z L = r L + jx L Γ in z in = (r L + r) + jx L r L r in = r+r L Spostamento a r ostante jx x L Γ L Γ in x in = x L + x z L = r L + jx L z in = r L + j(x L + x) r L

17 Carta di Smith Spostamenti a g o b Costanti Carta delle Z Carta delle Y Spostamenti a b ostante Γ L g L Γ L b L g y L = g L + jb L Γ in Γ I,in Γ in y in = (g L + g) + jb L Spostamenti a g ostante jb y L = g L + jb L b Γ I,L L Γ I,in b in =b L +b g in =g L + g g L Γ L Γ L b L y in = g L + j(b L + b) b L Γ I,L Γ in g L Γ in b in =b L +b

18 Γ in L jx A d Z α = 0 B Z L Z = = Z + Z L Carta di Smith Esempio di Soluzione grafia jb Z L Z = 50 [Ω]; ε r = [4]; f 0 = 3 [GHz]; Z L = 20 + j40 [Ω]; (Z n =0.4+j0.8) β=7.2 [ /mm] B= 0.05 [Ω -1 ]; (b n =2.5) X = -80 [Ω]; (x n =-1.6) d = 15 [mm]; (βd=108 ) Γ L x in Γ in Γ A Γ B = [ rad] = βd = 40πd = βL Γ A Γ = Γin Zin = Z 96 j68 1 Γ in = + in [ Ω] Γ B b B