Angoli e misura degli angoli

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1 Angoli e misura degli angoli Prima definizione di angolo Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette distinte con l origine in comune, semirette comprese. Le semirette sono i lati dell angolo, l origine comune è detto vertice dell angolo Angolo orientato un angolo si dice orientato quando è generato da una rotazione del lato origine attorno al vertice fino ad arrivare al lato termine. Un angolo orientato si dice positivo se la rotazione è in verso antiorario, negativo se in verso orario. La definizione di angolo orientato permette di considerare angoli maggiori dell angolo giro α α α r r r r r r α > 0 α < 0 α > 2π

2 Misura degli angoli Gradi sessagesimali Si dice grado sessagesimale la misura dell ampiezza di un angolo pari alla 360-esima parte di un angolo giro. Sottomultipli del grado sessagesimale: Si dice minuto primo la sessantesima parte di un grado; si dice minuto secondo la sessantesima parte di un minuto primo. Radianti Data una circonferenza di raggio r e un angolo al centro α, che insiste su un arco AB, il rapporto tra la lunghezza di AB ed r è detto misura in radianti di α. N.B. dalla definizione di radiante è evidente che un angolo essendo il rapporto tra due lunghezze è, dal punto di vista fisico, adimensionale α = α = O AB r r α B A

3 Le funzioni seno e coseno circonferenza trigonometrica y 1 sin α sin α O α cos α P 1 x cos α α Consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza di centro l'origine e raggio 1). Consideriamo un punto P su di essa e l'angolo αformato dal raggio OP e dall'asse delle ascisse. L'ascissae l'ordinata del punto P sono rispettivamente il cosenoed il senodell'angoloα. P = (cos α, sin α).

4 Proprietà delle funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 2π sin(α + 2π) = sin α cos α + 2π = cos α a sin α cos α

5 Funzione seno con argomento (x) Sin a y=sin x x, argomento delle funzioni trigonometriche, angolo Funzione seno con argomento f(x) sin bx + c bx+c: è l argomento della funzione seno (o di qualsiasi funzione trigonometrica) e deve avere le dimensioni di un angolo, espresso in radianti a sin bx + c a: è max ampiezza dell oscillazione (pari a 1 nella funzione trigonometrica y=sin x)

6 Funzione seno con argomento f(x) sin x sin(f x ) In questa applet di Mathematica sono rappresentate due funzioni seno, la prima costante con ampiezza 1, mentre nella seconda è possibile variare l ampiezza a, la «frequenza» b, e la fase c sin x a sin bx + c

7 Le onde e le loro proprietà Onde marine Onde sonore La luce: onda elettromagnetica È necessario considerare la natura ondulatoria della luce in fenomeni quali polarizzazione, interferenza, diffrazione

8 Onda: perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio y = y(x, t) = Asin( 2π l x-2π T t)=asin 2π l (x vt) =Asin(kx-wt)

9 La fase dell onda L argomento del seno (o coseno) si chiama fase dell onda, e rappresenta un angolo y = Asin( 2π l x-2π T t+φ 0)=Asin(kx-wt+φ 0 ) Fase φ = 2π l x 2π T t+φ 0 Nella fase ho dei parametri: l, T e j 0 (fase iniziale) e delle variabili x e t Perciò la fase di un onda dipende da x e t.

10 y = Asin( 2π l x-2π T t 0)=Asin 2π l (x vt 0) = Asin(kx wt 0 ) 2 È come fare una fotografia (istantanea a t 0 )!

11 Equazione delle onde, rappresentazione spaziale : la lunghezza d onda Plot[ A Sin[2 Pi L x v t 0,.. Equivalente a A sin 2π λ x vt 0 λ=4 Dal grafico ricaviamo la distanza tra le ascisse di due massimi adiacenti oppure tra due punti qualunque di fase uguale. Questa distanza corrisponde alla lunghezza d onda dell onda sinusoidale

12 Equazione delle onde rappresentazione spaziale: la velocità Plot[ A Sin[2 Pi L x v t 0,.. Equivalente a A sin 2π λ x vt 0 Δx Δx = 3 con parametri λ = 4, v=3 L onda si muove con velocità costante, Quindi la velocità èlo spazio percorso nell unità di tempo v = Δx Δt se disegniamo la stessa onda a due tempi differenti, t=0 e t=1 e misuriamo Δx otteniamo la velocità v = 3 1 = 3

13 y = Asin( 2π l x 0-2π T t)=asin 2π l (x 0 vt) = Asin(kx 0 wt)

14 Equazione delle onde, rappresentazione temporale: il periodo Plot[ A Sin[2 Pi L x 0 v t,.. Equivalente a A sin 2π λ x 0 2π T t T Se rappresentiamo un onda a spazio fissato (x=0) possiamo ricavare direttamente il periodo dal grafico, basta infatti misurare l intervallo di tempo tra due punti successivi dell onda con la stessa fase. Si può confrontare il risultato con i parametri impostati ricordando che T = λ v = 2

15 Equazione delle onde, rappresentazione temporale: la frequenza 7.5 cicli in un secondo Se rappresentiamo un onda a spazio fissato (x=0) possiamo ricavare direttamente la frequenza contando il numero di cicli che l onda compie nell unità di tempo Si può confrontare il risultato con i parametri impostati ricordando che ν = 1 T = v λ = 7.5

16 Esercitazione Creare una nuova cartella in cui metterete il lavoro di oggi: Esercitazione9 1) Graficare la funzione f x = sin x cos x, ricavando dal grafico per quali valori delle ascisse si osservano i primi 3 massimi positivi 2)Disegnare in secondo grafico la funzione f x = sin x cos x insieme a f(x) = sin(x). Commentare le analogie e le differenze (es: ampiezze, periodicità) 3)Verificare che in un onda con velocità di propagazione v vale la relazione λ = vt A tal fine utilizzare la rappresentazione temporale per ricavare graficamente il periodo T e la rappresentazione spaziale per ricavare la lunghezza d onda λ. Verificare quindi la relazione sopra. L onda sarà descritta dall equazione f(x,t) f x = A sin 2π λ x vt usare A=3 m; λ=0.2 m; v=10 m/s scegliere opportunamente gli intervalli in x ed in t entro cui rappresentare l onda f(x) 4) Disegnare i due grafici della rappresentazione spaziale dell onda del punto 3) utilizzando valori di t 0 ottenuti sommando T/2 e T al dato utilizzato per i grafici del punto 3.

17 Commenti Leggere il testo.. f(x,t)=asin(2p/l(x-vt)) usare A=2; λ=0.2; v=8 Verificate quello che state facendo! Rappresentazione spaziale 2 Y 10 X X Se devo rappresentare una funzione periodica devo scegliere la X in modo che venga rappresentato qualche periodo della mia funzione. Se rappresento meno di un periodo non visualizzo tutto, se rappresento 1000 periodi avrò una rappresentazione inutilmente ridondante e si rischia di commettere degli errori come quello riportato in figura. -2