LE ONDE MECCANICHE 1 I MOTI ONDULATORI 2 FRONTI D ONDA E RAGGI 3 LE ONDE PERIODICHE CAPITOLO 14

Transcript

1 CAPITOLO 14 LE ONDE MECCANICHE 1 I MOTI ONDULATORI 1 Un onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia. Un impulso sonoro, per esempio dovuto a uno sparo, produce un onda sonora che, propagandosi attraverso l aria, raggiunge la neve: l impatto su questa può determinare il distacco di lastroni di ghiaccio e produrre una valanga. Si tratta di un impulso longitudinale poiché le persone si spostano nella stessa direzione di propagazione dell impulso. La velocità dell impulso è determinata dai tempi di reazione delle persone e dalla velocità con cui esse si muovono. 3 Lungo gli spalti. Il «mezzo» è l insieme degli spettatori. Ognuno si muove prima verso l alto e poi verso il basso. L onda è trasversale. 4 L onda è longitudinale. FRONTI D ONDA E RAGGI 5 Circonferenze concentriche. 6 Hanno forma sferica. 7 I fronti d onda sono porzioni di piano. 3 LE ONDE PERIODICHE 8 La frequenza di un onda periodica è sempre uguale a quella della sorgente. Può cambiare, a seconda del mezzo, la velocità e dunque la lunghezza d onda. 9 Le due onde hanno la stessa lunghezza d onda, ma la velocità di propagazione di un onda elettromagnetica nell aria è molto più elevata di quella del suono; dunque, poiché v λ f, la 1

2 frequenza delle onde elettromagnetiche è più elevata di quelle sonore. 10 f 1 T 1 0,17 Hz 6,0 s λ vt v λ T 90 m 15 m/s 6,0 s 11 λ 100 m 7,14 m 14 1 T 1 f Hz, s λ v f 343 m/s 446 Hz 0, 769 m 13 Il periodo delle onde è,0 s, la lunghezza d onda è pari a 6,5 m, dunque la velocità delle onde è v λ T 6,5 m 3,3 m/s,0 s 14 ( ) v s t L t 840 m 4,90 s f v λ 343 m/s 49 Hz 0,800 m 343 m/s T λ v 0,800 m 343 m/s, s 15 v λ f t s v s λ f 35,8 m,8 m ( )( 546 Hz) 0,033 s 16 Onda rossa: ampiezza 1 cm; lunghezza d onda cm. Onda verde: lunghezza d onda cm. Onda blu: lunghezza d onda 1 cm. La lunghezza d onda. 17 La distanza è data da

3 d v t ( 340 m/s) ( 4,0 s) 1, m La frequenza del suono è f v λ 340 m/s 7,43 m 45,8 Hz 18 La distanza tra una cresta e una gola vale λ v f 18 m/s 0,18 Hz ( ) 50 m La velocità di tale onda è v λ f λ( 3 f 1 ) 3( λ f 1 ) 3v 1 3 ( 18 m/s) 54 m/s 19 La frequenza dell onda generata è uguale alla frequenza della sollecitazione: f 1 T 1 1 s 1 Hz λ v f 5 10 m/s 0,05 m 1 s 1 0 La velocità di propagazione delle onde è sempre la stessa in una stessa molla. La velocità di propagazione delle onde dipende solo dalle caratteristiche fisiche e geometriche della molla. Velocità: 3,5 m/s 3,5 m/s,5 m/s,5 m/s,1 m/s, m/s 1 La velocità delle onde è data da ( )( 10 Hz) 0,50 m/s v λ f 0,50 m La profondità del liquido è h v g 0,50 m/s ( ),6 cm 9,8 m/s Il periodo rimane invariato. λ f (gh) λ 9,8 m/s 0,013 m 10 Hz 0,036 m 3,6 cm La forza di tensione della corda è uguale alla forza-peso dell oggetto appeso: 3

4 F T F p mg (,5 kg) ( 9,8 m/s ) 4,5 N La densità lineare della corda vale d L m L 0,050 kg,5 m 0,00 kg/m La velocità di propagazione dell impulso è v F T d L 4,5 N 0,00 kg/m 35 m/s 3 La densità lineare della fune vale d L F T v 400 N 0,0100 kg/m ( 00 m/s) La tensione della fune è ( ) 900 N F d L v ( 0,0100 kg/m) 300 m/s 4 La densità lineare del secondo cavo è il quadruplo della densità lineare del primo cavo. Dal problema modello, sappiamo che d L Sd. Inoltre, la tensione è direttamente proporzionale alla densità lineare, poiché la velocità non varia. Quindi la tensione sul secondo cavo è il quadruplo della tensione sul primo cavo: F 4F 1 4 ( 300 N) 100 N 1, 10 3 N 5 La distanza della località dall ipocentro, chiamata d, è percorsa dalle onde P in 4,0 s in meno rispetto alle onde S. Quindi t 4,0 s d 3,0 km/s d 5,0 km/s ( 5,0 km/s 3,0 km/s) d 60 km d 30 km 4 LE ONDE ARMONICHE 6 Le oscillazioni delle boe sono in fase, poiché la distanza che le separa è il doppio della lunghezza d onda. 7 Scegliamo in modo comodo il sistema di riferimento necessario per risolvere il problema, quindi poniamo in x 0 il punto di massimo dell onda e poniamo y 0 a metà altezza tra il massimo dell onda e il minimo, in modo da usare la formula [7] con ϕ 0 0. In questo modo il punto P, di cui dobbiamo trovare l altezza, ha x 0,500 m 50,0 cm. 4

5 y P 0 x 50,0 cm Sostituendo nella [7] i valori numerici del problema e usando una calcolatrice scientifica, troviamo: y(x) a cos π λ x + ϕ 0 6,8 y( P) ( 1,73 m) cos 4, m ( 0,500 m) + 0 ( 1,73 m ) cos ( 0,744 ) ( 1,73 m) ( 0,736) 1,7 m 8 y( t) a cos π T t ( 0,15 m) cos π 1,8 s t y( t) a cos π T t ( 0,15 m) cos π 1,8 s (, s) 0,06 m 9 π T t πt T s 0 rad L ampiezza dell oscillazione. 30 y( x) a cos π λ x a cos π vt x π y( 40 cm) ( 1,40 m) cos ( 1,88 m/s) (,13 s) 40,0 ( 10 m) 1,13 m cos π λ x 0 π λ x π x λ 4 vt 4 1,88 m/s ( )(,13 s) 1,00 m 4 5

6 1,4 1,13 1,0 y 0,5 0 0, x 0,5 1,0 31 L altezza dell onda rispetto al livello del mare è la sua ampiezza. La distanza tra le creste è la lunghezza d onda. L intervallo di tempo trascorso tra due creste è il periodo. Con questi dati calcoliamo la frequenza, la pulsazione e la velocità: f 1 T 1 0,13 Hz 8,0 s ω πf ( π rad) ( 0,13 Hz) 0,79 rad/s v λ f ( 15 m) ( 0,13 Hz) 1,9 m/s [ ] y( t) a cos( ωt) ( 0,80 m) cos ( 0,79 rad/s) t 3 π T t πt T 1 s λ vt ( 0,040 m/s) ( 1 s) 0,040 m 6

7 0,8 y 0,5 0,5 1,0 1,5,0 t 0,5 33 Dall onda di figura conosciamo ampiezza, lunghezza d onda e velocità di propagazione. Da queste ricaviamo la funzione d onda y(x) e la frequenza f. Infine, da quest ultima, ricaviamo l equazione dell onda x(t). La fase iniziale, per x 0 m, è pari a zero, quindi la curva è una cosinusoide: y( x) a cos π λ x a cos π 10 m x ( 0,50 m ) cos ( 0,63 rad/m ) x f v λ 5,0 m/s 10 m 0,50 Hz [ ] y( t) a cos( πft) ( 0,50 m) cos[ π ( 0,50 Hz) t] ( 0,50 m) cos πt La funzione armonica è dunque y ( 0,50 m) cos { } π [ x (5,0 m/s) t ] 10 m 34 L ampiezza della sinusoide è la semioscillazione: a 0,30 m 0,15 m La frequenza e la pulsazione sono: f 1 T 1 0,67 Hz 1,5 s ω πf π ( 0,67 Hz) 4, rad/s y( t) a cos( ωt) ( 0,15 m) cos( 4, rad/s) ( ) 7

8 0,15 y 0,10 0,05 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 t 0,05 0,10 0,15 35 Il punto P è in ritardo rispetto al punto A di un quarto di un intero ciclo. Dunque la differenza di fase tra i due punti è ϕ 1 4 ( π) π Il punto P è in fase con il punto D. Il punto E è in fase con il punto B. Il punto C è in anticipo rispetto al punto P di 3/4 di un intero ciclo. Dunque la differenza di fase tra i due punti è ϕ 3 4 ( π) 3 π Il punto C, poiché la differenza di fase tra il punto A e il punto C è ϕ 1 ( π) π La differenza di fase tra i punti B e D è ϕ 1 ( π) π 36 Conoscendo ampiezza e periodo dell onda possiamo determinare la sua funzione: y( t) a cos π T t ( 0,70 m)cos π 0,50 s t ( 0,70 m )cos ( 13 rad/s ) t Il grafico risulta il seguente: [ ] 8

9 0,7 0,6 y 0,4 0, t 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0, 0,4 0,6 37 λ v f 340 m/s 880 Hz 0,386 m y a cos π λ ( x vt) π ( 3,00 m) cos [ x 340 m/s 0,386 m ( ) t ] { [ ]} ( 3,00 m) cos ( 16,3 rad/m) x ( 340 m/s) t 5 L INTERFERENZA 38 Si ha interferenza costruttiva quando si incontrano linee dello stesso colore. 39 L interferenza è costruttiva perché i punti di a sono equidistanti dalle sorgenti S 1 e S. 40 ϕ 0 π A a cos ϕ 0 a cos π 4 a a 41 f 1 ω 1 π 1 0,16 Hz π 9

10 y 3 f ω π π 0,5 Hz π f 3 ω 3 π 0,3 Hz π a 1,0 m a 0,50 m a 3 1,0 m t 1 4 y x

11 43 Gli angoli di sfasamento possono essere trasformati da gradi in radianti ricordando la proporzione: α ( ) : 180 x (rad) : π rad Le equazioni d onda delle due onde che interferiscono sono: y 1 (t) a cos ωt + ϕ 1 ( ) 0,0 m y (t) a cos( ωt + ϕ ) 0,0 m [ ] ( ) cos ( 5 rad/s) t + 0,35 [ ] ( ) cos ( 5 rad/s) t +1,4 Applicando le formule di prostaferesi, si ottiene y( t) y 1 ( t) + y ( t) a cos ϕ ϕ 1 cos 10t + ϕ ϕ 1 ( 0,40 m ) cos π 6 cos ( 5 rad/s)t + π 6 44 A a cos ϕ 0 a cos ϕ 0 a ϕ 0 arccos Il grafico delle due onde al variare del tempo è y t 3 Il grafico dell onda ottenuta dalla sovrapposizione delle due onde è 11

12 La somma delle due onde armoniche è y( t) y 1 ( t) + y ( t) ( 0,60 m ) cos π 6 cos 10t + π 6 L onda risultante si annulla quando si annulla il coseno: cos 10t + π t + π 6 π + kπ 10t + π 6 k + 1 π 10t kπ + π 3 t k π 10 s 47 Dopo 1 s, gli impulsi si sono spostati di m: in questa situazione si sovrappongono e la corda si sposta verso il basso di,5 m (spostamento massimo) rispetto all asse x. Dopo s gli impulsi si sono spostati di 4 m e non interferiscono più. 48 L equazione dell onda risultante è y( t) y 1 ( t) + y ( t) a cos φ La condizione sulle ampiezze risulta: a cos φ cos ωt + φ A ( 0,6 m) cos φ 0,0 m Da questa condizione si calcola lo sfasamento: φ arccos 0,0 m 0,6 m 1,4 rad 49 Dalla condizione sulle ampiezze, so ottiene: 1

13 A a cos φ 1 4 a a cos φ cos φ 1 8 φ,9 rad 6 L INTERFERENZA IN UN PIANO E NELLO SPAZIO 50 L λ 1 v s f ( ) f v s L v s d + D D 340 m/s 43 Hz (,10 m) + (,80 m) (,80 m) 51 λ B x d P x A La differenza dei cammini D delle due onde è D DP AP x + d x k + 1 λ k 0, 1,, 3,... Sviluppando il calcolo si ricava x: x +16 x + k + 1 λ x +16 x + x k + 1 λ + k + 1 λ x La condizione 16 k + 1 ( k +1)λ 16 k + 1 ( k +1)λ λ 0 λ 0 13

14 è verificata se k + 1 ovvero se λ 16 k 4 λ 1 3,5 k 0, 1,, 3 Con questi valori di k ammessi, si ricavano le posizioni dei minimi: k 0 x 0 16 m k 1 x 1 4,6 m k x,0 m k 3 x 3 0,54 m 5 La posizione utile è quella in cui la differenza di cammino delle due onde sonore è uguale a mezza lunghezza d onda. Ci sono anche altre posizioni tali che la differenza di cammino è un numero intero di lunghezze d onda più mezza lunghezza d onda. A 1 P P P A La lunghezza d onda delle onde sonore è λ v f 340 m/s 170 Hz,00 m Sia P il punto centrale tra A 1 e A e sia P la nuova posizione della scrivania, che può essere a destra o a sinistra, come indicato in figura. Poniamo: A 1 P A 1 P x 5,0 m x A P A P + x 5,0 m + x Per avere interferenza distruttiva, la posizione della scrivania deve essere tale che A 1 P A P x λ e quindi x λ 4,00 m a 0,500 m Giulia si deve quindi spostare di mezzo metro, a destra oppure a sinistra, dalla posizione centrale P prima occupata

15 d 1 d A 1 P A La lunghezza d onda sonora è λ 340 m/s 900 Hz 0,378 m Siano d 1 e d le distanze dagli altoparlanti A 1 e A alle quali si può mettere il bicchiere. La condizione di interferenza costruttiva è d 1 d kλ sono quindi ricavabili dalle condizioni d 1 d kλ d 1 + d m e risultano d 1 1 m + k λ d 1 m k λ k...,, 1, 0, +1, +, La lunghezza d onda dell onda sonora da attenuare è λ v f 340 m/s 1000 Hz 0,340 m La condizione per l interferenza distruttiva è d 1 d 3 λ 0,510 m da cui d d 1 ± 0,510 m Perciò, se d 1,50 m, per d avremo i possibili valori 1,99 m e 3,01 m. 55 La lunghezza d onda delle armoniche è λ v f 50 m/s 5, Hz 5,00 10 m Si ha interferenza costruttiva quando le distanze delle due sorgenti dal punto P di osservazione differiscono di kλ. Possiamo scrivere, per k 1, d + ( 0,10 m) d λ 15

16 da cui ricaviamo d: d ( 0,10 m) λ λ ( ) ( ) ( 0,10 m) 5,00 10 m 5,00 10 m m 7 LA DIFFRAZIONE 56 Non vediamo l immagine di questa persona poiché la lunghezza d onda della luce visibile è dell ordine di mezzo micron (1 µm 10 6 m), troppo piccola per generare fronti d onda oltre l ostacolo. La lunghezza d onda del suono invece è dell ordine del metro, pertanto confrontabile con l ostacolo. Per questo motivo può aggirarlo e generare il fenomeno di diffrazione. 57 L onda di lunghezza d onda di 1 m diffrange contro lo scoglio più piccolo, superandolo facilmente. Lo scoglio più grande invece si comporta da schermo, così come avviene con un ombra generata dalla luce schermata da un ostacolo. Per questa ragione non vedremo l onda propagare appena dietro allo scoglio di lunghezza di 1 m. 16

17 PROBLEMI GENERALI 1 T 4 0,30 s λ vt 4v T 4 4,0 m/s 4 ( )( 0,30 s) 4,8 m λ 8,40 m 4,0 10 m 00 λ vt v λ T λ f 8,40 m 00 Dall equazione y( t) a cos π T t + ϕ 0 ( 50,0 Hz),10 m/s imponendo le condizioni iniziali t 0 s, y 8, cm, a 8, cm, si ricava ϕ 0 : 8, cm ( 8, cm) cos( 0 + ϕ 0 ) cosϕ 0 1 ϕ 0 π L equazione dello spostamento verticale è y( x) a cos π λ x + ϕ 0 ( 0,8 m) cos π 4,0 10 m x + π ( 0,8 m) cos ( 48 m 1 )πx + π 3 λ 8,0 10 m a 8,0 10 m T λ v 8,0 10 m 10 m/s 8, s f 1 T v f 10 m/s 8,0 10 m 1,3 10 Hz 4 λ 1, m v s t m 0,0 s T λ v 1,0 m 0,50 m/s,4 s f 1 T v f 5 0,50 m/s 1,0 m 0,50 m/s 0,4 Hz 17

18 I tempi impiegati dall onda ad attraversare i due mezzi sono t 1 s v 1 0,100 m 340 s, s t s v 0,100 m 1480 s 6, s La loro differenza risulta t t 1 t, s Le lunghezze d onda del suono in aria e in acqua sono λ 1 v 1 f 340 m 50 Hz 1,36 m λ v f 1480 m 50 Hz 5,9 m 6 Dalle condizioni iniziali si ricava l ampiezza iniziale: 0,015 m ( 0,030 m) cos( 0 + ϕ 0 ) cosϕ 0 0,5 ϕ 0 60 π 3 La legge delle onde armoniche in un punto fissato è y( t) ( 0,030 m ) cos 400 πt + π 3 7 La densità lineare del cavo è d L m L dv L dls L La velocità dell onda è v λ f ( 0,0 m) ( 500 Hz) 100 m/s ds ( 8960 kg/m3 )(, m ) 1,8 kg/m La tensione alla quale è sottoposto il cavo risulta: F T d L v ( 1,8 kg/m) ( 100 m/s) 1, N 8 v s velocità di propagazione del suono nel terreno; v velocità di propagazione del suono nell aria; s distanza indiani-bufali; t tempo impiegato dal suono a percorrere nel terreno la distanza indiani-bufali; t 1 tempo impiegato dal suono a percorrere nell aria la distanza indiani-bufali; t s v s s 10v t 1 s v 18

19 1 t t 1 s 1 ( v s v s t t 1 )v s v v v s ( 10 s)10v 9v 9 D distanza dell epicentro dalla stazione sismografica 3, m t S D v S tempo di arrivo delle onde S t P D v P tempo di arrivo delle onde P t S t P D 1 1 v S v P D t S t P ( ) v S v P v P v S 10 La forza a cui è soggetta la corda è F mg ( 1,5 kg) 9,8 m/s ( ) 14,7 N La massa per unità di lunghezza (densità lineare) della corda è d L m l 0,400 kg 10 m 0,040 kg/m La velocità con cui si propaga l impulso risulta v F d L 14,7 N 0,040 kg/m 19 m/s 11 Il periodo di rotazione del disco è T 1 60 s 1 33 min 33 1,8 s e dunque la velocità con cui si sposta un punto alla distanza dal centro assegnata è v πr T π 0,10 m ( ) 0,35 m/s 1,8 s Il disco scorre con questa velocità rispetto alla puntina e così anche le onde sul solco. La puntina viene sollecitata alla frequenza f data da f v λ 0,35 m/s 1, m,3 10 Hz 1 Le onde riflesse interferiscono con quelle che provengono direttamente dalla sorgente. L interferenza è costruttiva se la differenza di cammino è pari a un numero intero di lunghezze d onda. La differenza di cammino è data dal doppio della distanza del riflettore dal rivelatore. Dette l 1 e l le due distanze misurate, si ha l 1 nλ l ( n +10)λ 19

20 ( l l 1 ) 10λ λ l l 1,8 cm 5 13 A a cos ϕ 0 A ϕ 0 arccos a arccos 0,36 m ( 0,1 m) 6 y a cos ϕ 0 cos ωt + ϕ 0 ( 0,1 m 6 )cos cos 6 ( 10π rad/s)t + ( 0,36 m) cos ( 10 rad/s)πt π rad 14 3a a 3 a cos π 6 y ( t ) 3a cos ωt + π 4 a 3 cos ωt + π 4 a cos π 6 cos ωt + π 4 Dal confronto con la relazione trigonometrica cosα cosβ cos α + β si può porre ( ) + cos( α β) α ωt + π 4 β π 6 e quindi ottenere α + β ωt + π 4 + π 6 ωt π α β ωt + π 4 π 6 ωt π Di conseguenza si può scrivere y( t) y 1 ( t) + y ( t) essendo y 1 y ( t) a cos ωt π ( t) a cos ωt π ϕ 5 1 π π 1 π 3 0

21 A a a cos ϕ a ϕ arccos 1 ϕ ± π + 4kπ con k intero relativo arbitrario La lunghezza d onda del segnale è λ v f 340 m/s 1,70 m 1 00 s La differenza di fase tra due punti dell onda, distanti x, allo stesso istante di tempo, è data da ϕ π λ x Da questa si ha x ϕ π λ π 1 3 π ( 1,70 m) 0,83 m Fissato il punto x, la differenza di fase corrispondente all intervallo di tempo assegnato è ϕ π t πf t π( 00 s 1) ( 1, s) 1,3 rad T Nel primo caso la distanza tra le due sorgenti che emettono in fase è x 0,83 m. Le onde arrivano sul ricevitore con una differenza di fase pari a ϕ π 3 rad Nel secondo caso, se raddoppia la distanza tra le sorgenti, raddoppia anche la differenza di fase: ϕ π 3 rad Nel terzo caso, se triplica la distanza tra le sorgenti, triplica anche la differenza di fase: ϕ π rad Perciò le onde arrivano in opposizione di fase e si ha interferenza distruttiva. 16 La condizione che ottimizza l ascolto è quella in cui il suono alla frequenza desiderata ha un massimo di interferenza delle onde generate da ogni cassa acustica. Il disegno mostra la geometria del sistema. Calcoliamo innanzitutto la lunghezza d onda. Imponiamo la condizione di interferenza costruttiva, con k ±1: λ v f d 1 d λ 340 m/s 700 Hz 0,486 m ( 4,00 m) + x ( 4,00 m) + ( 3,50 m x) 0,486 m x,36 m 1,14 m 1