Problemi di Fisica. ONDE Moto Ondulatorio

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1 Problemi di Fisica ONDE Moto Ondulatorio

2 Una corda ha una densità lineare 8,0 g/m ed è soggetta a una tensione 00 N. Calcoliamo la lunghezza d'onda λ di un'onda trasersale armonica di frequenza f440 Hz che si propaga lungo la corda. Poiché la elocità di propagazione di un'onda armonica soddisfa la relazione: λf e per un'onda trasersale che si propaga lungo una corda è anche: si ha che: λ f , ,5 m Un'onda elastica trasersale si propaga lungo una corda tesa di densità lineare 6, g/cm con una elocità 5,0 m/s.! Calcolare la tensione cui è soggetta la corda. Per un'onda trasersale che si propaga lungo una corda è ero che: da cui è possibile ricaare la tensione cui è soggetta la corda: 6, ,0,35N AENZIONE: esprimere le grandezze fisiche nel SI.

3 Un'onda trasersale che si propaga lungo una corda tesa attraersa un primo tratto di densità lineare 0 g/m e successiamente un secondo tratto di densità lineare 80 g/m.! Determinare la relazione fra le lunghezze d'onda λ e λ dell'onda nei due tratti. Per un'onda trasersale che si propaga lungo una corda la elocità dipende dalla tensione e dalla densità del mezzo, per cui nei due tratti a diersa densità lineare abbiamo: () Però la tensione è indipendenti dal mezzo, per cui ricaiamo la dalle () e dal confronto otteniamo: () Poiché la elocità di propagazione di un'onda trasersale soddisfa la relazione: λf e tenendo presente che la frequenza f è indipendente dal mezzo, dalla () otteniamo la relazione fra le lunghezze d'onda λ e λ dell'onda nei due tratti a diersa densità lineare: λ f 4λ f λ Un onda trasersale iaggia lungo una corda che è tesa da una forza F 4N. Se la corda ha densità lineare 0 g/m e se l ampiezza e la frequenza dell onda sono rispettiamente A3 cm e f 00 Hz, calcolare la potenza media trasmessa dalla corda. Il alore medio della potenza trasportata dall onda trasersale è: λ E π A f Δx Δx P π A f doe: t t t doe: A 0,03 m f 00 Hz 0,00 kg / m F 4 0,00 0 m / s per cui la () assume il alore: P π 0, , W

4 Un'onda elastica si propaga in una sbarra metallica. Sapendo che l'equazione dell'onda è: y 0 6 & sin$ 0 % 4, x π* )# t'! (" doe tutte le grandezze sono espresse in unità del SI, ricaare l'ampiezza, la frequenza, la lunghezza d'onda e la elocità di propagazione dell'onda. Ricordando che l equazione di un onda può essere espressa nella forma: &, x y A sin$ π* % + λ t )# '! (" ed essendo /f e λ /f, assume anche la forma: &, x )# y A sin$ πf* t'! % + (" Dal confronto con l equazione data dal problema si ottengono le caratteristiche dell onda: 6! Ampiezza: A 0 m! Frequenza: f 0 Hz! Velocità di propagazione: 5 0 m / s 5 0! Lunghezza d onda: λ 0,5 m f

5 Un'onda sinusoidale si propaga lungo una corda tesa. Se la lunghezza d'onda è cm e la frequenza è 50 Hz, nell'ipotesi che la ibrazione sia nulla in un estremo della molla (x0) nell'istante iniziale e che la sua ampiezza sia uguale a 30 cm, determinare:. l'equazione dell'onda;. gli istanti in cui la ibrazione è nulla per x0; 3. il modulo della elocità massima e dell'accelerazione massima di una particella della corda.. L equazione di un onda può essere espressa nella forma: &, x y A sin$ π* % + λ t )# '! (" doe: A 0,30 m λ 0,0m λf 0,0 50 m / s 0,0 s f 50 e quindi: (. x t + % y 0,30 sin& π, )# 0,30 sin00 [ π(x t) ] () ' - 0,0 0,0 * $. Ponendo x0 nell'equazione dell'onda () troeremo la funzione sinusoidale che descrie lo spostamento dell'estremità della molla in funzione del tempo: y 0,30 sin [ 00πt ] Ricordando che la funzione seno si annulla quando il suo argomento è uguale a un multiplo intero di π, gli istanti in cui la ibrazione è nulla per x0 soddisfano la seguente relazione: n 00 π t nπ t con n 0,,, Per un alore di x fissato, l'equazione dell'onda descrie l'oscillazione armonica dell'elemento di corda posto in x. ale oscillazione ha ampiezza A0,30 m e pulsazione ωπf34 rad/s. Ricordando le proprietà del moto armonico, la elocità massima raggiunta da un elemento di corda è: e la sua accelerazione ale: ωa 34 0,30 94,m / s a ω A 34 0, m / s

6 Un'estremità di una corda tesa iene fatta oscillare in modo da generare un'onda trasersale progressia sinusoidale, caratterizzata da una frequenza f00 Hz, da un'ampiezza A,40 cm che si propaga con elocità 40,0 m/s. Nell'ipotesi che al tempo t0 l'estremità della corda sia spostata erso l'alto di un tratto y,0 cm, determinare l'equazione dell'onda espressa in funzione del numero d'onda k e della frequenza angolare ω. Determiniamo prima ω e k: ω πf π 00,6 0 3 rad / s k ω,6 0 40,0 3 3,4 m Al tempo t0 e nel punto di coordinata x0 la fase dell onda è diersa da zero. Si ha perciò: y, y A sin φ da cui: sin φ 0,5 φ 30 0,54 rad A,4 Scriendo l equazione dell onda nella forma: y A sin(kx ωt + ϕ) e sostituendo i alori numerici troati per i parametri ω, k e Φ, espressi nelle unità del SI, si ha: y,40 0 sin(3,4x,6 0 t + 0,54) 3 Un'onda armonica di ampiezza uguale a,0 cm e frequenza uguale a 5,00 Hz si propaga lungo un asse x fissato con elocità pari a 0,0 m/s.! Determinare l'equazione dell'onda, sapendo che lo spostamento è massimo per x0 e t0. La forma più generale dell'equazione di un'onda armonica è: y A sin(kx ωt + φ) doe la costante Φ rappresenta la fase dell'onda nel punto x0 e nell'istante t0. In questo caso, per x0 e t0 lo spostamento è massimo e quindi Φ dee soddisfare la condizione: sin φ φ π

7 La pulsazione dell onda per definizione è pari a: ω πf π 5,00 3,4rad / s mentre il numero d onda è: ω 3,4 k,57 rad / m 0,0 In definitia, l equazione dell onda assume la forma: ' π $ y 0,0 sin%,57x 3,4t + " 0,0 cos(,57x 3,4t) & # Un pescatore ossera un onda marina sinusoidale che penetra nell imboccatura di una darsena. Egli conta 40 creste in un minuto e aluta m la distanza fra le creste e 0 cm la loro ampiezza.! Determinare l equazione dell onda. L equazione di un onda può essere espressa nella forma: doe: &, x y A sin$ π* % + λ t )# + φ'! (" A 0, m 40 f 0,67 Hz 60 3,5 λ m f 0,67 Quindi l equazione dell onda dienta: &, x )# y 0, sin$ π* t + φ'! % + 3 (" doe la costante Φ (fase dell onda a t0 e x0) non può essere determinata con i dati del problema a disposizione

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10 Un'onda si propaga lungo una corda tesa formata da due tratti di diersa densità lineare: il primo con 0,0 g/m e il secondo con 7, g/m. Poiché al mutare della densità della corda si erifica un fenomeno di rifrazione, calcolare la lunghezza d onda dell onda nel secondo tratto sapendo che nel primo tratto è λ cm. Per un'onda trasersale che si propaga lungo una corda la elocità dipende dalla tensione e dalla densità del mezzo, per cui nei due tratti a diersa densità lineare abbiamo: () Però la tensione è indipendenti dal mezzo, per cui ricaiamo la dalle () e dal confronto otteniamo: 0,0 7, 36 () Poiché la elocità di propagazione di un'onda trasersale soddisfa la relazione: λf e tenendo presente che la frequenza f è indipendente dal mezzo, dalla () otteniamo la relazione fra le lunghezze d'onda λ e λ dell'onda nei due tratti a diersa densità lineare: f 36λ f λ 6 λ λ (3) Poiché è nota la lunghezza d onda nel primo tratto, dalla (3) ricaiamo la lunghezza d onda dell onda nel secondo tratto: λ λ 6 6 cm Le oscillazioni prodotte da due onde armoniche in uno stesso punto di un mezzo elastico aengono lungo la stessa direzione e sono descritte dalle equazioni: y & π # 0,4 cos0πt y 0,4 cos$ 0πt +! % 3 " in cui i alori numerici sono espressi in unità del SI.! Determinare l equazione dell onda risultante. Per il principio di sorapposizione, l onda risultante prodotta dalle due onde armoniche in uno stesso punto è data da:, π ) &, π )# y + y 0,4 cos 0πt + 0,4 cos* 0πt + ' 0,4$ cos 0πt + cos* 0πt + '! () + 3 ( % + 3 (" y Per semplificare questa espressione possiamo usare la formula di prostaferesi:

11 cos a + cosb a cos + b a b cos per cui la () dienta: " π π# π % 0π t + 0π t + 0πt 0πt 40 t y 0,4 cos 3 cos 3 & π + 0,8cos 3 π ' π( % & cos 0,69cos) 0π t + * % & 6 + 6, %- &. Due sorgenti puntiformi S e S generano, ibrando in fase sulla superficie di un liquido, due onde caratterizzate dalla stessa ampiezza massima e dalla stessa lunghezza d onda λ3,0 cm.. Sapendo che la sorgente S dista 5 cm da un punto P situato sulla prima frangia costruttia dopo quella centrale, a quale distanza da P si troa la sorgente S?. Ripetere il problema nel caso in cui la sorgente S dista 5 cm da un punto P situato sulla prima frangia distruttia dopo quella centrale.. Poiché le due onde hanno la stessa lunghezza d onda, la stessa ampiezza e sono generate da due sorgenti che ibrano in fase, uol dire che entrambe le sorgenti, durante il loro moto armonico, si troano a un massimo (o a un minimo) di oscillazione sempre in istanti uguali. Le circonferenze con centri nelle sorgenti S e S rappresentano i fronti d'onda in un dato istante. Le circonferenze a tratto continuo rappresentano le creste dell'onda, mentre quelle tratteggiate indicano i fronti d'onda corrispondenti alle gole. La distanza fra due creste (o fra due gole) è la lunghezza d'onda λ, mentre la distanza fra una cresta e una gola è λ/. I pallini neri indicano i punti in cui si troano due creste o due gole. In questi punti le perturbazioni della superficie dell'acqua sono in fase e si rafforzano a icenda. Si dice, pertanto, che in essi le onde interferiscono costruttiamente. Più precisamente, aendo supposto che le onde generate dalle due sorgenti abbiano la stessa ampiezza A, nei punti di interferenza costruttia la perturbazione risultante ha ampiezza doppia, cioè uguale a A. Unendo tali punti si ottengono delle linee, indicate con L 0, L, L, che sono dette frange di interferenza costruttia.

12 Consideriamo adesso L 0, asse del segmento di estremi S e S. Questa linea è il luogo dei punti aenti uguale distanza da S e S. I punti delle linee L, L, hanno inece distanze da S e S che differiscono costantemente di una, due, ecc. lunghezze d'onda. Dunque: le frange di interferenza costruttia sono il luogo dei punti le cui distanze dalle sorgenti S e S hanno differenza costantemente uguale, in alore assoluto, a un multiplo intero della lunghezza d'onda' λ. In conclusione, ammesso che le sorgenti S e S oscillino in fase alla stessa frequenza, in un punto P dello spazio si ha interferenza costruttia se le distanze x e x percorse dalle onde per giungere in P soddisfano la relazione: Δ x δ x x mλ con m 0,,,3, Poiché il punto P si troa sulla prima frangia costruttia (m ) dopo quella centrale, la distanza della sorgente S da P ale: 5 x λ 5 x 3 x 8 cm. I pallini rossi indicano i punti doe giungono una cresta da una sorgente e una gola dall'altra. In tali punti, detti nodi, la perturbazione risultante è nulla e la superficie dell'acqua rimane immobile. Unendo questi punti si ottengono le linee indicate con l, l,. Queste sono dette frange di interferenza distruttia o anche linee nodali. Le linee nodali l, l, sono il luogo dei punti le cui distanze da S e S differiscono, rispettiamente, di ½ λ, 3/ λ, In altri termini: le frange di interferenza distruttia sono il luogo dei punti le cui distanze dalle sorgenti S e S hanno differenza costantemente uguale, in alore assoluto, a un multiplo dispari di λ/. Quindi in un punto si ha interferenza distruttia se, dette x e x rispettiamente le sue distanze da S e S, si ha: λ Δ x δ x x (m + ) con m 0,,,3, Poiché il punto P si troa sulla prima frangia distruttia (m 0) dopo quella centrale, la distanza della sorgente S da P ale: x λ 5 x x + 5 6,5 cm

13 Sollecitiamo una corda fissata per i due estremi nel suo punto medio, in modo da ottenere un onda stazionaria. Se la corda è lunga L50,0 cm, la sua massa per unità di lunghezza è,0 0 - kg/m e la tensione che agisce da forza di richiamo è 600 N, qual è la frequenza fondamentale di ibrazione della corda? Pizzicando la corda nel suo punto medio, produciamo la configurazione di onda stazionaria: prima armonica. Alle dierse configurazioni di onda stazionaria che possono essere prodotte nella corda, sono associate dierse lunghezze d onda e quindi dierse frequenze di risonanza: f n n con: n,,3, L La più piccola frequenza, cioè f, è chiamata frequenza fondamentale o prima armonica: f L enendo conto dell espressione della elocità di propagazione di un onda lungo la corda: si ottiene: f L 0,50 600,0 0 4Hz Una corda di pianoforte è lunga,0 m e ha una massa di 0 g. Calcolare la tensione che dee aere la corda per ibrare con una frequenza fondamentale pari a 30 Hz. La più piccola frequenza f, chiamata frequenza fondamentale, che può essere prodotta dalla corda del pianoforte in seguito alla tensione cui è sottoposta, è data da: f L da cui è possibile ricaare la elocità di propagazione dell onda lungo la corda: Lf, m / s

14 Dalla relazione della elocità di propagazione di un onda trasersale in un mezzo solido è possibile ricaare la tensione che dee aere la corda per ibrare con una frequenza fondamentale f 30 Hz: N doe la densità lineare è data da: 3 m 3 L 0 0,0 0 0 kg / m Una corda di iolino è realizzata con un materiale di densità lineare pari a 9, kg/m. La corda è tenuta in tensione fra due punti fissi (nodi) da una forza di 740 N.! Sapendo che la frequenza fondamentale della corda è 440 Hz, corrispondente alla nota la, qual è la lunghezza della corda? La elocità di propagazione dell onda lungo la corda di iolino è data da: 740 9, m / s e dalla relazione della frequenza fondamentale ricaiamo la lunghezza della corda: 87 f L 0,33m 33cm L f 440 Due onde di uguale ampiezza A e stesso periodo si propagano in ersi opposti lungo un asse x fissato. Gli spostamenti y e y delle particelle del mezzo, prodotti singolarmente dalle due onde, aengono lungo la stessa direzione e, per un dato istante t e una data posizione x, sono descritti dalle seguenti equazioni: &, x t )# &, x t )# y A sin$ π* '! y A sin$ π* + '! % + λ (" % + λ ( ". Dimostrare che, dalla sorapposizione delle due onde, si ottiene un onda stazionaria;. Determinare la posizione dei nodi dell'onda stazionaria risultante e la distanza fra due nodi consecutii; 3. Determinare l'ampiezza del moto armonico di una particella che si troa in corrispondenza di un entre dell'onda stazionaria.. Per il principio di sorapposizione, lo spostamento risultante y del punto del mezzo che si troa nella posizione x è dato, per ogni istante t, dalla somma:

15 &, x t )# &, x t )# y + y A sin$ π* '! + A sin$ π* + '! () % + λ (" % + λ (" y Usando l identità trigonometrica (formule di prostaferesi): la () dienta: a + b a b sin a + sinb sin cos & π # & π # y A sin$ x! cos$ t! () % λ " % " & x t # Lo spostamento y non è una funzione dell argomento $ ±! e pertanto rappresenta una % λ " ibrazione del mezzo che non si propaga, cioè un onda stazionaria.. L'equazione () mostra che una qualsiasi particella del mezzo, posta nel punto x, oscilla di moto armonico con periodo e ampiezza ariabile con x uguale a: x 0 & π # A sin$ x! % λ " I punti nei quali tale ampiezza è nulla rappresentano i nodi dell'onda stazionaria. Imponiamo perciò: & π # sin $ x! 0 % λ " Ricordando che la funzione seno è nulla quando il suo argomento è uguale a 0, π, π, 3π,, dee essere: π x nπ λ con n 0,,, I nodi si troano quindi nelle posizioni: λ x n λ 3 cioè in: x 0, x, x λ, x λ,... Da questo segue che la distanza fra due nodi consecutii è uguale a mezza lunghezza d onda. 3. In un entre dell onda stazionaria la ibrazione del mezzo ha ampiezza pari a: x 0 A

16 Le oscillazioni prodotte da due onde armoniche in uno stesso punto di un mezzo elastico aengono lungo la stessa direzione e sono descritte dalle equazioni: & π # y 0,8 cos$ 40πt +! y 0,8 cos 40πt % " in cui i alori numerici sono espressi in unità del SI. Determinare:. la frequenza delle due onde;. gli istanti compresi in un periodo, a partire da t 0, in cui l ampiezza dell onda ottenuta dalla sorapposizione delle due onde è minima o massima. 3. Rappresentare graficamente le due onde.. enendo presente che l'equazione di un'onda armonica è del tipo: y A sin(kx ωt + φ) confrontata con le equazioni che rappresentano y e y, si ottiene che: ω 40πrad / s e conoscendo l espressione della pulsazione ω, siamo in grado di determinare la frequenza delle due onde: ω 40π ω πf f 0Hz π π. Per il principio di sorapposizione, lo spostamento risultante di un punto del mezzo in cui si incontrano le due onde è uguale, in un dato istante, alla somma degli spostamenti prodotti dalle singole onde in quel punto e in quell istante: - π * & - π * # y + y 0,9 cos+ 40πt + ( + 0,8 cos 40πt 0,8 $ cos+ 40πt + ( + cos 40πt! (), ) %, ) " y Usando l identità trigonometrica (formule di prostaferesi): la () dienta: cos a + cosb a cos + b a b cos y - π + 40πt + 0,8 + cos + +, π + 40πt 40πt + cos * 40πt ( ( ( () - & π # π *,6 + cos$ 40πt +! cos (, % 4 " 4) &,3 cos$ 40πt + % π #! 4 " I punti nei quali tale ampiezza è minima sono quelli per cui: & π # cos $ 40π t +! 0 % 4 "

17 ossia quando l argomento della funzione coseno soddisfa la condizione: 40 πt + π 4 π + kπ da cui è possibile ricaare l istante compreso in un periodo (k ), a partire da t0, in cui l ampiezza dell onda risultante è minima: + k 3 60 t + + k t 0,09 s I punti nei quali l ampiezza y dell onda risultante è massima sono quelli per cui: & π # cos $ 40π t +! % 4 " ossia quando l argomento della funzione coseno soddisfa la condizione: 40 πt + π kπ da cui è possibile ricaare l istante compreso in un periodo (k ), a partire da t0, in cui l ampiezza dell onda risultante è massima: 8k 7 60 t + 8k t 0,044 s La rappresentazione grafica delle due onde è la seguente:

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