ONDE ELETTROMAGNETICHE

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1 ONDE ELETTROMAGNETICHE ESERCIZIO 1 Un onda elettromagnetica piana di frequenza ν = 7, Hz si propaga nel vuoto lungo l asse x. Essa è polarizzata linearmente con il campo E che forma l angolo ϑ = 30 con il piano (x,y) ed ha ampiezza E 0 = 10 3 V/m. Scrivere l equazione dell onda. Calcolare l ampiezza del campo magnetico. Il campo elettrico di un onda elettromagnetica piana, linearmente polarizzata monocromatica e che si propaga lungo x, può essere scritta nella forma: E = E 0 sin(kx ωt) con E 0 = (0, E 0y, E 0z ) Parametri dell onda λ T = λν = c λ = c ν = , = 0, m k = 2π λ = 2π rad = 1, , m ω = 2πν = 2π 7, rad = 4, 7 10 s [ Si tratta di radiazione visibile: A, 1A ] = m λ = 4000A, cade nella zona di transizione violetto u.v. Componenti del campo elettrico: in quanto E 0y = E 0 cos 30 = V m E 0z = E 0 sin 30 = V m 1

2 E y = E 0y sin (kx ωt) = 3 ( ) V sin 1, x 4, t m E z = E 0z sin (kx ωt) = 1 ( ) V sin 1, x 4, t m Per ricavare l equazione della parte magnetica dell onda, occorre osservare che nelle onde elettromagnetiche campo elettrico e magnetico sono in fase tra loro e che la direzione dei campi E e B e la direzione di propagazione dell onda ĉ vale la relazione ÊΛ ˆB = ±ĉ, da cui per permutazione ciclica segue ĉλê = ˆB. Inoltre dalle equazioni di Maxwell nel vuoto risulta che vale tra i moduli dei campi la relazione E/B = ±c, a seconda che l onda sia progressiva (+) o regressiva (-). Da cui: E B = ±c B 0 = E 0 c ma B = 1 c i j k E y E z 2 = ( 0, E z c, E ) y c

3 B y = sin ( 1, χ 4, t ) T; etc... 3

4 ESERCIZIO 2 Scrivere l espressione di un onda elettromagnetica ( ) monocromatica che si propaghi nel vuoto in direzione n = 2 1 1, 2, 0 con ν = s 1. Si supponga l onda polarizzata nella direzione del asse z. Un onda si definisce monocromatica quando contiene una sola ν (e quindi una sola λ). Supponiamo che per x=0 e t=0, sia la fase ϕ = 0; E ( r, t) = E ( ) 0 cos (kˆn r ω t) = E 0 cos k r ωt B ( r, t) = B ( ) 0 cos k r ω t k = k ˆn = 2π λ ˆn La pulsazione ω e la lunghezza d onda λ valgono rispettivamente: 14 rad ω = 2πν = 2π 4 10 s = 8π rad 1014 s λ = c T = c ν = m = 0, m = 7, m = m = 7500 A La luce è visibile e sta nella zona del rosso. Il modulo del vettore d onda k è: k = 2π/λ = 8, m 1. Ma k è un vettore con direzione ˆn, quindi ha componenti: ( k = 8, , ) 1, 0 m 1 2 Ricavo ora le componenti di E0 e B 0 : E 0 : è polarizzato secondo l asse z E 0 = (0, 0, E 0 ) B 0 : ricavo le componenti ricordando che ˆvΛÊ = ˆB e che E 0 /B 0 = v (per noi nel vuoto v c) B 0 =E 0 /c B 0 = 1 c i j k E 0 B 0 = ( E0 c 2, E ) 0 c 2, 0 4

5 ESERCIZIO 3 [Prova scritta del 14/04/04] Il campo magnetico di un onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente lungo l asse y si propaga lungo x in un mezzo con ɛ r = 80 secondo l equazione: ( B = 1, cos t 4x + ϕ) k Il modulo di B è misurato in tesla. Determinare: ϕ sapendo che per t=0 e x=0 B = 0, T; frequenza, lunghezza d onda, ampiezza di E; permeabilità magnetica µ r, impedenza d onda Z; l energia che attraversa nell unità di tempo una superficie piana di area A=2,3 m 2 perpendicolare al piano xz formante un diedro di 30 con il piano xy; la pressione di radiazione se la superficie è perfettamente assorbente; Per t=0 e x=0 risulta: B (0, 0) = 1, cos ϕ = 0, cos ϕ = 0, 444 ϕ = 63.6 Ricavo dalla fase i parametri dell onda: 5

6 (ωt kx + ϕ) = (2πνt 2π ) λ x + ϕ 2πνt = t ν = π 2π λ x = 4x = 1, Hz λ = 2π 4 = 1, 57 m v = λ T = λν = m s E 0 = vb 0 = 36 V m n = c v = = 15 Z = n = ɛ r µ r µ r = n2 ɛ r = 2, 81 µ ɛ = µ0 µ r 4π 10 = 7 2, 81 ɛ 0 ɛ r 8, = 70, 6 Ω Il valor medio del vettore di Poynting è: S eff = E2 0 2Z = , 6 = 9, 17 W m 2 L energia che attraversa la superficie A n perpendicolare all asse di propagazione è data da W= SA n t. Poichè A n = A sin 30 = 1, 15 m 2,da cui segue che W = 9, 17 1, 15 1 = 10, 54J. Per una superficie completamente assorbente la pressione di radiazione vale P = S v = 9, = 4, N m 2 6

7 ESERCIZIO 4 [Prova scritta del 21/07/03] Un laser He-Ne emette luce rossa con λ = 6328A, potenza media P =1mW. Supponendo la sorgente puntiforme e che il fascio abbia divergenza 1mrad, scrivere l espressione del campo E e del campo B a 20 m dalla sorgente. Determinare la potenza di una sorgente che irradia isotropicamente tutto lo spazio affinché abbia alla distanza di 20 m la stessa intensità dal laser. α = 1 2 (1mrad) = rad superficie calotta = 2πR 2 (1 cos α); A=2π 20 2 (1 cos 0, 0005) = Ī = < P > A = 10 3 W Ī = E2 0 2Z 0 E 0 = k = 2π λ m 3 = 3, 2 W m 2 2Z 0 Ī = , 2 = 49 V m = 9, rad m ν = v λ = c λ = 4, Hz 15 rad ω = 2πν = 2, s ( ) ( E = 49 cos 2, t 9, û y = 49 cos 2, t ) û y B 0 = E 0 c = = 1, T ( B = 1, cos 2, t ) û z l intensità per srad del laser è: P Ω, Ω = A R 2 = 2π (1 cos α) l intensità di una superficia isotropica per srad è: P 4π P Ω = P 4π P = 4π Ω P P = 4π 10 3 W 2π (1 cos α) = W 7

8 ESERCIZIO 5 Calcolare l energia irradiata in una soluzione da un protone accelerato in un accelleratore di Van de Graaf (acceleratore lineare). Assumo v << c moto non relativistico; v iniziale = 0, v finale = v, lunghezza del tubo di accellerazione = l. Uso la formula di Larmor per una carica soggetta ad accelerazione costante: P Larm = q2 a 2 6πɛ 0 c 3 se l è la lunghezza del tubo, per un accellerazione costanta: l = 1 2 at2 = 1 2 (at) t = 1 2l vt t = 2 v L energia irradiata vale E irr = P Larm t = per il protone q = e =1, C q2 v 2 6πɛ 0 c 3 t 2 t = E irr = e2 v 3 12πɛ 0 lc 3 q2 6πɛ 0 c 3 v2 v 2l L energia cinetica che il protone acquista attraversando la differenza di potenziale V è E k =ev. Confronto E irr ed E k = 1 2 m pv 2 E irr E k = e2 v 3 12πɛ 0 lc 3 2 m p v 2 = per l=2m; ddp= V: e 2 v 6πɛ 0 c 3 m p l = e 2 2eV 6πɛ 0 c 3 m p l m p E irr E k = 1, La perdita di energia per irraggiamento è trascurabile. 8

9 ESERCIZIO 6 Calcolare l energia irradiata in una rivoluzione da un protone accelerato in un ciclotrone. Nel ciclotrone le particelle cariche vengono mantenute su un orbita circolare dal campo magnetico mediante la forza di Lorentz. Su una traiettoria circolare di raggio r, l accelerazione centripeta è: a=ω 2 r = 4π 2 ν 2 r A bassa energia si trascurano gli effetti relativistici. La potenza irradiata è data dalla formula di Larmor: P Larm = q2 a 2 6πɛ 0 c 3 = e2 16π 4 ν 4 r 2 6πɛ 0 c 3 = 8π3 ν 4 e 2 r 2 3ɛ 0 c 3 Durata di una rivoluzione: T = 1 ν E irr = P 1 ν = 8π3 ν 3 e 2 r 2 3ɛ 0 c 3 a questa va aggiunta la perdita in corrispondenza all attraversamento dello spazio tra le D (che però risulta << E irr ) L energia cinetica acquistata in una rivoluzione è pari a due attraversamenti della differenza di potenziale tra le cavità: E k = 2eV max E irr E k = 8π3 ν 4 er 2 3ɛ 0 c 3 V max supponendo r=0,92 m; ν = 1, Hz; V max = V E irr = E k trascurabile, ma superiore a quanto di ottiene negli accelleratori lineari. 9

10 ESERCIZIO 7 Riflessione e rifrazione per incidenza perpendicolare di un onda elettromagnetica alla superficie di separazione di due mezzi (ad esempio vuoto e dielettrico). Per l onda incidente, fissato come in figura il campo elettrico E i H i deve essere uscente perché S i = E i ΛH i sia entrante nel mezzo 2. Per le direzioni dei campi delle onde riflessa e trasmessa faccio delle ipotesi. Suppongo: E i riflesso concorde con E i H i deve essere sfasato di π rispetto ad H i perché S sia uscente nel primo mezzo. Suppongo: Er concorde con E i H i ed H r concordi affinché S r sia concorde con S i. Utilizzo le condizioni sui campi nel passaggio da un mezzo all altro: E 1t E 2t = 0 E i + E i = E r Pongo n = n 21 = n 2 /n 1. H 1t H 2t = 0 H i H i = H r La relazione tra i moduli è: E=vB=v (µh) = vh per µ = 1 da cui H=E/v. { Ei + E i = Er E i c E i c = n c E r { Ei + E i = Er E i E i = ne r { Er E i = 2 1+n E i E i = n 1 n+1 In base al segno dei rapporti verifico gli eventuali sfasamenti. E r ed E i sono sempre in fase; E i ed E i hanno uno sfasamento di 0 oppure di π in base 10

11 al segno di (n-1). Per H, partendo da H i e H i discordi, valgono le seguenti relazioni: { Hr H i = 2 n+1 H i H i = n 1 n+1 11

12 ESERCIZIO 8 Su uno schermo opaco posto nel vuoto sono praticati due fori distanti d fra loro. Un onda elettromagnetica piana monocromatica di lunghezza d onda λ incide sullo schermo con una direzione θ = 30 rispetto all asse del segmento congiungente i due fori. In un punto P lontano dallo schermo e situato lungo una direzione che forma un angolo α = 0, 1 rad con l asse si osserva un intensità media I 1 quando un foro è tappato. Determinare l espressione del campo elettrico in P in funzione di I 1 quando entrambi i fori sono aperti. r = d sin θ + d sin α δ = 2π 2πd r = (sin θ + sin α) λ λ Dal diagramma dei vettori rotanti: E T = E E E 01E 02 cos δ per I 1 = I 2 = I 0 I T = I 1 + I I 1 I 2 cos δ I T = 2I 0 (1 + cos δ) = 4I 0 cos 2 δ 2 I T = E2 T 2Z E T = 2ZI T = 2 cos δ 2 2ZI0 12

13 E T = 2 2ZI0 cos πd λ (0, 5 + 0, 1) = 2 2ZI 0 cos( πd 0, 6) λ 13