Formulario di onde e oscillazioni

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1 Formulario di onde e oscillazioni indice Sistema massa-molla Pendolo semplice Moto armonico Smorzamento Moto armonico Smorzato - forzato Onde meccaniche - corda vibrante Corda ad estremi fissi Corda ad un estremo fisso Energia e potenza Trasmissione e riflessione Onde stazionarie Onde acustiche Intensità, livello ed energia Attenuazione e assorbimento Interferenze Diffrazione Interferenza alla Young Battimenti Effetto Doppler Velocità della luce Riflessione, rifrazione Specchi diottri piani diottri sferici Lenti Diffrazione Campo lontano foro circolare Risoluzione lente e criterio di Rayleight Interferenza alla Young Reticoli polarizzazione Verde: eventuali nuove aggiunte. Rosso: eventuali parti incerte.

2 Onde meccaniche Sistema massa-molla Pulsazione : ω = m = π T = π v Periodo: T = π ω = π m Risonanza: v = T = π m (frequenza naturale) Frequenza : v = T = ω π = π m Lunghezza d onda : Spostamento: λ = π x(t) = Asin m t + ϕ Velocità: Velocità trasversale: Accelerazione: υ(t) = ω Acos u = y t m t + φ = ω Acos(x ωt) υ(t) = ω Asin m t + φ (derivata prima) Accelerazione trasversale: a y = u t = ω Asin(x ωt) = ω y (derivata seconda) Energia cinetica: E cin = mv (t) Energia potenziale: E pot = x (t) Energia totale: E tot = A Velocità : υ = ω K = λ T = λv (propagazione) Numero d onda: = π λ (usato anche in seguito)

3 Pendolo semplice Pulsazione: ω = g L Periodo: π L g Moto armonico Smorzamento Differenziale: x + γ x + ω 0 x = 0 Ampiezza: λ x(t) = Ae t cos( ωt + ϕ) ω : ω = ω 0 γ Energia potenziale: U = ( x t) = A cos ( ωt + ϕ) Energia cinetica: K = mv = ma sin ( ωt + ϕ) Energia totale: E = ma ω e λt Moto armonico Smorzato - forzato Differenziale: x + γ x + ω 0 x = F 0 cos ωt m Spostamento: Ampiezza: A = fase: ω = freq. forzante ω 0 = freq. sistema λ x(t) = A e t cos( ωt + ϕ) + A cos( ωt + ϕ) Se non vi è sfasamento si verifica la risonanza F 0 + γω m ω ω 0 cosϕ = γω A F Onde meccaniche - corda vibrante Eq. delle onde: Densità lineare: ψ t µ = m l ( z,t) = T 0 ρ ψ z ( z,t) Velocità: υ = τ µ = ± T 0 µ (τ = tensione) 3

4 Corda ad estremi fissi Numero d onda: Lunghezza d onda: n = nπ L λ n = π n = L n Frequenza: ν n = n L T 0 ρ T 0 n ρ π n L υ υ λn Modi normali: A n (z) = α nπ L z (ampiezza - eq. che descrive i modi normali) Velocità: υ = ω = λ T = λ v Velocità trasversale: u = y t = ω Acos(x ωt) Accelerazione trasversale: a y = u t = ω Asin(x ωt) = ω y Corda ad un estremo fisso Numero d onda: n = π ( L n ) Lunghezza d onda: λ n = π n = 4L n Frequenza: ν = T 0 n ρ π = n 4L T 0 ρ = n 4L υ ν = υ λ Velocità: υ = ω n = λ n T = λ nν n Energia e potenza Potenza: P = A T 0 ω sin z ωt Potenza media: P = µυω A = ω A T 0 υ = A T 0 ω Trasmissione e riflessione Perturbazione: ψ i + ψ r = ψ t (in z = 0) Conservazione: Eq onde: P i = P t + P r ψ i ψ r ψ t ( z,t) = ψ 0i cos( z ωt) ( z,t) = ψ 0r cos( z + ωt) ( z,t) = ψ 0t cos( z ωt) 4

5 Potenza: La variazione di + e - definisce la direzione di propagazione P i = T 0 ψ 0i ω sin ( z ωt) P r = T 0 ψ 0r ω sin ( z ωt) P t = T 0 ψ 0t ω sin ( z ωt) Coeff di riflessione: r = ψ 0 r ψ 0i = + = ρ ρ ρ + ρ Coeff di trasmissione: t = ψ 0 t ψ 0i = + = ρ ρ + ρ Potenza: coeff riflessione: R = P r = r = P i + Potenza: coeff trasmissione:t = P t P i = t = Onde stazionarie lunghezza d onda: λ = L n con n =,,3, Risonanza: v = υ λ = υ n con n =,,3, L Onde acustiche Onde acustiche Principio di Pascal : Variazione volume: Variazione densità: Variazione pressione: Mod. di compressibilità: Forza di richiamo: F = F 'S S' ψ z,t V = V 0 z ρ = ρ 0 ψ z P = β ψ z β = ρ 0 ψ z = F z = S ψ z zβ P con β = ρ 0 ρ Δp V V = Δp υ υ = ρυ 5

6 Eq delle onde: ψ = β ψ t ρ 0 z Velocità del suono: υ = β ρ = α T (α per l'aria = 0,3)(β=γρ 0 ) Arrivo del suono: t = d v = Dsinθ v (indica la differenza di percezione sonora tra punti posti a distanza D. θ rappresenta invece l angolo tra la linea che unisce i punti e la sorgente sonora.) Ampiezza spostamento: Variazione di pressione: Ampiezza di pressione: Onda di densità: Onda di pressione: s(x,t) = s m cos(x ωt) (s m massimo spostamento) p(x,t) = p m sin(x ωt) (p m ampiezza di pressione) p = (υρω)s m ρ(z,t) = Aρ 0 sin( z ωt) P(z,t) = Aβ sin( z ωt) Equazione gas perfetti: PV = NK B T (K B costante di Boltzman, J K ) Intensità, livello ed energia Potenza: Intensità: P pot = W t = F z ψ t I = P pot S = γ P ψ ψ 0 t z = γ P 0 S ψ t Intensità (armonica): I = γ P 0 ω sin ( z ωt) Intensità (media armonica): I = γ P 0 A ω ψ z [ I ] = W m Intensità: I = E St = P A Rapporto tra le intensità: I = r Intensità (puntiforme): I = P s 4πr (P s = potenza sorgente) Intensità (lineare): I = P s 4πrL Decibel: r I decibel (onda sferica): db = 0log r (P s = potenza sorgente) db = 0log I ( I 0 = 0 W / m ) I 0 r 6

7 Attenuazione e assorbimento Attenuazione geometrica: Variazione ampiezza: A(r) = A( r 0 ) r 0 r r 0 intensità: I(r) = γ A r 0 Equazione onda: Assorbimento: intensità: Attenuazione geometrica + assorbimento: r ω ψ ( r,t) = A( r 0 ) r 0 cos ( r ωt ) r I r intensità: A = 0log 0 I r I ( z) = I ( 0)e α z (legge di lambert-beer) = 0log 0 e α ( r r ) = 0log 0 e αr r + 0log 0 r r r e αr = Equazione onda: ψ ( r,t) = A( r 0 ) r 0 α ( r r0 ) r e cos r ωt Interferenze Equazione onda: ψ + ψ = A 0 cos ϕ cos z ωt + ϕ (ϕ=const sfasamento) Variazione ampiezza: A = A 0 cos ϕ ϕ Variazione intensità: I = 4I 0 cos Ritardi di fase: φ = d sinθ Totalmente costruttiva: φ = mπ m = 0,,,3,... Totalmente distruttiva: φ = (m + )π m = 0,,,3,... Calcolo interferenza: φ = L λ π ( L = distanza sorgenti) o anche: Totalmente costruttiva: L = mλ Totalmente distruttiva: L = ( m + )λ 7

8 Diffrazione Minim di diffrazione: asinθ = nλ (con a larghezza fenditura) Max interferenza = minimo di diffrazione Interferenza alla Young Sfasamento: r = d sinθ ϕ = d sinθ Ampiezza: A f = A r 0 r r r Intensità: I = 4I 0 (r)cos Battimenti Portante: v port = Media v v Modulante: v mod = v v Intensità: I = 4I 0 cos z ω t Eq onda: Effetto Doppler ψ = Acos z ω t cos z ωt Equaz. generale: v = v υ ± υ D υ υ S (caso + - avvicinamento) Ottica Geometrica Velocità della luce Maxwell: υ = ε 0 µ 0 = m s Riflessione, rifrazione Indice di rifraz: Riflessione: Rifrazione: n = c ;(con c velocità della luce nel mezzo e v nel vuoto) u θ i = θ r ;(con θ i incidente e θ r riflesso) n sinθ i = n sinθ t (legge di Snell-Cartesio) 8

9 Rifrazione: n n = sinθ sinθ < (con n < n ) Angolo limite: θ L = arcsin n n Lastra di vetro: d = t n θ i Profond. apparent: h app = h real n n n Specchi Magnificazione: m = h h Punti coniugati: p + q = f diottri piani ( se lo specchio è piano) con f = R Equazione: Ricorda: n p = n q n < n p < q Pos. apparente: q = n n p + d n n = p + n d n diottri sferici n Eq generale: p + n q = n n R Posi. infinita: p q = n R n n = f Fuoco: q f = n n n R NB: R assume valori diversi: R>0 per centro nel semipiano del raggio rifratto R<0 per centro nel semipiano opposto al raggio rifratto Lenti Eq costruttore: p + q = n n n R R 9

10 Equazione: Fuoco: n p + n q = n n R n p + n q = n n n R f = n n n R R Convergenti: fanno convergere i fasci paralleli nel fuoco (distanza focale > 0) Divergenti: fanno divergere i raggi paralleli in modo che sembrino provenire dal fuoco (distanza focale < 0) Ottica Fisica Diffrazione Forma: Campo: Intensità: sincx = sin x x = E 0 cosφ E θ I ( θ) = I ( 0) sin a sinθ a sinθ sin a sinθ a sinθ ; I θ = I 0 Posizione massimi: asinθ = mλ ( m ) a = amp. fenditura Posizione minimi: α = mπ = πa λ sinθ sin πa λ sinθ πa λ sinθ Ampiezza frangia: A = λ a Campo lontano Minimi lente: l min = nλ f a foro circolare Funz Bessel: asinθ =.λ a = raggio del foro Risoluzione lente e criterio di Rayleight raggio: r =.λ f a n =. (Bessel) 0

11 Interferenza alla Young Diff di cammino: r B r A = d sinθ = nλ Funzione d onda. E = E + E = E 0 cosφ + cos φ + d sinθ Intensità: I ( θ) = 4I 0 πd sinθ cos λ Massimi interferenza: d sinθ = mλ ( m ) d = dist tra le fenditure Minimi interferenza: d sinθ = ( m )λ ( m ) Minimi di diffrazione: asinθ = nλ ( m ) Dist da frangia centrale: y = L tanθ = m λl d Per angoli molto piccoli sin e tan li consideriamo uguali. Dist tra massimi: y = λd d Variazione di intensità: I θ = I 0 cosβ sinα α α = πa λ sinθ πd β= λ sinθ Reticoli Diff di cammino: Cond. Del max: r B r A = d sinθ = nλ d sinθ = mλ (m numero intero) Intes. Nel max: I max = N I 0 Condiz reticolo: Potere dispersivo: Potere risolutivo: max = N sinθ = N max mλ min = N sinθ = N min mλ + λ D = δθ λ = m cosθ d R = λ λ = Nm ampiezza dei massimi: δθ 0 = λ Nd (espressa in radianti) polarizzazione Angolo Brewster: tanθ = n n Legge di Malus: E = E 0 cosθ