Oscillazioni e Onde. P.A. Tipler, "Invito alla Fisica", volume 2, Zanichelli 2001, Cap.15. A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 1

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1 Oscillazioni e Onde P.A. Tipler, "Invito alla Fisica", volume, Zanichelli 001, Cap.15 A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 1

2 Forza elastica Forza elastica La forza che la molla esercita ha la direzione della deformazione e verso opposto, quindi la legge di Hooke si può scrivere anche in forma vettoriale e F = -k x A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde

3 Forza elastica Vediamo ora quale è la legge oraria di una massa attaccata a una molla vincolata in un estremo. Per fare ciò occorre scriverne la legge del moto: da cui kx=ma kx= m d dt x d dt x k = x m Per trovare la legge oraria basta risolvere questa equazione differenziale: A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 3 d dt k k = x= ω x con ω = m m d x +ω x dt = 0 x

4 Tale funzione è del tipo Forza elastica E soddisfatta da una funzione la cui derivata seconda sia uguale alla funzione stessa cambiata di segno, a meno del coefficiente di proporzionalità (k/m). ( ) senωt con ω = x( t) = Asen( ω t+φ) v = dx / dt =ω A cos( ωt+ φ) = dv / dt= d x / dt = ω Asen( ωt+ φ) Infatti se provo la soluzione : velocità e accelerazione sono a k m a = ω Asen ( ) t + = x ω φ ω Quindi ho che soddisfo la Equazione dell oscillatore armonico d x dt A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 4 + ω x = 0

5 Equazione oscillatore armonico Molti fenomeni descritti dalla legge dell oscillatore armonico (semplice, smorzato o forzato) Moto di un pendolo semplice Moto di pendolo di torsione Circuiti elettrico Oscillazione di liquido in un cannello Moto di molecole A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 5

6 Forza elastica x ( = Asen t ( ω + φ) La legge oraria sarà quindi: Oppure (equivalenti seno e coseno, cambia φ ): x (t ) = A cos( ω t + φ) dove A è l'ampiezza di oscillazione con dimensioni lunghezza, e φ è la fase. A e φ dipendono dalle condizioni iniziali del moto, ω dalla fisica (m e k) T periodo tempo per oscillazione completa di seno o coseno cioè π si osserva che: nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto) nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 6 t ) ( ω(t+ t) + φ) ( ωt+ φ+ π) ω T = π T = π / T = π / ω ν= 1/T=ω/ π ω

7 Moto Periodico Moto periodico con pulsazione π ω =, ϕ = T 0 x(t ) = A sin( ω t ) (posizione) v(t) = Aωcos( ωt) (velocità) a(t) = Aω sin( ωt) (accelerazione) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 7

8 Moto armonico semplice Si può ottenere sperimentalmente lo spostamento x in funzione del tempo t. Attacchiamo una penna ad un oggetto e poniamolo in corrispondenza di una striscia di carta che può essere spostata perpendicolarmente alla direzione di oscillazione, come mostrato in figura. Poi spostiamo l oggetto di un tratto A e tiriamo la carta verso sinistra con velocità costante nel momento in cui lasciamo andare l oggetto: la penna traccia una curva sinusoidale. L equazione per questa curva è: x= Acos( πν t) = Acos( ωt) 1 A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 8

9 Moto armonico semplice ν è la frequenza e ω è la pulsazione. E da notare che la scelta di una funzione seno o di una funzione coseno per scrivere la legge oraria del moto è indifferente e dipende solo dalla scelta dell origine degli assi. Un espressione più generale può essere ottenuta con l eventuale introduzione di una fase ϕ: x= Acos( πν t + ϕ) Le equazioni corrispondenti per la velocità e l accelerazione sono: v= ( πν )Asen( πν t) = ωasen( ωt) a = ( πν ) Acos( πν t) = ω Acos( ωt) = ω x 3 Abbiamo trovato che l accelerazione risulta essere proporzionale allo spostamento e di segno opposto; come abbiamo già osservato in precedenza questa è una caratteristica generale del moto armonico semplice. La frequenza dell oscillazione è legata alla costante elastica della molla k e alla massa m (cioè è legata alla fisica del processo) dalla relazione: ( πν ) = ω πν = k m ν = 1 π k m, ω= k m, T = 1 ν = π m k A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 9

10 Moto armonico semplice e moto circolare Esiste una relazione semplice, ma importante, tra il moto armonico semplice e il moto circolare con velocità di modulo costante. La figura mostra uno spinotto sul bordo di una piattaforma girevole e un corpo sospeso ad una molla. L ombra dello spinotto e quella del corpo sono proiettate su uno schermo. Se si regola il periodo di rotazione in modo che sia uguale a quello del corpo oscillante e l ampiezza del sistema con la molla è uguale al raggio della piattaforma, le ombre si muovono insieme. La proiezione, su una retta, della posizione di una particella che si muova di moto circolare uniforme si muove di moto armonico semplice. Si può usare questo risultato per dedurre le equazioni per la posizione, la velocità e l accelerazione in funzione del tempo, per il moto armonico semplice. A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 10

11 v 0 x T v 0 La figura mostra una particella che si muove lungo una circonferenza di raggio A con velocità costante v 0. Anche la sua velocità angolare ω è costante ed è legata alla velocità lineare dalla relazione v 0 = Aω Poiché la particella percorre uno spazio πa durante un giro, il periodo e la frequenza del moto circolare si ricavano da: = πa π A π T = = v 0 ω 1 ω ν = = T π Se la particella parte all istante t = 0 sull asse x, il suo spostamento angolare in un istante successivo è dato da θ = ωt = πνt. Dalla figura si può vedere che la componente x della posizione della particella è data da: x = A cosθ = A cosπν πνt 1 che è uguale all espressione per il moto armonico semplice. A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 11

12 v 0 v x = - v 0 sinθ x La componente x della velocità è: v x = - v 0 sinπνt Usando l espressione v 0 = Aω = πνa si ottiene: v x = - (πν) A sinπνt che è uguale alla. a a x = - a cosθ x L accelerazione della particella è l accelerazione centripeta diretta verso il centro della circonferenza, avente il modulo a = v A ( πν A) A 0 = = A(πν ) πν La componente x dell accelerazione è a x = - A (πν) cosπνt ossia a x = - (πν) x che è uguale alla 3. A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 1

13 Energia nel moto armonico semplice Quando un corpo attaccato ad una molla oscilla, esso ha energia cinetica ed energia potenziale, che variano entrambe nel tempo; ma la loro somma, che è l energia totale, è costante. Infatti L energia potenziale E p di una molla di costante elastica K, allungata di un tratto x dalla posizione di equilibrio, è data dall equazione E p = ½ kx L energia cinetica è: E c = ½ mv E c E p = 1/ ka sen ( ωt) = 1/mω A cos( ωt) = 1/kAcos( ωt) L energia totale è la somma di queste due quantità: E tot = ½ kx + ½ mv = E = 1/ ka (sen p ½ k A infatti sen +cos =1 L energia totale di un corpo che oscilla con moto armonico semplice è direttamente proporzionale al quadrato dell ampiezza. A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 13 ( ω t) + cos ( ωt))

14 Moto Periodico Composto Due corpi attaccati a molle identiche vengono lasciati andare simultaneamente. Essi raggiungono le loro posizioni di equilibrio nello stesso istante, perché il periodo dipende dalla massa e dalla costante elastica, che sono le stesse, e non dall ampiezza. Grafici dello spostamento In funzione del tempo per i due corpi. Le cose cambiano se le fasi iniziali non sono le stesse A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 14

15 Differenza di fase di onde sinusoidali y(t) ϕ =π/ y(t) ϕ=π T/4 T/ 3/4 T T t T/4 T/ 3/4 T Tt y(t) ϕ =3/π Se si considerano due segnali sinusoidali aventi la stessa pulsazioni, si può poi parlare di differenza di fase tra loro φ o sfasamento T/4 T/ 3/4 T Tt y (t) = A sen( ωt+ϕ ) y 1 (t) = A sen( ωt+ϕ 1 ) -5-6 ϕ=ϕ ϕ 1 A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 15

16 Somma di due onde non in fase y(t) y(t) T/4 T/4 T/ ϕ=π T/ ϕ =π/ 3/4 T 3/4 T T Tt t Somma A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 16 y(t) Somma T/4 ϕ =7/8π T/ 3/4 T T t

17 Figura di Lissajous Una Figura di Lissajous è il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche: x y = = A A x y cos( ω cos( ω x y t+δ t+δ x y ) ) dove A i sono le ampiezze, le ωi le pulsazioni e le φ i le fasi di due moti oscillatori ortogonali. Esistono delle figure particolari per determinati valori del rapporto ωx e ωy della differenza di fase δ. Esprimendo le due equazioni come: x= A cos( ωt+δ) y = A x y sent si ottengono le figure di Lissajous qui mostrate per i diversi valori di ω e δ A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 17

18 Oscillatore smorzato In presenza di forze dissipative, ad esempio l attrito, l ampiezza dell oscillazione diminuisce col passare del tempo e γt Ad esempio, in presenza della forza di attrito dell aria, nell equazione della dinamica della molla compare un termine proporzionale alla velocità: d x dx + γ +ω x= 0 γt dx dt x(t) = Ae sen( ωt+ϕ) Indice smorzamento Fattrito A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 18

19 Oscillatore forzato Se il sistema non è libero ma è forzato da una sollecitazione esterna sinusoidale F=F0sen(ωt), l equazione del moto diviene: d x dx + γ dx dt +ω 1 x = F0 m sen( ω t) Il moto totale è la somma di due moti relativi: uno oscillante smorzato con una certa pulsazione ω1 (quella dell'oscillatore smorzato) ed uno oscillante di ampiezza costante alla pulsazione propria della forza esterna ω. Il sistema ha dunque un transiente oscillante iniziale che svanisce esponenzialmente col tempo, lasciando il posto ad un'oscillazione pura ad ampiezza costante; questa oscillazione è determinata essenzialmente dalla forza esterna, e presenta uno sfasamento con essa. A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 19

20 Oscillatore forzato Ad una sollecitazione esterna sinusoidale F=F0sen(ωt), dunque il sistema risponde con uno spostamento sinusoidale: x(t)=asen(ωt+ϕ) a. la pulsazione non è quella propria ω 1, ma pari a quella della forza esterna ω b. lo spostamento è sfasato rispetto alla risposta c. la risposta dell oscillatore dipende dal valore di ω ed in particolare dalla differenza tra ω e ω 1. d. l ampiezza A e la fase ϕ della risposta dipendono dal valore ω 1 10 τ1 γ1 τ τ3 γ γ3 Nella figura è riportato un esempio dell andamento di A in funzione di ω per ω 1 =0 e per tre valori diversi di γ Ampiezza (xo) A A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde Pulsazione (ω) ω

21 Onde A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 1

22 Onda impulsiva PERTURBAZIONE CAMBIAMENTO DI FORMA VELOCITÀ DI PROPAGAZIONE BEN PRECISA, DIPENDENTE DA : (PROPRIETA DEL MEZZO) Tensione corda Massa per unità di lunghezza F v = µ Dispersione Allargamento e Abbassamento dell impulso A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde

23 Onda impulsiva COSA SUCCEDE ALL ALTRO CAPO? ESTREMO FISSO RIFLESSIONE CAPOVOLTA A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 3

24 Onda impulsiva trasmissione in corda riflessione semplice più pesante: riflessione capovolta trasmissione in corda riflessione semplice più leggera: riflessione semplice Caratteristiche ESTENSIONE SPAZIALE LIMITATA Trasmette ENERGIA E QUANTITA DI MOTO ONDA IMPULSIVA TRASMETTE ENERGIA E QUANTITA DI MOTO NELLO SPAZIO (SENZA TRASPORTARE MASSA) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 4

25 Tipi di onde Onda longitudinale: Onda trasversale: Onda sia longitudinale che trasversale (onda marina): particelle di acqua hanno traiettoria ellittica con componente trasversale e longitudinale A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 5

26 Formulazione matematica t=0 y=f(x) (profilo) tempo t: stessa forma nel S.R. di O y =f (x ) con y' = y x' = x vt Nel S.R. di O: dato che y=y y = f(x-vt) funzione d onda (propagazione verso destra) y = f(x+vt) funzione d onda (propagazione verso sinistra) y = spostamento dalla posizione d equilibrio v = velocità di propagazione dell onda NON dipende dalla velocità della sorgente delle onde v= F µ Tensione della corda (proprietà elastica del mezzo) Massa per unità di lunghezza (proprietà inerziale del mezzo) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 6

27 Interferenza y 1 (x - vt) Dati due impulsi (onde) 1 e che si muovono in direzioni opposte:una è capovolta rispetto all altra y (x + vt) Effetto di interferenza è distruttiva corda orizzontale, ma non a riposo. Elisione si ha se le 1 e hanno stessa ampiezza.se 1 e sono in stesso verso interferenza e non sfasate è costruttiva effetto si amplifica Principio di sovrapposizione: y (x,t) = y 1 (x - vt) + y (x + vt) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 7

28 Interferenza Interferenza = Caratteristica particolare delle Onde (Particelle non si sovrappongono) DISTRUTTIVA (vedi esempio precedente ) COSTRUTTIVA (vedi figura a lato ) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 8

29 Onde Armoniche Una funzione f(x - vt) particolare : con k = numero d onda Si scrive però: Significato di k: x x + λ ; nulla cambia se k λ = π Significato di v : t t + T ; nulla cambia se k v T = π angolare) Forma finale k = π/ λ k v= π/ T = ω (frequenza a x fisso: y = y 0 sin (cost. -ω t) (Moto Armonico) a t fisso: y = y 0 sin (k x cost.) (Profilo sinusoidale ) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 9

30 Moto Armonico ad una estremità della corda AMPIEZZA: y 0 (A del moto armonico) PERIODO: T LUNGHEZZA D ONDAλ: percorso fatto in T FREQUENZA: ν = 1/T Onde Armoniche λ=vt λ=v/ν Fronti d onda Fronti d onda : insieme di tutte le posizioni dello spazio in cui il moto ha la stessa fase In 1D(imensione): sono punti In D(imensioni) sono circonferenze Esempio: effetto di sasso gettato in un lago In 3D sono superfici sferiche A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 30

31 Onde Armoniche RAGGI: rette fronti d onda Onde circolari o sferiche RAGGI semirette radiali A grande distanza: Fronti d onda sferici Fronti d onda piani Analogo in D: l onda lineare A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 31

32 Onde Armoniche Intensità energia media trasportata nell unità di tempo attraverso l unità di area normale alla direzione di propagazione (W/m ) Per sorgente puntiforme: P costante in tutte le direzioni, A= 4 π r I 1/r A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 3

33 Onde sonore Vibrazione di un diaframma con moto armonico: spostamento delle molecole d aria dalla posizione d equilibrio ONDA DI PRESSIONE (SFASATA DI 90 ) ONDA LONGITUDINALE A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 33

34 Onde sonore Spostamento: Variazione della pressione rispetto all equilibrio: C è relazione: p 0 s 0 Intensità del suono: e quindi I s 0 I= 1 ρω Soglia di udibilità: I 0 = 10-1 W/m (p 0 = Pa) Soglia del dolore: I = 1 W/m (p 0 =.9 Pa) 1 atm= 1, Pa vs 0 Livello d intensità (in decibel db) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 34

35 Onde sonore A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 35

36 Esempio Cane abbaia con potenza 1mW. Supponendo una distribuzione uniforme di potenza quale livello di intensità sonora ho a 5 m? I a 5m la ottengo da I=p/4πr I=10-3 W/(4π 5m ) 3, W/m β 10 log(3, /10-1) =65 db A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 36

37 Interferenza di Onde Armoniche Onda generica. fissiamo un punto x.: y 1 = Acos πυ t= Acosωt FASE (moto armonico) Scelta di fase arbitraria. Se a t=0 spostamento nullo invece che massimo: In stesso punto abbiamo un altra onda generica ma con stesso periodo insieme a quella per cui abbiamo scelto il tempo t=0: indico in figura con f la frequenza DIFFERENZA DI FASE (O FASE INIZIALE) ONDA GENERICA A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 37

38 Interferenza di Onde Armoniche RELAZIONE INTERFERENZA Nel tempo: δ = 0 (oppure nπ ) δ = π (oppure (n+1)π ) Nello spazio: x = λ (oppure n λ) DIFFERENZA DI FASE INTERF. COSTRUTTIVA INTERF. DISTRUTTIVA INTERF. COSTRUTTIVA A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 38

39 Interferenza di Onde Armoniche x = λ/ (oppure (n+1) λ/) INTERF. DISTRUTTIVA RELAZIONE DIFFERENZA DI FASE DIFFERENZA DI CAMMINO A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 39

40 Onde stazionarie Onda confinata in regione di spazio limitata (estremi fissi): Riflessioni multiple + Interferenza In generale: configurazione complicata, variabile nel tempo e nello spazio ONDA PRODOTTA ONDA RIFLESSA L ONDA RISULTANTE x L L δ = π + π + π = π + π = π λ λ λ δ generico Interferenza costruttiva o distruttiva, variabile nel tempo La corda in media non assorbe energia A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 40

41 Onde stazionarie δ = π n Sempre interferenza costruttiva (onda riflessa capovolta volte) la corda assorbe sempre più energia (limiti dati solo da effetti di smorzamento) configurazione stabile nel tempo: onda stazionaria (l energia non si propaga nella corda ma staziona in regioni ben definite) δ = π n, L λ = n L=n λ (CONDIZIONE DI RISONANZA) Applicazioni in strumenti musicali A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 41

42 Onde stazionarie VENTRE NODO Frequenze di risonanza: λ L= n vt = n v = n ν ν= n v L = nν 1 Serie armonica (multipla della frequenza fondamentale) A. Romero Fisica dei Beni Culturali Oscillazioni e Onde 4