Meccanica Dinamica del punto materiale

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1 Meccanica Dinamica del punto materiale 9

2 pprossimazioni per piccoli angoli v ± gl sin tan v gl Limite di piccoli angoli: 0 6 cos tan sin +...

3 Serie di Taylor: pprossimazioni per piccoli angoli y y f ( ) y sin 3 y 6

4 endolo semplice orza peso Tensione del filo unto materiale di massa m appeso a un filo (inestensibile, massa trascurabile) di lunghezza fissata

5 endolo semplice orza peso Tensione del filo unto materiale di massa m appeso a un filo (inestensibile, massa trascurabile) di lunghezza fissata

6 endolo semplice unto di massa m, vincolato a un filo ideale, nei pressi della superficie terrestre osizione generica individuata dall angolo Moto circolare TOT T + mg ma Componenti normale e tangente alla traiettoria centripeta: tangenziale: T mg cos ma mg sin ma Verso opposto a > 0 ( forza di richiamo ) T ccelerazione tangenziale in funzione della accelerazione angolare: d a T Lα L g sin d N g L + 0 a T g sin d g + sin 0 L Nel limite di piccole oscillazioni (piccoli valori di ): 6 3 sin +... < 0 Moto armonico semplice O > 0 L mg sin T Equazione differenziale del moto del pendolo mg cos mg

7 iccole oscillazioni ulsazione e periodo: ω g L Equazione del moto: T er l angolo Velocità angolare: π π ω L g ( t) max sin( ω t + φ) Condizioni iniziali d ω ( t) ω max cos( ωt + φ) Velocità angolare d g + L ulsazione ω t +φ ω t +φ Velocità massima: cos( ) Velocità nulla: cos( ) 0 endolo semplice 0 Moto armonico semplice Indipendenti - dalla massa - dall ampiezza dell oscillazione s( t) L ( t) Velocità lineare: L sin( ω t + φ) max v ( t) Lω max cos( ωt + φ) ( ω t + φ ) 0 ( ω + φ ) π / t O L 0 max mg sin T s( t) mg Coordinata s(t) lungo la traiettoria: mg cos

8 Tensione del filo T mg cos ma N T m( g cos v + an ) m g cos + L Tensione massima: Tensione minima: er piccole oscillazioni: v( t) Lω max cos( ω t + φ) max ( t) 0 ( ωt +φ) 0 0 ( t) ( ω + ϕ ) π / max Limite delle piccole oscillazioni: T π L / er grandi oscillazioni: moto periodico ma non armonico pprossimazione sul periodo endolo semplice Equazione del moto: ( t) max sin( ω t + φ) Componente perpendicolare alla traiettoria: ( ω ω φ ) T ( t) m g cos + L cos ( t + ) t g max < 7 T / T < < 50 T / T max < 0.% 5% O L mg sin T mg cos mg

9 endolo semplice orza peso Tensione del filo

10 Lavoro della forza: Dinamica del punto materiale Lavoro della forza Consideriamo un punto in moto, soggetto a una forza compie uno spostamento s lungo la sua traiettoria W < π / Lavoro motore ( W > 0) π / Lavoro nullo ( W 0) s s cos T s > π / Lavoro resistente ( W < 0) La forza e la direzione dello spostamento in generale variano da un punto all altro della traiettoria Lavoro totale compiuto da una forza nello spostamento di dal punto al punto orza costante su ogni piccolo spostamento W assando al limite: i s i W i W n i cos s i s i s i i T orza tangenziale: proiezione in direzione dello spostamento s T Il lavoro è l integrale di linea della forza lungo la traiettoria

11 Dinamica del punto materiale Lavoro della forza La forza agente può essere la risultante di diverse forze Lavoro totale: W N i i N i i N N W i N N i i i i i Il lavoro della risultante è pari alla somma del lavoro delle singole forze agenti - Non agiscono forze W0 - La risultante è nulla - La risultante è sempre ortogonale alla traiettoria E.g.: Moto circolare uniforme

12 Lavoro compiuto nell intervallo di tempo dw Dinamica del punto materiale otenza Nel tempo infinitesimo abbiamo la potenza istantanea: dw T otenza istantanea v cos dv ma T m Energia cinetica Introduciamo la II Legge di Newton nella definizione di lavoro: t otenza media v Variazione del modulo della velocità ercorso finito fra e : W v v mv dv mv Energia cinetica: E K ½mv mv W t T v orza tangenziale m dv EK, EK, mv dv E K N: Energia cinetica: Definita a meno di una costante C oniamo C 0 per avere energia nulla per v 0 v v Teorema dell energia cinetica v

13 N: Vale per ogni tipo di forza Energia cinetica e quantità di moto: EK mv Energia cinetica W E E p K, K, Teorema dell energia cinetica Il lavoro della forza tra e è pari alla variazione di energia cinetica tra e mv Unità di misura Lavoro orza x Spostamento [ N m] [J] Joule Energia cinetica, altre forme di energia otenza Lavoro/Tempo [J s - ] [W] Watt v p E K m W EK mv v p me K modulo della quantità di moto [kg m s ] 3 [kg m s ]