Lezione 4. Meccanica del punto materiale Dinamica

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1 Lezione 4 Meccanica del punto materiale Dinamica

2 Forze di attrito Se si misura sperimentalmente la legge del moto di un corpo che cade liberamente nell atmosfera si verifica il moto che non e esattamente uniformemente accelerato, ma la velocità cresce fino ad un certo valore e poi si stabilizza su un valore costante. Ciò e dovuto alla presenza di una forza che e applicata al corpo ma di cui non si e tenuto conto quando abbiamo studiato il moto di un corpo : la forza di attrito forza totale applicata = mg-forza di attrito Velocita Forza peso = mg F a tempo Forza d attrito La forza di attrito tra corpi e dovuta a deboli forze di attrazione molecolare tra le superfici di corpi a contatto fra due corpi v

3 Forze di attrito La forza di attrito si oppone sempre alla direzione del moto Forza di attrito con l aria Velocita Forza di attrito con la rotaia

4 Forze di attrito Le forze di attrito sono molto importanti in natura perché di fatto permettono il moto. Tuttavia sono la sorgente principale di dissipazione di energia meccanica per sistemi in movimento. Per questo si cerca in generale di minimizzarle in corpi in movimento Le forze di attrito dipendono in modi variabili dai materiali, dalle superfici di attrito, dalla forma dei corpi in attrito. In prima approssimazione, l attrito tra corpi solidi non dipende dalle dimensioni della superficie di contatto :

5 Forze di attrito tra corpi solidi La forza di attrito massima F Amax si verifica al momento dello stacco (v = 0).ed e in generale indipendente dalla superficie di contatto La forza di attrito tra superfici in moto (attrito strisciante) F A e proporzionale alla forza normale alla direzione del moto attraverso un coefficienteµ s (coefficiente di attrito statico) che varia di molto con la natura delle superfici (µ s ~ 0.1 per contatto metallo/metallo, µ s ~ 0.0 per metallo/teflon). La forza di attrito (radente) tra solidi, in condizioni di moto (attrito cinetico µ k ) e quasi indipendente dalla velocità ed e sempre inferiore a F Amax. e quindi µ k < µ s. L attrito di corpi in contatto rotante (attrito volvente) ha leggi più complesse e per materiali usati per la costruzione di ruote ha in generale coefficienti di attrito maggiori dell attrito strisciante Quando si vuole minimizzare gli attriti si cerca di diminuire le forze di attrito con speciali accorgimenti Diminuendo le superfici di contatto Interponendo tra i corpi a contatto del materiale a basso coefficiente di attrito Quando, al contrario, si cerca di aumentare al massimo il coefficiente di attrito (pneumatici), si accetta una dissipazione di energia cinetica.alla superficie di contatto.

6 Forze di attrito viscoso Le forze di attrito tra un solido immerso in un fluido seguono altre leggi. In generale i coefficienti di attrito sono inferiori e dipendono sia dalla velocità del corpo solido sia dalla forma della superficie di contatto, perché il moto del solido modifica lo stato macroscopico del fluido e fenomeni nuovi intervengono (turbolenza, vorticità, ecc). A velocità moderate (v < 100 km/h) prevale la forza di attrito viscoso proporzionale alla velocità F= -b v La forza si annulla per v 0, pertanto ( a differenza dal caso dell attrito radente, non può partecipare ad un equilibrio statico L'accelerazione é : a = -bv/m; Consideriamo (figura 3.4), un punto materiale di massa m lasciato cadere in un fluido e assumiamo che le uniche forze agenti siano la fo peso F 1 = mg e la forza di attrito viscoso F = -m k v, evidenziando ] comodità la massa cioè ponendo la costante b = m k. Le condizioni iniziali del moto sono x = 0 e v = 0 per t = 0. Applicando la legge di Newton (3.1) si ha F 1 + F = mg - mkv = ma = m dv/dt. Dato che la velocità iniziale è nulla, il moto ha luogo soltanto lungo l'asse verticale z (orientato verso il basso).

7 Forze di attrito viscoso Proiettiamo su z l'equazione del moto ottenendo per la velocità Integrando entrambi i membri Come mostrato in figura 3.5, partendo da zero la velocità cresce, sempre più lentamente. Per t» l/k, v assume praticamente il valore costante g/k. Sotto l'azione della sola forza peso il moto sarebbe uniformemente accelerato; la forza di attrito viscoso si oppone all'aumento della velocità, rendendo al limite il moto uniforme. In effetti si vede che per v = g/k l'accelerazione a - g- k v diventa nulla. τ = l/k è la costante di tempo del rallentamento. Questo risultato asintotico si ottiene anche considerando come varia con la velocità il modulo della forza di attrito viscoso F, figura 3.6: esso cresce linearmente con la velocità, mentre la forza peso è costante. Quando la velocità assume il valore g/k la forza di attrito viscoso vale mg, si ha l'equilibrio dinamico tra attrito e peso e la loro risultante si annulla: di conseguenza la velocità non può più cambiare e si instaura un moto uniforme

8 Forze centripete Se la risultante R delle forze agenti su un punto materiale ha una una componente F N ortogonale alla traiettoria, (che risulta pertanto curvilinea), questa forza determina una accelerazione centripeta secondo la relazione.f N = ma N = mv /r dove r il raggio di curvatura della traiettoria, (figura 3.8). In generale R ha anche una componente tangente alla traiettoria, F T, responsabile della variazione del modulo della velocità. Se F T = 0 il moto lungo la traiettoria è uniforme e l'unica accelerazione è a N. F T Forze centripete sono generalmente prodotte da rotaie, pneumatici, fili che collegano il corpo ad un punto fisso ovvero vincoli che consentono di incurvare la traiettoria oppure da azioni a distanza come quelle gravitazionali

9 Moti circolari Esempio Una massa m è sospesa ad un filo non estensibile di lunghezza I e ruota su una circonferenza di raggio r, con velocità v in modulo costante, con il filo che forma un angolo θ con la verticale, figura 3.9. Calcolare la velocità v della sferetta e la tensione T del filo. Soluzione Sulla sferetta agisce la forza perso P e la tensione T del filo, per cui il moto è regolato dalla: La componente della tensione del filo perpendicolare alla traiettoria fornisce la forza centripeta necessaria per il moto circolare uniforme e vale La forza peso e equilibrata della componente verticale del filo: Dividendo membro a membro si ottiene: mg= T cosθ ω Velocità lineare Tensione del filo v g = = Velocità angolare r lcos θ

10 Curva sopraelevata Un automobile, per potere compiere una curva, sfrutta l aderenza dei pneumatici al suolo, che impongono di seguire la traiettoria scelta dal guidatore, esercitando una forza centripeta verso il centro di curvatura della curva. Per limitare il consumo dei pneumatici, spesso le curve sono sopraelevate ossia hanno una pendenza verso il centro della curva. Questa pendenza e scelta per minimizzare l usura dei pneumatici dovuta alla forza centripeta se solo compensata all attrito, Si vuole determinare quale condizione deve essere soddisfatta affinché un auto percorra la curva di raggio R con velocità v costante in un piano orizzontale, (figura 3.30). N senθ Soluzione. Perché il moto circolare sia uniforme la risultante delle forze applicate R deve essere ortogonale alla traiettoria e diretta verso il centro di curvatura della traiettoria. Le forze agenti sono il peso del corpo mg e la reazione vincolare della pista N, normale alla superficie se il vincolo è liscio, come supponiamo. La componente orizzontale di N, N sinθ, rivolta verso il centro della traiettoria circolare seguita dal corpo, fornisce la forza centripeta: N sinθ = mv /r; d'altra parte per la condizione di equilibrio nella dirczione verticale N cosθ = mg. Ricavando N da questa e sostituendo nella prima si ottiene: Per realizzare la condizione voluta devono soddisfare questa relazione la velocità con cui si affronta la curva, il raggio di curvatura della curva e l'angolo di inclinazione della curva. Per esempio se θ = 30 e r = 30 m il corpo resta a quota fissa percorrendo la curva con v = 13 m/s = 46.8 Km/h. A velocità minori il corpo sbanda verso il basso, a velocità maggiori sbanda verso l'alto.

11 Momento di una forza e momento angolare Asse di rotazione Per studiare la dinamica dei moti di rotazione (come quello di un punto vincolato a una ruota) e necessario definire un parametro fisico che descriva matematicamente gli effetti di forze che provocano movimenti rotatori attorno ad un asse. Momento M di una forza F applicata ad un punto P rispetto a un punto O (centro di rotazione); E un vettore pari al prodotto vettore M = r x F modulo e Μ = r F sinθ direzione e ortogonale al piano definito da r = P- O e F verso e dato dalla regola della mano destra Il momento della forza dipende dalla posizione del centro di rotazione e dalla direzione relativa tra raggio r e forza F. E massimo quando la forza e ortogonale a r (in questo caso si chiama braccio della forza). Μ r P F θ 0 F N θ F 1 F F Momento angolare di un punto P di massa m e velocità v (o impulso p =mv) L = r x mv

12 Teorema del momento angolare Il momento angolare di un corpo puntiforme in moto su una traiettoria curva e L(t) = r x mv e varia nel tempo perché sia r che v variano col tempo. Calcoliamo la variazione di L(t) : dl d( r mv) dr dv = = mv + r m dt dt dt dt dr dr Ma = v e quindi mv = v mv = 0 dt dt dv D altra parte: r m = r ma = r F = M, pertanto: dt dl = M dt Che esprime il teorema del momento angolare: la derivata temporale del momento angolare di un corpo in moto su una traiettoria curva e eguale al momento delle forze applicate al corpo. Entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo dl Se il momento della forza e nullo (M = 0) perché F = 0 o F // r: = 0 dt ossia L = cost, che esprime la legge di conservazione del momento angolare Il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo se il momento delle forze applicate al corpo e nullo.

13 Dinamica di moti di rotazione di un punto materiale Le equazioni della dinamica di un moto di rotazione si ricavano applicando la II legge di Newton come nel caso dei moti di traslazione. Se una forza F agisce sulla massa m in moto rotatorio: La componente T della forza F (tensione della corda), applicata radialmente produce un accelerazione centripeta T = ma r,ma non produce alcun momento rispetto al centro C perché e parallela al raggio. La componente F a = m a T applicata perpendicolarmente alla corda F a produce un momento Μ = F a r. Pertanto l equazione del moto si può scrivere: M = F r = ma r = mat r = mr α a T F dove α e l accelerazione angolare vettoriale. Se definiamo momento di inerzia del punto P rispetto al centro C la quantità: I = mr l equazione del moto rotatorio si può scrivere: M = I α formalmente equivalente alla F = m a valida per i moti di traslazione. Dimensioni fisiche del momento di inerzia [I] =[m]*[r] = kg*m Il momento di inerzia non dipende solo dal solo dalla massa del corpo ma anche dalla sua posizione rispetto al centro di rotazione. Una piccola massa a una grande distanza dal centro ha lo stesso momento di inerzia di una massa maggiore a distanza inferiore.

14 Esempio : pendolo semplice II pendolo semplice (figura 3.3), è costituito da un punto materiale appeso tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile. La posizione di equilibrio statico è quella verticale, con il punto fermo ed il filo teso; la forza esercitata dal filo (tensione del filo) vale in modulo T F = mg. Se spostiamo il punto dalla verticale esso inizia ad oscillare attorno a questa, lungo un arco di circonferenza di raggio L, pari alla lunghezza del filo, in un piano verticale. Le equazioni del pendolo si possono ottenere sia utilizzando la II legge della dinamica o in modo più diretto la definizione di momento della forza e di momento di inerzia r s Nel primo modo consideriamo le componenti lungo la traiettoria, orientata come in figura 3, e perpendicolari alla traiettoria (verso positivo da P a O) :. Per s < 0, la forza è diretta secondo il verso assunto positivo, mentre per s > O la forza è diretta secondo verso negativo (e il risultato non dipende dalla scelta del verso di s). Fisicamente R T indica una forza di richiamo che tende a riportare il punto sulla verticale, anche se on è di direzione costante come nel caso delle forze elastiche. La forza R n e annullata dalla tensione del filo

15 L equazione della componente tangenziale : R T = ma Pendolo semplice T = mgsinθ d θ E la definizione di accelerazione angolare : a T = rα = r ci permettono di ricavare l equazione del moto dt d θ g + sinθ = 0 dt r Per piccoli valori di θ, sinθ si può approssimare con θ commettendo un errore relativo che è < 10~ 3. Quindi per piccole oscillazioni l'equazione differenziale diventa: r coincide con quella del moto armonico semplice (1.16), posto ω = g/r. In conclusione il moto del pendolo è oscillatorio armonico quando l'ampiezza elle oscillazioni è piccola così che sen θ ~ 0. La legge oraria del moto è con che è indipendente dall'ampiezza (isocronismo delle piccole oscillazioni). e r r r

16 Pendolo semplice In un modo più diretto, utilizzando le definizioni di momento della forza e momento di inerzia: La forza agente sul punto P e il peso mg, il cui momento vale M = r x mg = - r mg sinθ M r Applicando l equazione del moto M = I α e la definizione di momento di inerzia si ottiene: Che diventa : rmg sin mr θ = α = ossia esattamente come calcolato nell esempio precedente. Il pendolo semplice e un altro esempio di moto armonico, simile al pendolo a molla Da notare il confronto fra le dipendenze dei periodi Pendolo a molla T = π m k r I = mr d θ mr dt Pendolo semplice T = π r g ω k m

17 Sommario sulla cinematica dei moti di rotazione Le leggi della dinamica dei moti rotatori per corpi puntiformi hanno la stessa forma di quelle dei moti traslatori, purché si sostituisca ai parametri di traslazione spazio, velocità, accelerazione, i parametri del moto di rotazione, angolo, velocità angolare, accelerazione angolare, Le equazioni del moto hanno la stessa forma utilizzando parametri omologhi Moto circolare uniformemente accelerato Parametri dei moti traslatori Parametri dei moti rotatori Moto lineare uniformemente accelerato

18 Parametri dinamici dei moti di rotazione La definizione di momento di inerzia ci permette di scrivere le equazioni di un moto di rotazione in funzione dei momenti delle forze applicate al corpo e della accelerazione angolare, nella stessa forma della seconda legge della dinamica. M M M M M M