Esempio di applicazione del principio di d Alembert: determinazione delle forze di reazione della strada su un veicolo.

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1 Esempio di applicazione del principio di d Alembert: determinazione delle forze di reazione della strada su un veicolo. C Si consideri il veicolo rappresentato in figura per il quale valgono le seguenti ipotesi semplificative: 1) Il veicolo è a trazione posteriore ovvero le ruote motrici sulle quali è possibile applicare un momento motore sono le posteriori; 2) la strada è assimilabile ad un piano geometrico perfettamente liscia, piana e dritta; 3) le inerzie di tutti gli organi rotanti, eccetto le ruote, vengono trascurate; 4) assenza di vento; 5) le ruote sono indeformabili; 6) Il modello per le ipotesi fatte si presenta monodimensionale e che ciascuna ruota rappresentata nel disegno corrisponde ad entrambe le ruote dell assale reale. In particolare le reazioni Na e Ta sono la somma delle singole reazioni agenti su ciascuna ruota dell assale anteriore, Np e Tp sono la somma delle singole reazioni agenti su ciascuna ruota dell assale posteriore. 7) Assenza di sospensioni.

2 Il sistema di riferimento fisso ha l asse x (longitudinale) parallelo alla strada, l asse z (verticale) perpendicolare alla strada e l asse y (trasversale) che completa la terna. Le grandezze fisiche di interesse vengono così definite: G = baricentro; A = punto di contatto tra ruota anteriore e strada; B = punto di contatto tra ruota e posteriore strada; p = passo ovvero misura della distanza tra A e B; p p = semipasso posteriore; p A = semipasso anteriore; h G = altezza del baricentro ovvero distanza dal piano della strada del baricentro; W = forza peso; N A = reazione verticale della strada sulla ruota anteriore; N P = reazione verticale della strada sulla ruota posteriore; T p = reazione tangenziale della strada sulla ruota posteriore; T A = reazione tangenziale della strada sulla ruota anteriore; v= velocità di avanzamento; a = accelerazione autoveicolo; R a = resistenza all avanzamento il cui modulo è pari a: 1/2 δ S C x v 2 dove con δ si è indicata la densità dell aria, con S la proiezione della superficie frontale del veicolo su di un piano ortogonale alla strada, C x una costante che dipende dalla forma del veicolo; h = distanza della retta d azione della R a dalla strada; = =velocità angolare ruota; = = accelerazione angolare ruota; M m = momento motore sulla ruota; I r = momento di inerzia di massa della ruota; r = raggio ruota

3 VEICOLO FERMO Applicando il principo di d Alembert al veicolo si ottiene il seguente sistema di equazioni vettoriali: + + = ( ) + ( ) = (1) Avendo scelto il punto B come polo dei momenti. Proiettando sugli assi del sistema di riferimento l equazione (1) si ottengono le due equazioni scalari: = = (2) Da cui si ricavano le espressioni del modulo delle reazioni verticali: = ; = ; + = ; Le due reazioni verticali generalmente non sono uguali ma risulterà maggiore la reazione relativa all assale più vicino al baricentro. VEICOLO IN MOTO In questo caso, a differenza del veicolo fermo, le reazioni tangenziali della strada non sono in generale nulle. Applicando il principo di d Alembert al veicolo si ottiene il seguente sistema di equazioni vettoriali: = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 4 = Da notare che il termine 4, che rappresenta il momento delle forze d inerzia che agiscono sulle ruote, è indipendente dal polo in quanto il risultante delle suddette forze è nullo. Proiettando la prima delle equazioni vettoriali sugli assi si ottengono le seguenti equazioni scalari: = + = (3) Considerando che, nel caso in studio i momenti sono tutti diretti secondo l asse y, la seconda equazione vettoriale si riscrive in forma scalare come segue: h h+ 4 = (4)

4 Isolando la reazione verticale anteriore nella (4) si ottiene: = ( h h + 4 ) (5) Ricordando che per le ipotesi fatte valgono le relazioni: v = ω r ; =. si può riscrivere la (5) come segue: = ( h + h + 4 ) (6) Ricordando che la somma delle reazioni verticali è pari al peso del veicolo si ottiene: = + ( h + h + 4 ) (7) Dalle (6) e (7) si deduce che la presenza della resistenza all'avanzamento provoca sempre un aumento della reazione verticale posteriore ed una diminuzione di quella anteriore. Risulta, inoltre, evidente che quando il veicolo è in accelerazione aumenta la reazione verticale posteriore mentre quando il veicolo è in decelerazione aumenta quella anteriore. Le equazioni scritte sono insufficiente per la determinazione delle reazioni tangenziali, è necessario aggiungere le due equazioni relative all equilibrio dinamico delle ruote anteriori e posteriori: 2 = (ruota anteriore) (8) 2 + = (ruota posteriore) (9) Dalle relazioni scritte si possono dedurre le seguenti: = ; = + = + + (1) Se l'accelerazione è positiva la reazione tangenziale sull'anteriore è opposta al moto mentre la reazione tangenziale posteriore è concorde con il moto. Quando la velocità è costante risulta: T A = e T P =R a. E' possibile determinare il massimo valore che possono assumere le reazioni tangenziali, infatti se si indica con f il coefficiente di attrito tra strada e ruota e si ricorda che le ruote rotolano senza strisciare, si può scrivere che: T A,max = f N A e T P,max = f N P Bisogna pertanto fare attenzione a non superare questi limiti per non fare perdere aderenza alle ruote con conseguente perdita del controllo del veicolo.

5 Nel caso in esame quando il veicolo, a trazione posteriore, viene accelerato le ruote che rischiano di perdere aderenza per prime sono le posteriori per la presenza su di esse dell azione del momento motore. Quando il veicolo è in frenata il M m viene annullato e si applica, attraverso i freni, un momento frenante sulle ruote pertanto le 8) e 9) si riscrivono:, 2 =, 2 = (11) Esempio Numerico Si consideri un veicolo che verifica tutte le ipotesi fatte e per il quale le grandezze introdotte assumono i seguenti valori: m = massa =12 Kg; h = distanza della retta d azione della R a dalla strada =.7 m p = passo =2.4 m p p = semipasso posteriore = 1.3 m h G = altezza del baricentro =.6 m r = raggio ruota =.3 m I r = momento di inerzia di massa della ruota = 1.2 Kg m 2 S = superficie frontale del veicolo = 2 m 2 δ = densità dell aria = 1.2 Kg m -3 C x = Determinazione delle reazioni verticali a veicolo fermo Il peso del veicolo è W= m g = N N A = (1.3/2.4) = N N P = (1.1/2.4) = N 2. Determinazione delle reazioni con veicolo che avanza a 7 Km/h. Innanzitutto va determinata la resistenza all'avanzamento: R a = (7 1/36) 2 = 24 N applicando le (6) e (7):

6 N A = = 6317 N N P = = 5455 N Per le (1) si ha: T A = N; T P =24 N; M m =61.2 Nm 3. Determinazione delle reazioni con veicolo che avanza a 7 Km/h con una accelerazione di 2.5 m/s 2. N A = /2.4 ( ) = = N. N P = = N. T A =-66.7 N; T P = =327 N; M m = =11.2 Nm 4. Determinazione delle reazioni con veicolo che frena; Si voglia frenare il veicolo ovvero portare la velocità da 7 Km/h a zero. E' necessario determinare il massimo valore in modulo della decelerazione ammissibile. Al di sopra di tale decelerazione le ruote slitteranno. Trascurando la resistenza all'avanzamento si può scrivere: + = ( + ) =. Nel caso in esame risulta: a / 12 = m/s 2. Si scelga allora per la decelerazione il valore a = -7.8 m/s 2, negativo in quanto si tratta di una decelerazione del veicolo. Con tale valore il tempo di frenata risulta t=19.4/7.8 =2.48 s. Le reazioni saranno: N A = /2.4 ( ) = =879 N N P = = 363 N La frenata dovrà avvenire in modo che le reazioni tangenziali non superino i valori: T A,max = =6967 N e T A,max = =245 N. Dalle (11): M f,a = = Nm M f,p = =794.5 Nm