Risoluzione problema 1

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PDOV FCOLTÀ DI INGEGNERI Ing. MeccanicaMat. Pari. 015/016 1 prile 016 Una massa m 1 =.5 kg si muove nel tratto liscio di un piano orizzontale con velocita v 0 = 4m/s. Essa urta in modo completamente anelastico una massa m = 1.5 kg. Le due masse si muovono con la stessa velocita. Prima dell urto la mssa m e ferma ed e collegata come in figura a una molla a riposo; l altro estremo della molla e fissato a una parete fissa. Si nota che prima di fermarsi per la prima volta dopo l urto, le due masse comprimono la molla di un tratto Δx=0.1m e durante questo tratto a) la velocita delle due masse subito dopo l urto. si muovono in una zona in cui c e attrito dinamico µ d =0.1 per entrambe le masse. Calcolare : b) la costante K della molla. c) quale valore massimo deve avere µ s perche le due masse ritornino indietro. d) Calcolare l energia cinetica di quando ripassano per la posizione di riposo della molla. m1 m Risoluzione problema 1 a) Urto tra due corpi liberi non vincolati : si conserva nell urto la quantita di moto. P in = P fin P in = m 1 v 1 P fin = (m 1 +m ) v f =(m 1 +m ) v cm m 1 v 1 = (m 1 +m ) v f =(m 1 +m ) v cm : v f = v cm = m 1 v 1 / (m 1 +m ) =.5 m/s b) Dopo l urto l energia cinetica del sistema in parte e spesa contro il lavoro della forze d attrito e il resto si ritrova come energia elastica. ½ (m 1 +m ) v cm = ½ KΔx + µ d (m 1 +m ) g Δx K= 41.6 N/m 1

2 Problema n. Una massa m e ferma su un piano inclinato tenuta da una forza F parallela al piano stesso. La massa e legata all estremo di una molla ideale di costante elastica K che risulta cosi compressa di una quantita d1 (l altro estremo e fisso ). Il piano e inclinato di 30 0 rispetto l orizzontale e non c e attrito. Dati m= Kg K=800 N/m d1=0.1 m g=10n/m d un certo istante la forza F viene tolta. Calcolare: 1) La velocita della massa m quando la molla raggiunge la sua posizione di riposo. ) La posizione rispetto la posizione di riposo della molla in cui la massa ha accelerazione nulla. 3) Calcolare il valore della forza F applicata all inizio e l accelerazione con cui la massa m si era messa in movimento. 4) Il massimo allungamento della molla quando la massa raggiunge velocita nulla lungo il piano inclinato. 5) ( facoltativo). Descrivere il moto della massa m giustificando le ragioni. Quant e il tempo impiegato a raggiungere di nuovo la posizione iniziale? d1 F F RISOLUZIONE PROLEM 1) Il piano inclinato e privo di attrito, le forze presenti ( forza peso e forza elastica) sono conservative e quindi si conserva l energia meccanica totale tra lo stato iniziale e lo stato finale. ssumendo nulla l energia potenziale della forza peso nella posizione di riposo della molla si ha : E ki +E el.i +E peso.i = E kf +E el.f +E peso.f 0+½ k d1 + mgd1sinθ = ½ mv f v f = 5 m/s ) E ki +E el.i +E peso.i = E kf +E el.f +E peso.f 0+½ k d1 + mgd1sinθ =0+ ½ k d - mgdsinθ 400d -10d-5=0 d= m 3) ΣF=ma ( seconda legge di Newton) scegliendo l asse x rivolto verso il basso con lo zero nella posizione di riposo della molla si ha : Fel +Fpeso=ma con la richiesta di a=0 -k x + mg sinθ =0 x c = mg sin θ / K = m 4) scegliendo l asse x rivolto verso il basso con ΣF=ma ( seconda legge di Newton) Fel +Fpeso+F=0 F= -Fel Fpeso = a =(Fel +Fpeso)/m =45 m/s 5)Siamo in presenza di una forza elastica e di una forza costante per cui e sempre un moto armonico perche : ( seconda legge di Newton) ma = -kx+ mgsinθ md x/dt = -kx+ mgsinθ md x/dt = -k(x- mgsinθ / Κ) posto y= x- mg sinθ/κ si ottiene d y/dt +k/m y =0 T= π (m/k) avendo come pulsazione (k/m) E un moto armonico ma il centro dell oscillazione e spostato di x c =g sinθ /Κ.

3 Problema 3 (punti **) Dinamica dei sistemi Un cannoncino a molla di massa M=0. kg poggia su un piano orizzontale ruvido di coefficiente µ d =0.1 e spara un proiettile di massa m=0.01kg orizzontalmente. Il cannoncino rincula ma a causa dell atrito si ferma dopo aver percorso un tratto d=0.5m. Calcolare (assumendo g=10m/s ): 1) La velocità v M iniziale di rinculo del cannoncino subito dopo lo sparo. ) La velocità v p del proiettile subito dopo lo sparo. 3) L energia E fornita dalla molla alle masse e la costante elastica K della molla se è compressa di Δx=5cm prima dello sparo. Problema 4 (punti **) Dinamica dei sistemi Una molla di costante elastica k = 50 N/m è vincolata ad un estremo ad una parete fissa e all altro da un corpo di massa m = 1 kg che giace su un piano liscio. La molla è posta parallela al piano ed è compressa di x. Sopra il corpo giace un altro corpo di massa m = 0.5 kg e tra i due corpi esiste attrito radente con coefficiente di attrito statico µ s = 0.. d un certo istante il vincolo che tiene compressa la molla viene rimosso, ed il sistema di mette in movimento, con il corpo solidale al corpo. Determinare: a) la compressione x iniziale della molla sapendo che la massima velocità raggiunta dal sistema + è pari a v max = 0.3 m/s; b) il modulo della forza di attrito statico F as che agisce tra i due corpi all istante iniziale del moto; c) il modulo della massima compressione x max iniziale della molla per mantenere solidale ad durante il moto. SOLUZIONE PROLEM m + m a) k x = ( m + m ) v max x = vmax = 0.05 m k b) Sul corpo agisce la forza elastica più la forza di attrito statico dovuta all interazione con. Su agisce solo la forza di attrito statico dovuta all interazione con. Quindi: ma = k x Fas k x m a = Fas = k x = N ma = Fas m + m m + m m µ sg c) Fas, max = k xmax = µ smg xmax = ( m + m ) = m m + m k 3

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6 Un corpo di massa m e dimensioni trascurabili è inizialmente fermo su un piano inclinato ad una altezza h dal suolo (N il piano inclinato è vincolato al suolo). d un certo istante il corpo è lasciato libero di muoversi ed inizia a h scendere; alla fine del piano inclinato, esso continua il suo moto su un piano orizzontale dove urta con velocità v = 5 m/s un corpo di massa m = 3 kg fermo sul piano. Dopo l urto, il corpo rimbalza con una velocità v = v / ed il corpo si mette in movimento con velocità v = 0.5 m/s lungo il piano orizzontale. d un certo punto, il corpo inizia a salire su un piano inclinato di massa M non vincolato al suolo e inizialmente fermo; si trova che si ferma istantaneamente rispetto al piano inclinato mobile quando si trova ad un altezza h dal suolo. ssumendo che su tutto il sistema non ci siano attriti, determinare: a) l altezza h rispetto al suolo del corpo all inizio del moto; b) il valore della massa m del corpo ; c) la massa M del piano inclinato mobile sapendo che quando il corpo si ferma istantaneamente rispetto al piano stesso la sua velocità è V = 0. m/s; d) l altezza h rispetto al suolo raggiunta dal corpo sul piano inclinato mobile nello stesso istante. e) calcolare l energia dissipata nell urto tra e. Soluzioni 1 v a) mgh = m v h = = 1.8 m g m v' v' b) m v = m v ' + m v ' m = = m = 0. kg v - v ' 3v c) La componente orizzontale delle forze esterne applicate al sistema di due corpi + piano inclinato mobile è nulla. Quindi la componente orizzontale della quantità di moto si conserva. P = 0 m v' = m v' ' + M v' ' x piano Quando si ferma istantaneamente rispetto al piano, entrambi hanno la stessa velocità istantanea V. m ( v' V ) m v' = m V + MV M = = 4.5 kg V M 3 d) m ( ) ' ' 1 = m v' = m + M V + m gh h = v' + V g m 6

7 Problema 6 Una massa M 1 incognita, ruota in un piano orizzontale con velocità angolare costante. La massa è collegata tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile ad un altra massa M = 1 kg, come mostrato in figura. La massa M 1 precorre una traiettoria circolare di raggio R = 1 m (pendolo conico) e la semiapertura del cono è α = 30. In queste condizioni la massa M rimane sospesa in equilibrio. Calcolare: a. il valore della tensione del filo; b. il valore della massa M 1 ; c. la velocità angolare ω; d. il periodo del pendolo conico. α R M 1 M Problema 4 Un blocco di massa m = 0. kg è lasciato da fermo da un altezza h = 50 cm lungo un piano inclinato di 30. La superficie inclinata ha un coefficiente di attrito dinamico µ d = 0.1. Il blocco scende verso la base del piano e successivamente scivola lungo la superficie orizzontale senza attrito fino a urtare elasticamente ( urto completamente elastico) un blocco di massa M = 800 g fermo a 1.4 m dalla base del piano inclinato. Calcolare: a) la velocità del blocco di massa m quando arriva alla base del piano inclinato. b) la velocita del centro di massa dopo l urto. c) la velocita dopo l urto dei singoli corpi. Risoluzione a) E m = Energia meccanica E m (h) = E m (0) + W att E m (h) = mgh = 0. *9.81 *0.5 =0.98 J W att = Fatt *h = µ d mgcos30 *h = 0.1 *0. *9.81 *0.87 **0.5 =0.17 J mgh = ½ mv 1 + µ d mgcos30 *h v1= sqrt( ( mgh-h µ d m gcos30)/m) = b) v cm = m1v1/(m1+m) = 0. v1 c) m1 m v1 mv v 1 m1 m m m1 v m1v1 v m1 m Dopo V 1 = [ (m1-m) v1 +mv] / (m1+m) = * v1/1 = -0.6*v1 V = [ -(m1-m) v +m1v1] / (m1+m) = (0.6 * v1)/1 = 0.4 v1 7