Esercitazione 13/5/2016

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1 Esercitazione 3/5/206 Esercizio Un anello di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocità v CM costante. Ad un certo istante inizia a salire lungo un piano inclinato. Determinare a che altezza arriva se continua a muoversi con moto di puro rotolamento, oppure se lungo il piano inclinato non c è attrito. Soluzione ) Nel caso in cui ci sia attrito, dalla conservazione dell energia 2 Iω2 + 2 mv2 CM = mgh h = vcm 2 /g. Se invece è presente attrito, il corpo continua a rotolare e solo l energia cinetica traslazionale si trasforma in energia potenziale, 2 Iω2 + 2 mv2 CM = 2 Iω2 + mgh h = v2 CM 2g < h Esercizio 2 Un disco di massa m = 4 kg è munito di una staffa fissa di massa trascurabile solidale all asse orizzontale passante per il centro di massa. Il sistema è inizialmente tenuto fermo su di un piano scabro, inclinato di un angolo θ = 30 rispetto all orizzontale, con l estremità della staffa appoggiata ad una molla di costante elastica k = 00 N/m, compressa di un tratto x = 0.6 m rispetto alla sua posizione di riposo. Lasciando libero il sistema si osserva che il disco si mette in moto rotolando senza strisciare sul piano inclinato. Calcolare l accelerazione del disco nell istante iniziale e il valore minimo del coefficiente di attrito statico perchálla partenza il moto possa essere di puro rotolamento.

2 θ Soluzione 2 Prendendo un sistema di riferimento on l asse x orientato verso la sommità del piano, { k x mgsinθ f = ma CM fr = I a CM r Risolvendo il sistema si ottiene { a CM = 2 3m [k x mgsinθ] = 6.7 m/s2 f = 2 ma CM = 3.5 N Perché si abbia puro rotolamento deve essere f µ s N = µ s mgcosθ. minimo si ha per f µ s = mgcosθ = 0.4 Il valore Esercizio 3 Una mole di gas perfetto è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone di massa M libero di scorrere senza attrito. Il sistema gas+cilindro+pistone, che si trova in un ambiente in cui è stato fatto il vuoto (pressione esterna trascurabile), è inizialmente a riposo a temperatura T i = 295 K. La base conduttrice del cilindro viene messa a contatto con una sorgente costituita da un recipiente contenente vapore acqueo a T = 373 K. Il gas compie una trasformazione irreversibile al termine della quale il sistema si trova in un nuovo stato di equilibrio in cui il pistone si è alzato di h = 20 cm. Di conseguenza, nel recipiente si sono formate gocce d acqua la cui massa totale è m a = g. Supponendo nulla la capacità termica del sistema cilindro+pistone, e sapendo che λ = 540 cal/g (calore latente di evaporazione dell acqua), calcolare: ) il calore Q scambiato nella trasformazione; 2) il calore specifico del gas, e quindi la natura del gas; 3) la variazione di energia interna del gas; 4) la massa M del pistone. 2

3 Soluzione 3 ) Il calore assorbito dal gas è quello ceduto dalla sorgente che ha permesso la condensazione dell acqua, Q = λm a = 540 cal = 2257 J. 2) La pressione è quella del pistone, che è la stessa nei due stati di equilibrio, quindi la trasformazione è isobara ed il calore può essere scritto anche come Q = nc p (T T i ), si ricava c p = Q = 28.9 J/mol K 3.5R n(t T i ) quindi il gas è biatomico. 3) U = nc v (T T i ) = 62 J. 4) Possiamo scrivere il lavoro fatto dal gas come L = p V = Mg Sh = nr T S M = nr T gh = 325 kg Esercizio 4 Una mole di gas perfetto, inizialmente nello stato A (T A = 300 K), compie una trasformazione isoterma fino a raddoppiare il proprio volume, una trasformazione isocora che lo porta ad una temperatura T C = 89 K, ed infine un adiabatica che lo riporta in uno stato in uno stato finale F in cui il volume è uguale a quello iniziale. Supponendo che tutte le trasformazioni siano reversibili, ) disegnare le trasformazioni nel piano di Clapeyron; 2) quale deve essere la natura del gas affinché F coincida con A; 3) se F = A, calcolare il rendimento del ciclo; 4) calcolare la variazione di entropia nelle tre trasformazioni e nel ciclo completo; 5) disegnare le trasformazioni nel piano T S ; 6) se la isocora viene fatta in maniera irreversibile mettendo il gas a contatto con una sorgente a T = T C, calcolare la variazione di entropia dell universo. 3

4 Soluzione 4 )-5) 2) Se F ed A coincidono, S CA = 0. Essendo un ciclo, S AB + S BC = 0,ovvero quindi il gas è monoatomico. 3) Q AB = L AB = nrt A ln(v B /V A ) > 0 L BC = 0 Q BC = nc v (T C T B ) < 0 Q CA = 0 L CA = nc v (T A T C ) < 0 Il rendimento del ciclo è quindi nrln(v B /V A ) + nc v ln(t C /T A ) = 0 c v /R = ln(v B /V A )/ln(t C /T A ) =.5 η = L AB + L CA Q AB = 0.2 4) Le formule per le variazioni di entropia le abbiamo viste al punto 2), e troviamo S AB = 5.76 J/K, S BC = 5.76 J/K, S CA = 0, e quindi S gas = 0, come deve essere in un ciclo. 4

5 6) S UNI = S gas + S amb. Le variazioni di entropia dell ambiente sono uguali e opposte a quelle del gas nel caso di trasformazioni reversibili. Per la trasformazione irreversibile BC invece l ambiante è una sorgente e la sua variazione di entropia sarà data da S BC = Q BC /T C = 7.30 J/K. Quindi S UNI = S amb =.56 J/K. S UNI > 0 come deve essere per il secondo principio della termodinamica. 5