Temi di termodinamica

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1 Temi di termodinamica Prova scritta del 12/04/1995 Una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura T A =243 K e pressione p A = 2 atm, esegue un ciclo reversibile costituito dalle seguenti trasformazioni: > espansione isobara AB; > espansione adiabatica BC fino a p C = 1 atm, e T C =T A ; > compressione isoterma CA fino a ritornare allo stato A. Calcolare: a) i parametri p,v,t di ogni stato e disegnare il ciclo in un piano (p,v); b) il calore scambiato in ogni trasformazione; c) il rendimento del ciclo d) la variazione di entropia del gas lungo la trasformazione isoterma CA. Soluzione: b) 1630J, 2020 J, 1400 J; c) 14%; d) 1.4 cal/ K Prova scritta del 5/07/1995 Una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura T A =243 K e volume V A = 10 litri, esegue un ciclo reversibile costituito dalle seguenti trasformazioni: > espansione isobara AB fino a V B = 4 V A ; > trasformazione isocora BC fino a p C = 1/2 p A ; > compressione isobara CD fino a riportare il volume a V A ; > trasformazione isocora DA fino a ritornare allo stato A. Calcolare: a) i parametri p,v,t di ogni stato e disegnare il ciclo in un piano (p,v); b) il lavoro compiuto dal gas; c) il rendimento del ciclo; d) la variazione di entalpia del gas lungo la trasformazione isocora DA. Soluzione: b) 36.3 litri atm; c) 19%; d) 24.9 litri atm Prova scritta del 3/04/1996 A) Un gas perfetto monoatomico e' contenuto in un recipiente della capacita' di 10 litri alla temperatura di 27 C e alla pressione di 4 atm. Calcolare: a) il lavoro occorrente per comprimere isotermicamente e reversibilmente il gas fino a un volume di 3 litri; b) il lavoro ottenuto lasciando espandere il gas adiabaticamente e reversibilmente fino al volume iniziale; c) la variazione complessiva di entropia del gas in seguito alle trasformazioni precedenti. Soluzione: a) litri atm; b) cal; c) 3.4 cal/ K T1

2 B) Un recipiente di volume 10 litri contiene 3 moli di un gas perfetto monoatomico alla temperatura di 27 C. Calcolare: a) il lavoro occorrente per comprimere isotermicamente e reversibilmente il gas fino a un volume di 3 litri; b) il lavoro ottenuto lasciando espandere il gas adiabaticamente e reversibilmente fino al volume iniziale; c) la variazione complessiva di entropia del gas in seguito alle trasformazioni precedenti. Soluzione: a) 900 R ln0.3; b) L gas = -L occorrente ; c) 3R ln(10/3) Prova scritta del 4/07/1996 Una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura T 0 = 273 ºK e p 0 = 1 atm, esegue un ciclo reversibile costituto da: > un riscaldamento a pressione costante fino a V 1 = 2V 0 > un raffreddamento a volume costante fino ad una temperatura uguale a T 0 > una compressione isoterma fino a ritornare allo stato iniziale. a) Disegnare il ciclo nel piano p,v. Calcolare: a) il rendimento del ciclo; b) la variazione di entropia del gas durante ciascuna delle tre trasformazioni. Soluzione: b) 12%; c) 0.14 litri atm/ K, litri atm/ K, litri atm/ K Prova scritta del 19/9/1996 Una massa di 1 kg di acqua a t 1 = 20 C viene raffreddata alla pressione atmosferica fino ad ottenere ghiaccio a t 2 = -20 C. Calcolare: a) la quantità di calore che e' stata sottratta; b) la variazione di entropia del sistema acqua+ghiaccio. Soluzione: a) 110 Kcal; b) cal/ K Prova scritta del 12/2/1997 A) Due moli di gas perfetto monoatomico vengono portate da temperatura T 1 = 300 K a T 2 = 3T 1 mediante una trasformazione adiabatica reversibile. a) Determinare il rapporto V 2 /V 1. b) Quanto e' il lavoro compiuto durante il processo? Soluzione: a) V 2 /V ; b) L -15 KJ 2bis) Dimostrare l'espressione della variazione di entropia del gas perfetto. T2

3 B) Una mole di gas perfetto monoatomico viene portata dalla pressione p 1 alla pressione p 2 = 3p 1 mediante una isoterma reversibile a temperatura T 1. Successivamente mediante una adiabatica reversibile il gas viene riportato alla pressione p 1. a) Trovare la variazione di entropia del gas. b) Quanto vale il rapporto tra la temperatura finale T 2 e quella iniziale T 1? Soluzione: a)-9.1 J/ K ; b) T 2 /T bis) Il primo principio della termodinamica. C) Una mole di gas perfetto monoatomico, a temperatura T 1 = 300 K e pressione p 1 = 1 atm, viene portata, mediante una trasformazione adiabatica reversibile, alla temperatura T 2 = 200 K. Successivamente mediante un'isoterma reversibile il volume viene riportato al valore iniziale. a) Quanto vale la pressione finale p f del gas? b) Di quanto e' variata l'entropia del gas? Soluzione: p f =0.67 atm S= cal/ K 2bis) Propagazione del calore Prova scritta del 27/3/1997 A) Una certa quantità di acqua viene versata in un recipiente di volume V = 1 m 3 tenuto a pressione p = 1 atm e posto su un termostato a temperatura T = 373 K in modo da mantenere costante anche la temperatura. Si osserva che in tali condizioni tutta l'acqua evapora e quindi va ad occupare l'intero volume del recipiente. Conoscendo il calore di evaporazione λ = 539 cal/g e la densità dell'acqua liquida ρ = 1 g/cm 3, trovare: a) il numero di moli di H 2 O (si tratti il vapore acqueo come un gas perfetto di peso molecolare M = 18); b) la massa ed il volume dell'acqua; c) la variazione di entropia del termostato a temperatura T. Soluzione: a) n = 32.7; b) 588.5g, cm 3 ; c) -850 cal/ K RECUPERO: 2bis) Il primo principio della termodinamica. B) Un recipiente di volume V = 2 m 3 tenuto a pressione p =1 atm e mantenuto a temperatura costante da un termostato a T = 373 K, contiene acqua sotto forma di vapore. Il volume viene ridotto, finche' esso contiene solo acqua liquida. Conoscendo il calore di evaporazione λ = 539 cal/g e la densità dell'acqua liquida ρ = 1 g/cm 3, trovare: a) il numero di moli di H 2 O (si tratti il vapore acqueo come un gas perfetto di peso molecolare M = 18); b) la massa ed il volume di acqua quando tutto il vapore si e' liquefatto; c) la variazione di entropia del vapore che si trasforma in acqua. Soluzione: a) n = 65.4; b) 1177 g, 1.2 l; c) 1.7 Kcal/ K T3

4 RECUPERO: Lavoro in trasformazioni termodinamiche. C) Un litro di acqua viene versato in un recipiente tenuto a pressione p = 1 atm e mantenuto a temperatura costante da un termostato a T = 373 K. In tali condizioni tutta l'acqua evapora e va ad occupare l'intero volume del recipiente. Conoscendo il calore di evaporazione λ = 539 cal/g e la densità dell'acqua liquida ρ = 1 g/cm 3, trovare: a) la massa e il numero di moli di H 2 O (peso molecolare M = 18); b) il volume del recipiente (si tratti il vapore acqueo come un gas perfetto); c) la variazione di entropia dell'acqua. Soluzione: a) m = 1 Kg, n = 55.6; b) 1.7 m 3 ; c) 1.4 Kcal/ K RECUPERO: Dimostrare la relazione c p - c v = R per i gas perfetti Prova scritta del 4/6/1997 A) Un recipiente contiene m =1.2 g di idrogeno alla pressione p 0 = 0.3 atm e V 0 = 32.8 litri. Al gas viene fatto eseguire un ciclo reversibile costituito da una espansione adiabatica fino a un volume quadruplo di quello iniziale, da una isoterma fino a riprendere il volume iniziale e da una isocora con la quale il ciclo si chiude. Trattando l'idrogeno contenuto nel recipiente come un gas perfetto biatomico di peso molecolare M=2: a) disegnare il ciclo nel piano (p,v) e calcolare: b) la temperatura e la pressione del gas alla fine dell'adiabatica; c) la variazione di entropia del gas durante la trasformazione isocora; d) il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione isoterma. Soluzione: a) 115 K; b) 0.04 atm; c) 1.65 cal/ K; d) 7.84 litri atm B) Una quantità' m =1.2 g di idrogeno, inizialmente a T 1 = 115 K e V 1 = l, e' utilizzata per eseguire un ciclo reversibile costituito da una compressione isoterma fino a un volume pari a 1/4 di quello iniziale, da una isocora fino a p 3 e T 3 e da una espansione adiabatica fino a riprendere il volume iniziale con la quale il ciclo si chiude. Trattando l'idrogeno contenuto nel recipiente come un gas perfetto biatomico di peso molecolare M=2: a) disegnare il ciclo nel piano (p,v) e calcolare: b) la temperatura e la pressione del gas all'inizio dell'adiabatica; c) la variazione di entropia del gas durante la trasformazione isoterma; d) il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione adiabatica. Soluzione: a) 200 K; b) 0.3 atm; c) 0.07 litri atm/ K; d) 10.5 litri atm T4

5 C) Una quantità' pari a 0.6 moli di gas perfetto biatomico, inizialmente a p 1 = 0.17 atm e V 1 = 32.8 l, viene utilizzata per eseguire un ciclo reversibile costituito da una compressione isocora fino a T 2 = 200 K, da una espansione adiabatica fino ad un volume V 3 = 4 V 2 e da una isoterma fino a riprendere i valori iniziali con la quale il ciclo si chiude. a) disegnare il ciclo nel piano (p,v) e calcolare: b) la temperatura dell'isoterma e la pressione del gas all'inizio dell'isoterma; c) la variazione di entropia del gas durante la trasformazione isoterma; d) il calore scambiato durante la trasformazione isocora. Soluzione: a) K; b) 0.04 atm; c) 0.07 litri atm/ K; d) 10.7 litri atm Prova scritta del 19/9/1997 Una resistenza, che sviluppa una potenza di 1500 watt, viene usata per scaldare 80 litri di acqua da 15 C a 65 C. a) Quanto calore viene fornito? b) Quanto tempo occorre, supponendo che non vi siano dispersioni termiche? c) Qual e' la variazione di entropia dell'acqua? Soluzione: a) Kcal; b) 3 h 6 m ; c) 12.8 Kcal/ K 2a) Equazioni di Poisson per trasformazioni quasi-statiche di gas perfetti 2b) Gas perfetti e gas reali Prova scritta parziale del 9/1/1998 1A) Una sbarra di ferro lunga L = 20 cm e sezione S = 3 cm 2 ha un'estremità in un bagno di acqua e ghiaccio a 0 C e l'altra in acqua bollente e vapore a 100 C. La conducibilità termica della sbarra di ferro e' K= 0.16 cal/sec cm K. Assumendo che il calore sia trasmesso per conduzione solo attraverso la lunghezza della sbarra, si calcoli: a) quanto calore viene trasmesso nell'unita' di tempo lungo la sbarra; b) la quantità di calore trasferita dal vapore d'acqua al ghiaccio in 10 min; c) la quantità di ghiaccio che fonde in 10 min; d) la variazione di entropia dell'universo, nei 10 min Soluzione: a) 2.4 cal/s; b) 1440 cal; c) 18 g; d) 1.4 cal/ K 2A) Due moli di gas perfetto monoatomico alla pressione e volume iniziali p 1 = 6 atm, V 1 = 15 litri, compiono un ciclo reversibile costituito da: 1-2: espansione isoterma fino al volume V 2 = 3V 1 ; 2-3: decompressione isocora fino alla pressione p 3 ; 3-1: compressione adiabatica fino allo stato iniziale. Si chiede: a) determinare le coordinate termodinamiche degli stati 1, 2, 3 e disegnare il ciclo; b) determinare il lavoro complessivo compiuto dal gas durante il ciclo; c) determinare il calore complessivo scambiato dal gas durante il ciclo; d) determinare il rendimento del ciclo. Soluzione: b) 2.9 KJ; c) 2.9 KJ ; d) 28.7% T5

6 3A) Dimostrare la relazione c p c v = R 4A) Disuguaglianza di Clausius e funzione di stato Entropia 1B) Una persona con metabolismo basale di 2000 Kcal/giorno, si trova in un sacco a pelo di piumino (conducibilità termica K=0.006 cal/sec m K) di superficie S=2 m 2. Considerando il corpo umano come un termostato a 37 C e che la temperatura della superficie esterna del sacco a pelo sia 10 C, si calcoli: a) lo spessore che deve avere il sacco a pelo, affinché il calore trasmesso per conduzione attraverso la superficie del sacco a pelo sia proprio uguale a quello del metabolismo basale della persona; b) la quantità di calore che si trasmette per conduzione attraverso il sacco a pelo in 6 ore; c) la variazione dell'entropia dell'universo nelle 6 ore. Se la quantità di calore di cui al punto b) potesse essere usata per far evaporare dell'acqua bollente, calcolare: d) la quantità di vapore prodotto. Soluzione: a) 1.4 cm; b) 500 Kcal; c) 154 cal/ K; d) 930 g 2B) Due moli di gas perfetto monoatomico alla pressione e volume iniziali p 1 = 6 atm, V 1 = 15 litri, compiono un ciclo reversibile costituito da: 1-2: espansione adiabatica fino al volume V 2 = 3V 1 ; 2-3: compressione isoterma fino al volume V 3 = V 1 ; 3-1: compressione isocora fino allo stato iniziale. Si chiede: a) determinare le coordinate termodinamiche degli stati 1, 2, 3 e disegnare il ciclo; b) determinare il lavoro complessivo compiuto dal gas durante il ciclo; c) determinare il calore complessivo scambiato dal gas durante il ciclo; d) determinare il rendimento del ciclo. Soluzione: b) 2.3 KJ; c) 2.3 KJ; d) 33% 3B) Primo principio della Termodinamica: illustrare e fare qualche esempio 4B) Ciclo di Carnot 1C) Una persona con superficie corporea S=1.8 m 2, indossa un abito spesso 1 cm di conduttività termica K=10-5 Kcal/sec m K. Se la temperatura cutanea e' 37 C e la temperatura esterna e' 0 C: a) calcolare il calore che si trasmette per conduzione attraverso gli abiti nell'unita' di tempo; b) valutare se la persona e' sufficientemente coperta, calcolando la perdita di calore in 1 ora e confrontandola con il metabolismo basale di un soggetto in attività moderata (produzione di ~100Kcal/h); c) determinare la variazione di entropia dell'universo legata alla perdita di calore in 1 ora, calcolata al punto b). T6

7 Se la quantità di calore di cui al punto b) potesse essere usata per far evaporare dell'acqua bollente, calcolare: d) la quantità di vapore prodotto. Soluzione: a) 66.6 cal/s; b) Q = 240 Kcal; c) 105 cal/ K; d) 444 g 2C) Due moli di gas perfetto monoatomico alla pressione e volume iniziali p 1 = 6 atm, V 1 = 15 litri, compiono un ciclo reversibile costituito da: 1-2: espansione isoterma fino al volume V 2 = 3V 1 ; 2-3: contrazione isobara fino al volume V 3 ; 3-1: compressione adiabatica fino allo stato iniziale. Si chiede: a) determinare le coordinate termodinamiche degli stati 1, 2, 3 e disegnare il ciclo; b) determinare il lavoro complessivo compiuto dal gas durante il ciclo; c) determinare il calore complessivo scambiato dal gas durante il ciclo; d) determinare il rendimento del ciclo. Soluzione: b) 1.9 KJ; c) 1.9 KJ; d) 19% 3C) Dilatazione termica: illustrare e fare qualche esempio 4C) Entropia del gas perfetto 1D) Una parete di superficie S = 3 m 2 ha spessore 40 cm. La superficie esterna si trova a T est = -20 C e quella interna a T int = +20 C. Si osserva che la velocità di propagazione del calore per conduzione attraverso la parete e' di 92 cal/sec. Determinare: a) il coefficiente di conducibilità termica del materiale di cui e' fatta la parete; b) la quantità di calore che attraversa la parete in 15 min; c) la variazione di entropia dell'universo corrispondente a b). Se la quantità di calore di cui al punto b) potesse essere ceduta a una miscela di acqua e ghiaccio, calcolare: d) la quantità di ghiaccio che si potrebbe fondere. Soluzione: a) 0.31 cal/s m K; b) 82.8 Kcal; c) 44.7 cal/ K; d) 1 Kg circa 2D) Due moli di gas perfetto monoatomico alla pressione e volume iniziali p 1 = 6 atm, V 1 = 15 litri, compiono un ciclo reversibile costituito da: 1-2: espansione adiabatica fino al volume V 2 = 3V 1 ; 2-3: compressione isoterma fino lla pressione p 3 = p 1 ; 3-1: trasformazione isobara fino allo stato iniziale. Si chiede: a) determinare le coordinate termodinamiche degli stati 1, 2, 3 e disegnare il ciclo; b) determinare il lavoro complessivo compiuto dal gas durante il ciclo; c) determinare il calore complessivo scambiato dal gas durante il ciclo; d) determinare il rendimento del ciclo. Soluzione: b) 3.9 KJ; c) 3.9 KJ; d) 33% T7

8 3D) Secondo principio della Termodinamica 4D) Potenziali termodinamici Prova scritta del 18/2/1998 Una quantità di calore pari a 300 KJ viene fornita a 720 g di ghiaccio, che si trovano a temperatura -10 C, utilizzando un termostato a t = 27 C. Calcolare: a) la temperatura finale dell acqua allo stato liquido; b) la variazione di entropia del termostato; c) la variazione di entropia dell universo. Soluzione: a) 288 K; b) 10 3 J/ K; c) 96.5 J/ K Prova scritta del 10/6/1998 Una mole di gas perfetto biatomico alla pressione p A = 2 atm e volume V A = 10 litri, esegue un ciclo reversibile costituto da: > un espansione AB a pressione costante fino a V B = 3V A > una compressione lungo una trasformazione lineare BC fino a p C = 1 atm e T C = T A > una compressione isoterma fino a ritornare allo stato iniziale. a) Disegnare il ciclo nel piano p,v Calcolare: b) il lavoro compiuto lungo ciascuna trasformazione; c) il rendimento del ciclo. Soluzione: b) 40 litri atm, 15 litri atm, litri atm; c) 8% Prova scritta del 10/7/1998 Una quantità di ossigeno pari a m = 128 g (gas perfetto biatomico M=32), inizialmente alla temperatura di 25 C, viene compresso reversibilmente e isotermicamente da p 1 = 10 5 atm a p 2 = 6 p 1. Calcolare: a) i parametri dello stato iniziale e finale; b) il calore scambiato (indicare se e calore assorbito o ceduto); c) la variazione di entropia lungo la trasformazione. Soluzione: b) 175 litri atm; c) 0.6 litri atm/ K Prova scritta parziale del 5/1/1999 1A) Una massa m 1 = 2 Kg di acqua alla temperatura t 1 = 80 C viene mescolata, in un recipiente adiabatico, con una massa di ghiaccio m 2 = 1 Kg a t 2 = 0 C. Calcolare: a) la temperatura finale del sistema; b) la quantità di calore ceduta dall acqua; c) la variazione di entropia dell Universo. Soluzione: a) 27 C; b) 106 Kcal; c) 62 cal/ K T8

9 2A) Un cilindro munito di pistone contiene una quantità m = 60 g di aria. Le pareti del cilindro, cosi come il pistone, sono impermeabili al calore. Inizialmente il pistone e bloccato in una posizione tale che il volume iniziale dell aria e V i = 16.4 litri. Sul pistone agisce la pressione atmosferica p 0 = 1 atm. Ad un certo istante il pistone viene lasciato libero di muoversi e si vede che l aria si espande finche non raggiunge un volume V f = 39.8 litri. Considerando che si tratta di un processo adiabatico irreversibile, e trattando l aria come un gas perfetto biatomico di peso molecolare 30, si calcoli: a) il lavoro compiuto dall aria nell espansione; b) la variazione di energia interna del gas durante l espansione; c) temperatura e pressione iniziali dell aria; d) la variazione di entropia dell aria; e) la variazione di entalpia dell aria. Soluzione: a) 23.4 litri atm; b) 23.4 litri atm; c) 300 K, 3 atm; d) 6.1 J/ K; e) 791 cal 1) Secondo principio della termodinamica 2) Equazioni di Poisson per trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto 2B) Un cilindro munito di pistone contiene 2 moli di un gas perfetto biatomico. Le pareti del cilindro, cosi come il pistone, sono impermeabili al calore. Inizialmente il pistone e bloccato in una posizione tale che il gas si trova a una pressione p i = 3 atm e alla temperatura T i = 300 K. Sul pistone agisce la pressione atmosferica p 0 = 1 atm. Ad un certo istante il pistone viene lasciato libero di muoversi e si vede che il gas si espande finche non raggiunge una condizione di equilibrio con la pressione esterna. In tale situazione si ha T f = 243 K. Considerando che si tratta di un processo adiabatico irreversibile, si calcoli: a) la variazione di energia interna del gas durante l espansione; b) il lavoro compiuto dal gas nell espansione; c) il volume finale del gas; d) la variazione di entropia del gas; e) la variazione di entalpia del gas. Soluzione: a) 23.4 litri atm; b) ; c) 39.8 l; d) 0.06 litri atm/ K; e) nc p (T f -T i ) 1) Gas perfetti e gas reali 2) Equazioni di Poisson per trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto Prova scritta del 19/2/1999 Una mole di gas perfetto monoatomico effettua un ciclo reversibile costituito da quattro trasformazioni: compressione isocora (da A a B), espansione isobara (da B a C), espansione adiabatica (da C a D) e compressione isoterma (da D a A). Assumendo T A = 313 K, V A = 10 litri, T B = 533 K, T C = 753 K, calcolare: a) i parametri termodinamici per ogni stato e disegnare il ciclo nel piano p-v; b) il calore Q scambiato in ogni trasformazione; c) il rendimento del ciclo; d) il lavoro L compiuto dal gas in un ciclo. Soluzione: b); c) 41%; d) 3 KJ T9

10 A) Gas perfetti e gas reali B) Dimostrare la relazione c p c V = R valida per un gas perfetto Prova scritta del 16/6/1999 In un recipiente a pareti adiabatiche e' contenuta una massa m = 0.5 Kg di paraffina alla temperatura di 20 C. Nel recipiente viene versata una quantità M = 1 Kg di acqua alla temperatura di 100 C. Calcolare: a) la temperatura finale di equilibrio del sistema; b) la variazione di entropia del sistema acqua+paraffina. Per la paraffina si assumano i seguenti valori: calori specifici: solida c s = 0.42 cal/gr C liquida c l = 0.52 cal/gr C calore latente di fusione λ f = 35 cal/gr temperatura di fusione t f = 55 C Soluzione: a) 71 C; b) 8.6 cal/ K Prova scritta del 12/7/1999 Un frigorifero e' dotato di un motore della potenza di 1.5 W e il suo coefficiente di prestazione e' 0.7 volte quello di un ciclo frigorifero di Carnot. Sapendo che il frigorifero lavora in una stanza la cui temperatura e' t s = 25 C e che al suo interno la temperatura e' t i = -5 C, calcolare: a) il coefficiente di prestazione del frigorifero; b) la quantità di calore che in un'ora viene sottratta dall'interno del frigorifero; c) la quantità di calore che in un'ora viene ceduta alla stanza. Soluzione: a) 6.25; b) J; c) J Prova scritta del 20/9/1999 Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente alla temperatura T A = 400 K, e volume V A = 20 litri, esegue un ciclo reversibile formato da una espansione isoterma fino ad un volume V B = 32.8 litri, una compressione isobara BC fino a tornare al volume iniziale e una trasformazione isocora CA. Calcolare: a) i parametri termodinamici di ogni stato e disegnare il ciclo nel piano p-v; b) il calore scambiato in ogni trasformazione; c) il rendimento del ciclo; d) la variazione di entropia lungo la trasformazione isoterma. Soluzione: b) 16.2 litri atm, -32 litri atm, 19.2 litri atm; c) 9.6%; d) 0.04 litri atm/ K T10