Compito di Fisica Generale I mod. B, Corsi di Laurea in Fisica e in Astronomia, AA 2010/11. Cognome... Nome... Matricola n...

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Regina Chiara Cara
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1 Compito di Fisica Generale I mod. B, Corsi di Laurea in Fisica e in Astronomia, AA 2010/11 Cognome... Nome... Matricola n... Esercizio 1. Si abbia un recipiente a pareti adiabatiche contenente al suo interno 1000 litri di acqua (densità ρ a = 10 3 kg/m 3, calore specifico c a = J/kgK) alla temperatura T a = 300 K. Vengono collocati al suo interno 2 cubi del volume di 1 litro. Un cubo è di ghiaccio (densità ρ g = 0.9 * 10 3 kg/m 3, calore specifico c g = J/kgK, calore latente di fusione λ f = 3.3 * 10 5 J/kg) alla temperatura T g = 270 K ed uno di piombo (densità ρ pb = 11.3 * 10 3 kg/m 3, calore specifico c pb = J/kgK) alla temperatura T pb = 500 K. Si determini: 1) la spinta idrostatica sul cubo di ghiaccio al momento dell immersione S g = 2) il volume della parte immersa del cubo di ghiaccio prima che inizi a fondere V g =... 3) la spinta idrostatica sul cubo di piombo S pb = 4) la temperatura di equilibrio finale del sistema T e =... 5) la quantità di calore assorbita complessivamente dalla massa d acqua inizialmente in fase solida per portarsi dalla temperatura iniziale T g fino alle temperatura di equilibrio T e Q,g =.... Ghiaccio Piombo Acqua

2 Esercizio 2. Un gas ideale monoatomico subisce le trasformazioni termodinamiche reversibili rappresentate nel piano di Clapeyron in figura. I parametri termodinamici dello stato iniziale sono i seguenti: V A =0.025 m 3, p A = 1 bar, n = 1 mole. La trasformazione AB è isobara e lo stato B è caratterizzato da un volume V B = 2 V A ; la trasformazione BC è adiabatica con il volume V C =3 V A e le trasformazioni CD e DA sono rispettivamente isobara ed isocora. Si determini: 1) la temperatura iniziale del sistema T A = 2) il lavoro totale nel ciclo W t = 3) il calore scambiato nella trasformazione CD Q CD =... 4) il rendimento del ciclo η = 5) la variazione complessiva di entropia del gas nel ciclo ΔS gas =. p A B D C V

3 Esercizio 3. Un cilindro chiuso del volume V = 10-2 m 3 a pareti adiabatiche è separato in due parti uguali A e B da una parete interna perfettamente diatermica, inizialmente mantenuta in una posizione fissa. Nella parte di destra A sono contenute n A =3 moli di elio alla temperatura T A = 300 K, mentre nella parte B sono contenute n B =10 moli di azoto alla temperatura T B = 500 K. Descrivendo l elio come un gas ideale monoatomico e l azoto come un gas ideale biatomico, si determini: 1) la temperatura di equilibrio del sistema T e = Una volta raggiunto l equilibrio, si sblocca la parete interna che quindi può muoversi liberamente, e il sistema raggiunge un nuovo stato di equilibrio. Si calcolino: 2) la pressione di equilibrio p e =. 3) la variazione di entropia del gas nella parte A in questa trasformazione ΔS A =... 4) la variazione di entropia del gas nella parte B in questa trasformazione ΔS B = Infine la parete mobile viene completamente rimossa. Si determini: 5) la variazione di entropia dell universo in quest ultima trasformazione ΔS univ =.. A B

4 Soluzione Esercizio 1. 1 e 2) La spinta idrostatica che agisce sul cubetto di ghiaccio al momento dell immersione è pari al prodotto dell accelerazione di gravità per il volume di liquido spostato dal cubetto: Volume della parte immersa del cubo di ghiaccio V g = ρ g / ρ a * V g,totale = 0.9 l La spinta idrostatica sul cubo di ghiaccio S g = g * V g * ρ a = 8.82 N. 3) La spinta idrostatica sul cubo di piombo S pb = g * V pb * ρ a = 9.8 N. 4) La temperatura di equilibrio finale del sistema si calcola equiparando la somma totale dei calori scambiati dai 3 corpi pari a zero, tenendo in considerazione il cambiamento di fase del ghiaccio. ΔQtot = 0 = ΔQa + ΔQpb + ΔQg = ma ca (Te Ta) + mpb * cpb * (Te Tpb) + mg * cg * (Tfus Tg) + λf * mg + mg * ca * (Te Tfus), da cui T e = ( ma ca Ta + mbp cpb Tpb + mg cg Tg - λf * mg - mg * cg * (Tfus Tg) ) / ( ma ca + mpb cpb + mg ca) = K 5) La quantità di calore assorbita complessivamente dalla massa d acqua inizialmente in fase solida per portarsi dalla temperatura iniziale T g fino alle temperatura di equilibrio T e Q,g = mg * cg * (Tfus Tg) + λf * mg + mg * ca * (Te Tfus) = J. Esercizio 2. 1) La temperatura iniziale del sistema si ricava direttamente dell equazione di stato dei gas perfetti: Ta = pa Va / (n R) = K. 2, 3 e 4) La prima trasformazione è una isobara in cui il volume raddoppia, pertanto Vb = 2 Va = 0.05 m3 e Tb = 2 Ta = K. Qab = n * cp * (Tb Ta) = J Wab = p * (Vb Va) = J La seconda trasformazione è un adiabatica reversibile nella quale il volume passa da Vb = 2Va a Vc = 3 Va = m3, mentre le pressioni saranno legate dalla relazione pc Vc^γ = pb Vb^γ,

5 con γ = 5/3 (gas monoatomico). Pc = 0.51 bar e Tc = K si ricava dall equazione di stato dei gas ideali. Qbc = 0 J (trasformazione adiabatica) Wbc = - ΔUbc = - n cv (Tc Tb) = J La terza trasformazione è un altra isobara, nella quale il volume finale Vd è pari a quello iniziale del ciclo, Va. Vd = m3, e Td si ricava dall equazione dei gas ideali, Td = K. Qcd = n cp (Td Tc) = J (risposta alla domanda 3) Wcd = pc (Vd Vc) = J Infine, l ultima trasformazione è un isocora, nella quale Wda = 0 J Qda = n cv (Ta Td) = J Il lavoro totale del ciclo è pari a W = Wab +Wbc + Wcd = 1733 J (risposta alla domanda 2) Il calore assorbito nel ciclo è pari a Qass = Qab + Qda = J Il rendimento del ciclo è pari a W / Qass = (risposta alla domanda 4) 5) Trattandosi di un ciclo termodinamico, la variazione totale di entropia del gas durante tutto il ciclo è ΔS gas = 0 J/K. Esercizio 3. 1) La temperatura di equilibrio del sistema si ottiene eguagliando gli scambi di calore tra i due gas. 0 = ΔU = Q W = Q = na cva (Te Ta) + nb cvb (Te Tb), Te = (na cva Ta + nb cvb Tb) / (na cva + nb cvb) = K 2) Una volta raggiunto l equilibrio, si sblocca la parete interna che quindi può muoversi liberamente, il sistema raggiunge l equilibrio quando da entrambe le parti sarà presente la stessa pressione. La trasformazione avviene senza scambio di calore, dal momento che i due corpi sono già alla stessa temperatura. pa = na R Te / Va pb = nb R Te / Vb con Va + Vb = 0.01 m3 e pa = pb = p, da cui p = (na + nb) R Te / (Va + Vb) = bar

6 e Va = m3 e Vb = m3 3) Conosciamo tutti i parametri termodinamici sia dello stato iniziale che finale. Essendo la trasformazione isoterma, possiamo usare la formula: ΔSa = na R ln (Va / Va,iniziale) = J/K 4) Situazione analoga alla risposta 3: ΔSb = nb R ln (Vb / Vb,iniziale) = J/K 5) L ultima trasformazione è un adiabatica isoterma irreversibile. La variazione di entropia dell universo coincide con la somma delle variazioni di entropia dei due gas (la trasformazione è adiabatica). ΔSuniverso = ΔSa + ΔSb = na R ln (Vtot / Va) + nb R ln (Vtot / Vb) = J/K.

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