Capacità termica e calore specifico

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1 Calori specifici

2 Capacità termica e calore specifico Il calore si trasferisce da un corpo ad un altro fintanto che i corpi sono a temperature differenti. Potremo scrivere quindi: Q = C ΔT = C (T f T i ) Naturalmente questo trasferimento di calore dipenderà da quanta massa è coinvolta. La costante C che compare nella relazione è detta capacità termica ed è l inerzia termica di un corpo al variare della temperatura. Più grande è l inezia termica più difficile è far cambiare temperatura ad un corpo Risulta conveniente definire una capacità termica indipendente dalla quantità di massa utilizzata che chiameremo calore specifico Il calore specifico c s tiene conto solo della diversa natura del materiale Q = c s m (T f T i ) Sostanza stato J/(kg K) Acqua Ghiaccio Alluminio Acciaio Diamante Grafite Rame Oro Aria (secca) Ossigeno Silice (fusa) Silice Etanolo PolisHrene liquida solido Solido solido Solido gassoso Liquido solido

3 Calore specifico: gas monoatomici n moli di gas sono confinati in un cilindro e il suo stato è descritto dal punto p sulla curva verde. Dando calore al sistema, bloccato a volume costante, si avrà un aumento della pressione e della temperatura. Per il primo principio deve essere: ΔE int = Q w dove Q = n c v ΔT e w = 0 (c v è il calore specifico a volume costante) Quindi per un processo isocoro ΔE int = n c v ΔT ed il calore specifico a volume costante è: c v = ΔE int /nδt Per un gas perfetto ΔE int = (3/2)nR ΔT e quindi avremo 2nRΔT 3 1 c v = = R = 12,5 J mol K nδt 2 La E int si potrà anche esprimere come E int = n c v T 1 [ ] 3

4 Calore specifico a pressione costante Supponiamo ora di fornire calore al solito sistema, mantenendo costante la pressione e lasciando variare il volume: Q = n c p ΔT. c p > c v poiché il calore dovrà contemporaneamente far aumentare la temperatura e compiere lavoro esterno. Ricordiamo che ΔE int = Q w n c v ΔT = n c p ΔT p Δ n c v ΔT = n c p ΔT (n R ΔT) potremo riscriverla come: Dividendo tutto per nδt c v = c p R R = c p - c v c p = c v + R

5 Tabella dei calori specifici molari a volume costante molecola esempio c v [J/(mol K)] monoatomica biatomica poliatomica Ideale He Ar Ideale N 2 O 2 Ideale NH 4 CO 2 3/2 R = 12,5 12,5 12,6 5/2 R = 20,8 20,7 20,8 3R = 24,9 29,0 29,7 Per un gas ideale la variazione di E int non dipende dalla trasformazione termodinamica subita, ma solo dall entità della variazione di temperatura isobara isocora adiabatica T + ΔT T

6 Gradi di libertà Sempre J.C. Maxwell contribuì a risolvere il problema relativi alla deviazione dei valori previsti nei c v. Teorema dell equipartizione dell energia: Sono i gradi di libertà a definire in quanti modi una molecola possa immagazzinare energia. Per ogni molecola un grado di libertà ha una energia ½ kt c v = (f/2) R = 4,16 f [J/(mol K)]

7 Lavoro di un gas perfeoo Una curva isoterma, nel piano -p, è rappresentata da una iperbole. Infatti essa è il risultato di p = nrt (p = nrt/). Se T e costante p = cost Il lavoro svolto dal gas durante una espansione isoterma è: w = w = nrt i f pd i f = d i f nrt d = nrt[ln ] per una mole i f f = nrt ln Ricordiamo che il Lavoro, w, per una trasformazione isocora è nullo, per una trasformazione isobara è w = p ( f i ) e per una isoterma è w = nrt ln( f / i ). i

8 Processi adiabahci Utilizzando l equazione di stato dei gas ideali p = nrt e risolvendo rispetto alla pressione p avremo: nrt γ = cost Dove nr può essere inglobato nella costante: T γ-1 = cost T i i γ-1 = T f f γ-1 Se durante un processo Q = 0 il processo è adiabatico ed il lavoro è w=pd=-de int Tale situazione si può realizzare, sia se il processo avviene rapidamente in modo da non lasciare il tempo al calore di propagarsi, sia se avviene lentamente in un sistema ben isolato. La conclusione sarà p γ = cost dove γ è il rapporto c p /c v Scorrendo l adiabatica si attraversano molte isoterme. Il processo è completamente descritto da p i i γ = p f f γ

9 Dimostrazione di γ l Supponiamo di eseguire una lenta espansione di modo che si possa parlare di processo adiabatico Q = 0. l Quindi il primo principio diventa de int = - pd e ricordando che de int = nc v dt avremo: nc v dt = - pd à ndt = - (pd)/c v l differenziando l equazione di stato dei gas perfetti (p = nrt): ( c c ) pd + dp = R ndt l sostituendo R con c p c v (vedi poi) e ndt con - (pd)/c : p pd + dp = pd = ( γ 1)pd dp cp d + = 0 c p c Ma il rapporto dei calori specifici è γ e integrando otteniamo: lnp + γln = cost Ricordando un po di algebra dei logaritmi otteniamo: lnp γ = cost

10 Relazione fra C e C p In una trasformazione a volume costante il primo principio porta a dire che dq = du + pd e dovendo essere d = 0 ne segue che dq = nc v dt o anche nc v dt = du Per una trasformazione a pressione costante dovrà essere nc p dt = du + pd. Essendo du v = du p risulterà nc v dt = nc p dt p d o meglio n (C p C v ) dt = pd Per l equazione di stato dei Gas Perfetti p = nrt e pd = nrdt quindi n (C p C v ) dt = nrdt ovvero C p C = R

11 Espansione libera L espansione libera è un processo adiabatico in cui il Lavoro è nullo. C è equilibrio solo allo stato iniziale e allo stato finale dell espansione. Le temperature iniziale e finale sono eguali T i = T f e per un gas ideale anche p i = p f Riassumendo: per un gas ideale le trasformazioni più interessanti sono riportate nel grafico: