OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE
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- Claudio Ferrero
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1 OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE Un oscillatore è costituito da una particella che si muove periodicamente attorno ad una posizione di equilibrio. Compiono moti oscillatori: il pendolo, un peso attaccato ad una molla in tensione, gli atomi in un solido, gli elettroni in un antenna, ecc. DEFINIZIONI IMPORTANTI Una particella si muove di moto armonico semplice quando il suo spostamento è dato in funzione del tempo dalla relazione: ξ A cos ( t + ϕ) dove il parametro A è definito ampiezza del moto armonico semplice, la grandezza è chiamata frequenza angolare (o pulsazione) della particella oscillante, mentre: ϕ t + ϕ è detta fase dell oscillazione, con ϕ fase iniziale.
2 Osservazione importante La variabile ξ indica uno spostamento generico rispetto all origine del sistema di coordinate scelto. Nel caso di uno spostamento rettilineo (moto di una massa attaccata ad una molla) ξ ; nel caso di uno spostamento angolare (moto di un pendolo) ξ ϑ. La variabile ξ riassume lo stesso valore dopo un tempo t tale che: ϕ π t π t π Il moto armonico semplice è periodico, e la grandezza: P π è definita periodo dell oscillazione. Inoltre la frequenza (numero di oscillazioni complete nell unità di tempo) vale: ν P π
3 Nel caso di un oscillatore rettilineo la velocità e l accelerazione della particella valgono rispettivamente: v d A sin ( t + ϕ) () a dv A cos ( t + ϕ ) ()
4 L accelerazione è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento. Similmente nel caso di un oscillazione angolare si ha: dϑ ω A sin ( t + ϕ) dω α A cos ( t + ϕ ) ϑ
5 L OSCILLATORE RETTILINEO (MASSA ATTACCATA AD UNA MOLLA) Il moto oscillatorio ha ampiezza A m. In (a) la molla è al massimo allungamento (massima distanza del corpo dal punto di equilibrio); in (c) la molla è alla massima compressione; in (b) e (d) il corpo passa per la posizione di equilibrio (la molla assume la lunghezza a riposo). In (a) e (c) il corpo è nei due punti di inversione del moto (v ); in (b) e (d) il corpo ha la massima velocità.
6 Forza nel moto armonico semplice Che tipo di forza deve agire su una particella di massa m perché questa oscilli con moto armonico semplice lungo un dato asse? In questo caso la legge del moto è del tipo: A cos ( t + ϕ) (3) Per la seconda legge di Newton e per la (): F m a m da cui si ottiene: F (4) avendo posto: m m Il parametro viene chiamato costante elastica della molla. Conclusione importante: nel moto armonico semplice la forza è proporzionale allo spostamento e opposta ad esso; la forza è sempre diretta verso l origine (che è un punto di equilibrio).
7 Vale anche il viceversa: se la forza agente su un corpo è proporzionale allo spostamento e opposta ad esso, allora il corpo si muove di moto armonico semplice. Infatti, essendo: F d m a m si ha: d + m (Equazione differenziale del moto armonico semplice) Per semplice sostituzione diretta, è facile provare che tale equazione differenziale ha per soluzione la (3). L asserto è così provato.
8 Energia cinetica nel moto armonico semplice Per la definizione di energia cinetica e per la (): E m v m A sin ( t + ϕ) e, per la (3): E [ cos ( t + ϕ )] m ( A ) m A L energia cinetica è massima nel centro ( ) e nulla agli estremi delle oscillazioni ( ± A). Energia potenziale nel moto armonico semplice Per la definizione di energia potenziale e per la (4): F de d p de p d E p de p d E p m L energia potenziale è nulla nel centro ( ) e massima agli estremi delle oscillazioni ( ± A).
9 Energia totale nel moto armonico semplice ( ) A m m A m E E E p + +. cost A E K: Energia cinetica; U: Energia potenziale.
10 IL PENDOLO SEMPLICE Pendolo semplice: particella di massa m sospesa ad un punto fisso O mediante una fune di lunghezza l e di massa trascurabile. Equazione del moto: F m g + T m a F T dv m g sin ϑ m at m ml dω m l d ϑ d ϑ g m g sinϑ + sinϑ l ϑ << sinϑ ϑ
11 Equazione differenziale del pendolo semplice nel limite delle piccole oscillazioni: d ϑ g + ϑ l ossia: d ϑ + ϑ (5) con: g l Soluzione dell equazione differenziale (5): ϑ ϑ cos ( t + ϕ) Periodo d oscillazione del pendolo nel limite delle piccole oscillazioni: P π π l g Il periodo d oscillazione è indipendente dalla massa del pendolo e dall ampiezza delle oscillazioni.
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