Meccanica quantistica (5)

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1 Meccanica quantistica (5) 0/7/14 1-MQ-5.doc 0

2 Oscillatore armonico Se una massa è sottoposta ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento da un posizione di equilibrio F = kx il potenziale ( armonico) F = dv dx ) sarà la parabola (potenziale V ( x) = kx 1 d V ( x) dx La costante k, ( la larghezza della curva La frequenza è ) determina la curvatura e quindi ω = k m 0/7/14 1-MQ-5.doc 1

3 Oscillatore armonico Quantistico Per una massa m sottoposta ad un potenziale armonico l eq. di Schroedinger è: h m d ψ ( x) + dx 1 kx ψ ( x) = Eψ ( x) Dove x è lo spostamento dalla posizione di equilibrio Perché la ψ (x) abbia il comportamento corretto all infinto Lim ψ ( x) = 0 x ± Ovvero gli spostamenti molto grandi sono molto improbabili La soluzione deve allora essere del tipo: H v ( x) e cx Dove H v (y) è un polinomio di grado v ( polinomi di Hermite). (qualsiasi polinomio per x ± va a più lentamente di quanto yx e va a 0) 0/7/14 1-MQ-5.doc

4 Le condizioni poste alla funzione d onda portano a E = ( v + 1 )hω ω = k m v non negativo intero Gli stati sono a intervalli costanti di energia h ω All aumentare dell energia la frequenza ω non cambia 0/7/14 1-MQ-5.doc 3

5 Energia di punto zero E = ( v + 1)hω v non negativo intero L energia dell oscillatore non può mai essere nulla L oscillatore è sempre in moto Viene rispettato il principio di indeterminazione Se fosse fermo: il momento cinetico sarebbe identicamente nullo con varianza nulla lo spostamento sarebbe identicamente nullo e quindi la posizione avrebbe varianza nulla L energia minima: È detta: E = 1 hω Energia di punto zero 0/7/14 1-MQ-5.doc 4

6 Funzione d onda Il numero di nodi è dato dal grado del polinomio I polinomi di grado pari sono simmetrici: H(-x) = H(x) dispari sono antisimmetrici: H(-x) = - H(x) All aumentare dell energia aumenta lo spostamento più probabile 0/7/14 1-MQ-5.doc 5

7 Probabilità La distribuzione di probabilità per l oscillatore classico ha una posizione limite: c è uno spostamento massimo rispettoalla posizione di equilibrio La distribuzione di probabilità per l oscillatore quantstico va a zero all infinito: qualsiasi spostamento è possibile 0/7/14 1-MQ-5.doc 6

8 Equazione di Schrödinger in 3D h ψ ( x, y, z) + Vψ ( x, y, z) = Eψ ( x, y, z) m ( è detto operatore Laplaciano) Dove In coordinate cartesiane ortogonali V = V ( x, y, z) ψ = ψ ( x, y, z) = + + x y z In coordinate polari sferiche: x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ 0 r 0 θ π 0 ϕ π V = V ( r, θ, ϕ) ψ = ψ ( r, θ, ϕ) 0/7/14 1-MQ-5.doc 7

9 = r + sinθ + r r r sinθ θ θ sin θ ϕ 0/7/14 1-MQ-5.doc 8

10 Moto rotazionale (moto centrale) m v=p Energia cinetica p E = m Grandezza del momento angolare Momento d inerzia: L E = mr I = mr L E = I L = pr Per rappresentare il moto rotazionale è conveniente usare coordinate polari sferiche 0/7/14 1-MQ-5.doc 9

11 Rotazione in 3D Si consideri il moto su una superficie sferica di raggio r Essendo r costante le derivate in r si annullano Il potenziale V è costante è può essere assunto 0 h mr 1 sin θ 1 sinθ + θ θ sin θ ϕ ψ ( θ, ϕ) = Eψ ( θ, ϕ) Tenendo conto che I = mr è il momento d inerzia 1 1 IE sinθ + ψ ( θ, ϕ) = ψ ( θ, ϕ) sinθ θ θ sin θ ϕ h Risolvendo l equazione tenendo conto che ψ ( θ, ϕ) deve essere finita, continua e con derivate continue dappertutto ψ ( 0, θ ) = ψ (π, θ ) ψ '(0, θ ) = ψ '(π, θ ) ψ (ϕ,0) < ψ ( ϕ, π ) < si ha che le soluzioni dipendono da parametri interi: l = 0,1,,...; l ml ; m l = 0, ± 1, ±,... Le autofunzioni sono: m Y l l ( θ, ϕ) Gli autovalori: l ( l +1) 0/7/14 1-MQ-5.doc 10

12 Armoniche sferiche 1 1 le autofunzioni di: sinθ + sinθ θ θ sin θ ϕ ml l sono: Yl ( θ, ϕ) = N Θl ( θ ) Φm ( ϕ) m l m l l = 0,1,,...; = l, l 1, K,.0,...,. l + 1,. l Hanno l superfici nodali 0/7/14 1-MQ-5.doc 11

13 Superfici nodali l m l Funzione N nodi z x /7/14 1-MQ-5.doc 1

14 Momento angolare IE Essendo = l( l + 1) h l( l + 1) E =h l = 0,1,,. I L energia rotazionale è quantizzata dipende solo da l può essere nulla Quindi tutti gli stati rotazionali con lo stesso l hanno la stessa energia Ma L E I = e quindi L = h l( l + 1) Il modulo del momento angolare L, è quantizzato Anche la componente z di L r è quantizzata: L z = m l h 0/7/14 1-MQ-5.doc 13

15 Momento angolare Al variare di m l cambia l orientazione rispetto a z Ci sono l+1 orientazioni 0/7/14 1-MQ-5.doc 14

16 Indeterminazione di L Siccome le componenti x e y di L r possono assumere qualsiasi valore Qualsiasi vettore sulla superficie di un cono è soluzione del moto rotatorio con una data L z Il momento angolare di un sistema quantistico ha modulo definito e orientazione definita solo in parte Si può determinare esattamente una sola componente del momento angolare 0/7/14 1-MQ-5.doc 15

17 Spin Le particelle elementari sono caratterizzate da tre proprietà: Massa, Carica elettrica e Spin Massa: scalare senza segno m Carica elettrica: scalare con segno ± q Spin: vettoriale S r Lo spin si comporta matematicamente come il Momento Angolare: S = h s( s + 1) s = 0,1,,...; Dato che non si hanno condizioni di continuità, s può essere non intero: s =,,,... 3 m s = s, s 1,...,. s + 1,. s S z = m s h Lo spin è determinato dal numero s s è una proprietà intrinseca della particella (non può cambiare) l orientamento (m s ) invece può cambiare 0/7/14 1-MQ-5.doc 16

18 Tutte le particelle elementari si dividono in: Bosoni s = 0,1,, Fermioni s =,,,... 3 m (Kg) q (e) s fotone elettrone / protone / neutrone / I nuclei essendo composti di protoni e neutroni hanno uno spin totale che può essere 0, intero, semi-intero (isotopi diversi hanno spin diverso) 1 1 Quando s = : m s = ± sono possibili solo 1 3 orientazioni, quindi S z = ± h S = h 0/7/14 1-MQ-5.doc 17

19 Momento magnetico di e - Allo spin è associato un dipolo magnetico µ r In un campo magnetico gli elettroni vengono deflessi in modo opposto secondo l orientazione s E un momento magnetico intrinsico della particella Non è legato ad una effettiva rotazione della particella Dal momento magnetico dell elettrone si ricaverrebbe una velocità lineare massima (un punto sull equatore dell elettrone) di 137 volte la velocità della luce!!!!!!! Lo Spin non è descrivibile come una particella carica che ruota su se stessa 0/7/14 1-MQ-5.doc 18