1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata)

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1 1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata) Se la parete di energia potenziale non ha altezza infinita e E < V, la funzione d onda non va rapidamente a zero all interno della parete stessa. Di conseguenza, se la parete di potenziale non è molto spessa, la particella oscillerà di nuovo (sia pure con ampiezza ridotta) una volta oltrepassata la parete stessa. Questo fenomeno, che non ha corrispondente classico, prende il nome di effetto tunnel (in inglese Tunnelling). Se ipotizziamo che la barriera abbia spessore L, l equazione di Schrödinger all interno della parete diviene h d ψ + Vψ = m dx Eψ con V E > 0. La soluzione generale assume la forma kx kx ψ = Ce + De h k = m( V E)

2 Dal momento che l ampiezza della funzione d onda deve andare a zero all interno della parete di potenziale, deve essere C = 0. La funzione d onda decresce quindi esponenzialmente all interno della parete. La funzione d onda complessiva consiste quindi 1) di un onda incidente, ) di un onda riflessa, 3) di un ampiezza che decresce esponenzialmente, 4) di un onda che si propaga dopo la barriera: La probabilità di trasmissione attraverso la barriera, T, è data dalla relazione (non dimostrata) kl kl ( e e ) 1 T = 1 + con 16ε ( 1- ε ) E ε = (1) V 1/ L (mv ) / h

3 Per barriere di potenziale alte e larghe (kl >> 1), la relazione (1) si riduce a T kl ( 1 ) e = 16ε ε La probabilità di trasmissione decresce quindi esponenzialmente (come atteso) con lo spessore della barriera e con m 1/.

4 . Il moto vibrazionale Si dice che una particella esperimenta un moto armonico se è sottoposta ad una forza del tipo F = kx, dove k prende il nome di costante di forza. Poiché F = dv / dx, il potenziale corrispondente assume la forma V = 1 kx (energia potenziale di tipo parabolico) In questo caso, l equazione di Schrödinger monodimensionale si scrive: 1 ( / m ) d ψ / dx + kx ψ = Eψ h (1) Anche in questo caso la particella è costretta entro una buca di potenziale simmetrica (=energia quantizzata). Differenze rispetto alla buca di potenziale quadrata: 1. per spostamenti ampi l ampiezza della funzione d onda va a zero più lentamente;. l energia cinetica della particella dipende dallo spostamento in maniera più complessa, poiché V=V(x).

5 .1 La soluzione formale dell equazione (cenni) Con i cambi di variabile y = x/α e ε = E/(½ћω), dove α = ћ/(mk) ½ e ω = (k/m) ½, l equazione (1) si semplifica nel seguente modo: ( ε y ) = 0 d ψ / dx + ψ () Il passo successivo consiste nello studio dell equazione per spostamenti molto ampi. Si ha d ψ / dx y ψ = 0 (3) che presenta come soluzioni approssimate exp(y /) e exp( y /). La prima funzione è inaccettabile, in quanto tende all infinito. La seconda, invece, va a zero per x crescente ed è quindi compatibile con l esistenza di una parete di potenziale. Possiamo quindi supporre che la funzione d onda esatta sia della forma ψ = f exp( y / ), dove f simboleggia una funzione che non aumenta più velocemente con x di quanto exp( y ) diminuisca. Introducendo questa soluzione di prova nell equazione () si ha: ( 1) f 0 f " yf ' + ε = (4) che prende il nome di equazione differenziale di Hermite (molto ben studiata dai matematici). Le soluzioni accettabili della equazione (4) esistono solo per ε = ν + 1, con ν = 0, 1,,, n.

6 . I livelli energetici Ricordando che si era posto ε = E/(½ћω), si ottengono i livelli energetici dell oscillatore armonico E ν = (ν + ½) ћω con ν = 0, 1,,, n e ω = (k/m) ½ Caratteristiche: l intervallo tra i livelli vale E = E ν +1 E ν = ћω; esiste una energia di punto zero che vale E 0 = ½ћω. La ragione fisica di ciò risiede nel fatto che la particella è vincolata nella sua buca di potenziale, perciò la sua posizione non è del tutto incerta e per il principio di indeterminazione il suo momento non può essere nullo. La particella oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio. Quanto vale ћω per un oggetto di dimensioni microscopiche? Si supponga un legame chimico abbia costante di forza k = 500 Nm -1.

7 .3 Le funzioni d onda Le funzioni d onda sono determinate dalle soluzioni della equazione di Hermite (polinomi di Hermite) Hν ν ( ) ( ) ν d y = 1 exp( y ) exp( y ) la funzione d onda complessiva è data da ψ ν = Nν Hν ν dy ( ) y exp( y ) 1 con N ν = fattore di normalizzazione e ν = 0, 1,,, n. 1/ ν απ ν! I polinomi di Hermite in funzione di ν valgono: ν H ν (y) y 4y 3 8y 3 1y......

8 Distribuzioni di probabilità per alcuni stati dell oscillatore armonico. Per valori crescenti di ν le regioni di massima probabilità si muovono verso i punti di inversione (minima velocità per l oscillatore classico).

9 3. Il moto rotazionale Data una particella puntiforme di massa m in moto su una circonferenza di raggio r, si definisce momento di inerzia, I, la quantità I = mr Il moto rotazionale è descritto dal momento angolare, J, che è l equivalente del momento lineare nel moto traslazionale J = Iω 3.1 Il moto in due dimensioni: la particella su un anello Consideriamo una particella vincolata a muoversi sulla circonferenza di raggio r nel piano x,y. Il suo momento angolare lungo l asse z, J z, vale in modulo J z = pr = mvr. L energia vale p E = m = J z mr = J z I

10 3.1.1 Discussione qualitativa della quantizzazione del momento angolare Considerando che J z = ±pr, dalla relazione di de Broglie otteniamo hr J z = ± λ dove i segni opposti corrispondono a opposti versi di rotazione. Supponiamo che λ possa assumere valori arbitrari: in questo caso, la funzione d onda sarà in generale polidroma. Questo è incompatibile con le richieste fatte sulla forma delle soluzioni delle equazioni agli autovalori. Soluzioni accettabili esistono solo per certi valori di λ e, di conseguenza, per determinati valori del momento angolare e dell energia. L energia della particella è quantizzata.

11 In particolare, le sole lunghezze d onda ammesse (tali da rendere la funzione monodroma) sono: λ = πr m l dove m l, chiamato numero quantico di momento angolare, è un intero 0. Il momento angolare è allora limitato ai valori hr ml hr ml h J z = ± = = = λ πr π mlh con m l = 0, ±1, ±, Valori positivi e negativi di m l corrispondono a rotazioni in senso orario e antiorario, rispettivamente. L energia del moto rotazionale è limitata ai valori E = J m l h z = I I e le corrispondenti funzioni d onda normalizzate assumono la forma ψ ml ( φ ) = im e lφ 1/ ( π ) N.B. Questi risultati sono stati raggiunti con considerazioni di tipo classico e usando solo la relazione di de Broglie. Devono essere controllati risolvendo esplicitamente l equazione di Schrödinger.

12 L energia è funzione del quadrato di m l, quindi è indipendente (come atteso) dal senso di rotazione. Gli stati sono doppiamente degeneri (tranne quello con m l = 0). Valori crescenti del momento angolare corrispondono a un crescente numero di nodi della funzione d onda. Proviamo a localizzare la particella attraverso la densità di probabilità ψ * m l ψ ml = im φ e l * im φ e l im φ e l = im φ e l = 1/ 1/ 1/ 1/ ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) π 1 che è indipendente da φ. Quindi la posizione della particella è completamente indefinita. Angolo e momento angolare sono osservabili complementari.

13 3.1. Costruzione dell operatore quantistico momento angolare Classicamente il vettore momento angolare è dato dal prodotto vettoriale L i j k = r p = x y z = i z y x z k px p y pz ( yp zp ) + j( zp xp ) + ( xp yp ) y x per cui la componente z vale l z = ( xp yp ) y x Con le regole viste al capitolo precedente, otteniamo per l operatore quantistico in coordinate cartesiane l espressione l z = h x i y y x che in coordinate polari diviene (notare l indipendenza da r) l z h = i φ Con l operatore così costruito possiamo verificare la correttezza della funzione d onda proposta (a meno della costante di normalizzazione) lz ψ ml h ψ ml h im im lφ = = l e = i φ i mlh ψ ml ψ m l angolare è una autofunzione di l z e ammette come autovalore il momento m l h.

14 3. Il moto in tre dimensioni: la particella su una sfera Consideriamo una particella di massa m libera di muoversi sulla superficie di una sfera (caso importante per lo studio degli elettroni nell atomo e delle molecole rotanti). Abbiamo bisogno di una coordinata aggiuntiva: la particella deve soddisfare a due condizioni al contorno Il momento angolare è caratterizzato da due numeri quantici L angolo θ prende il nome di colatitudine, mentre φ è l angolo azimutale.

15 3..1 L equazione di Schrödinger (cenni) Poiché la particella è vincolata a muoversi su di una superficie, la coordinata r è costante e si ha V=0 (superficie equipotenziale). L equazione da risolvere è allora h ψ, m ( θ, ϕ ) = Eψ ( θ ϕ ) La soluzione di questa equazione mostra che le funzioni d onda accettabili sono specificate da sue numeri quantici l = 0, 1,, m l = l, l 1,, l (numero quantico di momento angolare orbitale) (numero quantico magnetico, l + 1 valori) Le funzioni d onda si indicano con ( θ,φ ) armoniche sferiche. Y e prendono il nome di l, ml l m l Y ( θ,φ ) 0 0 l, ml 1 4π 1/ 1/ cosθ 4π 1/ 1 ±1 3 e ±iφ sin θ 8π

16 L energia delle particelle è ristretta ai valori E = l ( l + 1) h I ed è indipendente da m l. Di conseguenza, uno stato caratterizzato da numero quantico l è (l + 1) volte degenere. Rappresentazione grafica delle funzioni d onda

17 3.. Il momento angolare e la quantizzazione spaziale Nella visione classica, l energia di una particella è legata al momento angolare dalla relazione E = J / I. Confrontando questa espressione con la relazione ottenuta risolvendo l equazione di Schrödinger si osserva che 1/ [ ( l +1) ] 1/ [ l( +1) ] h L = l l = 0, 1,, l z = m l h m l = l, l 1,, l Se il momento angolare è rappresentato da un vettore di lunghezza l in unità h, per rappresentare correttamente il valore della componente z il vettore deve essere orientato in modo tale che la sua proiezione sull asse z valga m l. L orientazione di un corpo rotante rispetto all asse di un campo elettromagnetico esterno è quantizzata.

18 La quantizzazione spaziale fu mostrata per la prima volta da Stern e Gerlach nel 191 (prima ancora della formulazione della meccanica quantistica), facendo passare un fascio di atomi di argento in un campo magnetico fortemente disomogeneo. (risultato classico) (risultato quantistico) Poiché l operatore z lˆ commuta con Lˆ ma non con x lˆ e y lˆ, il modo più corretto di rappresentare la quantizzazione spaziale è dato dal cosiddetto modello vettore

19 4. Lo spin (cenni) Stern e Gerlach osservarono solo due bande nel loro esperimento. Questo sembrava in conflitto con i risultati quantistici che prevedevano l osservazione di l + 1 orientazioni per ogni valore di l, che è uguale a solo per l = ½. Il conflitto fu risolto suggerendo che il momento angolare da essi osservato non fosse dovuto al moto orbitale dell elettrone attorno al nucleo, ma al moto dell elettrone attorno al suo asse. Questo momento angolare intrinseco è chiamato spin. E quindi necessario introdurre altri due numeri quantici (Dirac, seconda quantizzazione) che prendono il nome di numero quantico di spin, s, e numero quantico magnetico di spin, m s. S 1/ [ s( )] h = s +1 s z = m s h m s = s, s 1,, s Per l elettrone si ha s=1/