Appello di Meccanica Quantistica I

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1 Appello di Meccanica Quantistica I Facoltà di Scienze M.F.N. Università degli Studi di Pisa gennaio 007 (A.A. 06/07) Tempo a disposizione: 3 ore. Problemi e per il recupero Compitino I; problemi e 3 per il recupero Compitino II. Per Appello I risolvere Prob. (ii) e (iii); Prob. (i) - (iv) e Prob. 3 (i) - (iii). Problema Un oscillatore armonico unidimensionale H 0 = p m + κx () nello stato fondamentale 0 perde ad un tratto (t = 0) 4 3 della sua massa mentre la costante di richiamo κ resta invariata: H = p m + κx () (i) Trovare la probabilità (P 0 ) che il sistema si trovi nello stato fondamentale del nuovo oscillatore H immediatamente dopo il cambiamento della massa; (ii) Introdurre la rappresentazione degli operatori di creazione e di distruzione a a per H 0 e b b per H. Trovare la relazione tra (b b ) e (a a ). Verificare come controllo del calcolo che questa relazione sia compatibile con il fatto che [aa ] = e [bb ] = (iii) Scrivendo lo stato fondamentale dell oscillatore originale 0 in termini di autostati di H 0 = c n n n e riscrivendo la condizione a 0 = 0 in termini di b e b trovare la relazione di ricorrenza per c n. Non è necessario risolverla. (iv) Utilizzando alcune di queste relazioni nonché il risultato del punto (i) trovare la probabilità (P P ) che il systema si trovi nei primi due stati eccitati del nuovo oscillatore H immediatamente dopo il cambiamento della massa. (Nel caso in cui si risolve questo problema senza aver risolto il punto (i) è sufficiente determinare le probabilità relative P /P 0 e P /P 0. ) Problema. Si consideri una particella di spin. L operatore di spin è data da dove σ i i = xyz sono le matrici di Pauli. s i = σ i (i) Dire quali sono gli autovalori di σ x e di σ y ; determinare relativi autostati ( x x ; y y ) in termini degli autostati di σ z z o z. (ii) Invertendo le relazioni trovate in sopra esprimere gli stati di s z definiti z o z in termini di x e x nonché in termini di y e y.

2 Una particella di spin incognito decade a riposo in tre particelle tutte di spin. Assumete che i momenti angolari orbitali siano nulli: si devono tenere conto solo di spin. Supponiamo che lo stato sia descritto da ψ = ( z z z z z z ). (3) (iii) Lo stato (3) è un autostato di S tot? (S tot = s + s + s 3 ) Se lo è con quale autovalore? È un autostato di S tot z? Se lo è con quale autovalore? (iv) Dire se lo stato (3) è un autostato dell operatore e se lo è dire qual è l autovalore. σ x σ x σ 3x ( σ x σ x σ 3x ) (v) Dire se lo stato (3) è un autostato dell operatore e se lo è dire qual è l autovalore; σ x σ y σ 3y ( σ x σ y σ 3y ) Problema 3. Un atomo di idrogeno è perturbato da un termine H = H 0 + H dove s è l operatore di spin dell elettrone. H 0 = p m e r H = λs r (i) In presenza di H quali degli operatori s L J J i sono conservati? La parità? J è il momento angolare totale J = L + s. (ii) Dimostrare che nello stato fondamentale dell atomo di idrogeno ψ 00 (autostato di H 0 ) vale 00; χ H 00; χ = 0. dove χχ sono autovalori ±/ di s z. (iii) Consideriamo gli stati di n = lm;χ con l =. risultati del punto () che vale Dimostrare utilizzando i ; H 00; + 0; H 00; = 0 (4) senza fare il calcolo degli elementi di matrice. (iv) [Opzionale] Verificare la (4) facendo esplicito calcolo dei due elementi di matrice che ci appaiono. parità. L operatore di spin si comporta nella stessa maniera di un operatore di momento angolare orbitale sotto

3 Soluzione Problema. (i) Lo stato fondamentale di H 0 e quello di H sono rispettivamente ( ) ( mω ) /4 ψ 0 = e mωx / h ; ψ m ω /4 0 = e m ω x / h ; π h π h La frequenza angolare dell oscillatore prima e dopo il cambiamento della massa è κ κ ω = m ω = m = m 4 m. mω = mκ m ω mκ = m κ = La detta probabilità è data da (A mω ψ 0 ψ 0 = A A π π h ) dxe Ax / e Ax /4 = A 4π π 3A = (ii) Paragonando la relazione tra x p e aa con quella tra x p e bb si trova a + a = b + b ; a a = b b = mω. da cui Per consistenza a = (3b + b ) a = (b + 3b ); b = (3a a ) b = (3a a); [bb ] = (9 ) = 8 se si utilizza [aa ] =. (iii) (3b + b ) c n n = 0 Utilizzando i noti elementi di matrice di b e di b c n [3 n n + n + n + ] = 0 e proiettando questa relazione sullo stato n si trova la relazione di ricorrenza 3 n + c n+ + nc n = 0 n = 3... Segue che c = c 3 =... = 0 e soltanto i coefficienti pari sono non nulli. Si può comprendere che i coefficienti dispari si annullano tutti dal fatto che la funzione d onda a t = 0 è pari. (iv) Risulta dalla relazione di ricorrenza che c = 3 c 0. La probabilità che il sistema si trovi nel primo stato eccitato è zero; mentre quella per il secondo stato eccitato è: P = 8 P 0 =

4 Problema. (i) Gli autovalori di σ x σ y sono ± con autovettori x = σ x = = ( ) ; x = σ x = = ( y = σ y = = ( ) ; i y = σ y = = ( i Oppure con la notazione di spin up e down x = ( z + z ) x = ( z z ) y = ( z + i z ); y = ( z i z ) ) ) (ii) z = ( x + x ); z = ( x x ); z = ( y + y ); z = i ( y y ); (iii) Visto che S tot z = ± 3 ψ è un autostato di S tot con autovalore 5 4 (cioè S tot = 3 ); mentre ovviamente non è un autostato di S tot z. (iv) Per vedere l effetto dell operatore σ x σ x σ 3x sullo stato ψ scrivo quest ultimo in termini di autostati di σ x σ x σ 3x : ψ = 4 [( x + x )( x + x )( x + x ) ( x x )( x x )( x x )] = [ ] (5) Ciascun termine è un autostato dell operatore σ x σ x σ 3x con autovalore : lo stesso vale per ψ. (v) Per vedere l effetto dell operatore σ x σ y σ 3y sullo stato ψ scrivo quest ultimo in termini di autostati di σ x σ y σ 3y : ψ = 4 [( x + x )( y + y )( y + y ) + ( x x )( y y )( y y )] = [ ] (6) Ciascun termine è un autostato dell operatore σ x σ y σ 3y con autovalore +: lo stesso vale per ψ. Nota: lo stato ψ è stato considerato da Mermin (Am. J. Phys. 58 (990) 73) per produrre una versione più forte dell argomento di Bell sulla questione che riguarda le teorie con variabili nascoste. Problema 3. (i) s J e J i sono conservate. L non è conservato. s commuta con H perché s commuta con ogni sua componente. Per vedere che J e J i commutano con H [J z s x x + s y y + s z z] = [s z + L z s x x + s y y] = is y x is x y + is x y is y x = 0. La parità non è conservata. 4

5 (ii) 00; χ H 00; χ si annulla per parità. (L integrando è dispari.) (iii) Visto che H commuta con J e con J z lo stato H 00 ha gli stessi numeri quantici di 00 cioè (JJ z) = ( ). Tra gli stati di n = l = la combinazione ; ; è uno stato di spin totale J = 3 : esso è ortogonale ad ogni stato di spin (JJ z ) = ( ). N.B L affermazione generale di questo tipo di ragionamento è il contenuto del teorema di Wigner-Eckart. (iv) ; H 00; = λ ; s x x + s y y 00;. 0; H 00; = λ ; s z z 00;. s x x + s y y = ( ) 0 x iy x + iy 0 s z z = ( ) z 0 0 z perrciò (r B = ) ; H 00; = λ x+iy 00 = λ dr r 3 R R 0 d cosθdφ Y sinθe iφ Y 00 0; H 00; = λ 0 z 00 = λ dr r 3 R R 0 d cosθdφ Y 0 cosθy 00. Gl integrali sono elementari. Visto che si deve dimostrare la relazione (4) la parte radiale (comune) è irrelevante. Gli integrali angolari danno in due casi 3 π d cosθ sin θ = 8π 4π 3 ; 3 π d cosθ cos θ =. 4π 4π 3 5