SEMINARIO ANALISI ARMONICA PROF. VLADIMIR GEORGIEV UNIVERSITA DI PISA - A.A. 2012/2013 MATTEO DI NUNNO

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1 SEMINARIO ANALISI ARMONICA PROF. VLADIMIR GEORGIEV UNIVERSITA DI PISA - A.A. 22/23 MATTEO DI NUNNO Sia dove δ (,.. TRASFORMATA DI FOURIER F (x = R3 i xξ e ξ 2 ( + iδ 2 dξ ( Vedere se F (x é una funzione radiale e calcolare F (x; (2 vedere se F L p ( per qualche p (, ; (3 provare a studiare il caso R n con n 3. ( Si ha che in la funzione C x 2 é radiale. Inoltre supponiamo di prendere la matrice A S(3 e vediamo come si comporta il termine e i xξ. Si ha e i Ax ξ = e i x A ξ = (A ξ = ξ = det A e i x ξ i x = e ξ. Adesso siano x := (,, x = (,,r e ξ = ρω dove ω = C sinθ ω 2 = C sinθ. ω 3 = cosθ Quindi x ξ = r ρ cosθ ed + ( π F (x = e i r ρ cosθ ρ 2 dρ sinθdθ ρ 2 ( + iδ 2 ma i r ρ θ(e i r ρ cosθ = e i r ρ cosθ sinθ e questo ci permette di arrivare a F (x = C r + ρ sinr ρ ρ 2 ( + iδ 2 dρ. L obiettivo é riuscire a calcolare questo integrale tramite il teorema dei residui: Sia z = Re i ϕ = R(cosϕ+i sinϕ nel semipiano inferiore ossia con Im z < e π < ϕ < 2π. Osserviamo che e i r z = e Re( i r z = e Re i r (R cosϕ+i R sinϕ = e r R sinϕ R +.

2 2 MATTEO DI NUNNO Sia Resta da calcolare, con x = r e ξ = ρ + + ρ sinr ρ r ρ 2 ( + iδ 2 dρ = 2 ρ sinr ρ r ρ 2 ( + iδ 2 dρ = 2πi = 2πi Res(f, iδ = r ( 2 iδ e i r ( iδ C r ei r r δ. 2. INTERPOLAZIONE I (g (x = F (x yg (yd y dove F (x é la funzione del punto precedente. ( Vedere per quali p, q (, + si ha (2 sia I : L p ( L q ( ; L 2 a := { f : f é misurabile in ; x a f L 2} con norma f L 2 a ( = x a f L 2 ( ed a R. Vedere per quali a,b R si ha I : L 2 a (R3 L 2 b (R3 ; (3 provare a studiare il caso R n con n 3. ( Osserviamo che I (g (x C g (y x y d y e quindi I (g L q ( = F g L q ( L q ( A questo punto sfruttiamo le stime di Hardy - Littlewood - Sobolev; nel caso generale possiamo affermare che per una ϕ C (Rn, con < α < n si ha x α ϕ C ϕ L p (R n + L q (R n q = α n + p q, q n α. Nel nostro caso C g L p ( L q ( con + q = 3 + p = p q = 2 3. Inoltre q p 3 2 mentre q 3 p. In Rn avremo p q = n n p n n q n..

3 SEMINARIOANALISI ARMONICAPROF. VLADIMIR GEORGIEVUNIVERSITA DI PISA - A.A. 22/23 (2 Partiamo dall osservare che, con z = i δ σ( si ha I (g = (z 2 + g := u(x = R3 ±i z x y e x y Adesso bisogna mostrare per quali a,b R si ha g (yd y. x b u L 2 ( C x a g L 2 ( x a u L 2 ( C x b g L 2 (. Si ha x a u L 2 ( ( Hölder x a L q ( u L p ( dove /2 = /p +/q ed a > /2. Inoltre bisogna imporre che aq = 3 + = 3 + ε. Prendiamo il caso limite a = /2 e troviamo /p = /2 a/3 + = q = 6 p = 3. Adesso si ha u L 3 ( g L p ( L 3 ( per Hardy - Littlewood - Sobolev con α =, q = n = 3 e quindi resta univocamente determinato p =. A questo punto g L ( = x b x b g L ( x b L 2 ( x b g L 2 ( e qui dobbiamo richiedere che 2b > 3. Quindi abbiamo trovato a > 3 b > 3 2. Proviamo ora a studiare il caso in cui I : L 2 a (Rn L 2 b (Rn. Dobbiamo cercare di dimostrare che x b I (g L 2 (R n C x a g L 2 (R n x a I (g L 2 (R n C x b g L 2 (R n. Si ha x a I (g L 2 (R n x a L q (R n I (g L p (R n x a L q (R n L p (R n dove abbiamo usato Hölder con /2 = /q + /p. Adesso bisogna imporre aq = n + = n + ε e di conseguenza p = 2 a. n + L esponente a deve essere maggiore di /2. Scegliamo cosí da avere a = n p = n q = 2n n 2 = 2.

4 4 MATTEO DI NUNNO Sia ora n = n ε e utilizzando la disuguaglianza di Hardy - Littlewood - Sobolev troviamo g L p (R n + = n n + p = p = e quindi Infine L n (R n p = + ε n(n ε. g L (R n = x b x b g L (R n x b L r (R n x b g L 2 (R n e qui vediamo che r b > n é la condizione da porre. In definitiva si ha a > n b > n r con r = 2 + ε n(n ε. 3. FUNZIONE MASSIMALE Una funzione misurabile f (x appartiene alla classe di Kato (in se f (y f K = sup x x y d y < +. ( Mostrare che lo spazio Ẇ, (, ottenuto come la chiusura di C rispetto alla norma f Ẇ, ( = f (x d x, é immerso con continuitá nella classe di Kato, ossia che esiste una costante C > tale che per ogni f C (R3 si abbia f K C f Ẇ, ( ; (2 mostrare che anche L 3/2, é contenuto nella classe di Kato. ( Il prossimo é un importante teorema di cui accenniamo la dimostrazione. Teorema 3.. (Disuguaglianza di Hardy generalizzata Sia f C (Rn. Allora si ha x f f L p (R n. L p (R n Dimostrazione. Supponiamo, per il momento, che f sia radiale ossia che f (x := f ( x. Quindi ció che vogliamo dimostrare é che f p p,n = f p r n p dr C f p r n dr. Per il teorema fondamentale del calcolo si ha (con τ = r t f (r = r f (τdτ = r f (r td t.

5 SEMINARIOANALISI ARMONICAPROF. VLADIMIR GEORGIEVUNIVERSITA DI PISA - A.A. 22/235 ( A questo punto f (r t p p,n = = (ρ = r t = r f (r t p r n p dr = ρ n f (ρ p dρ t n f (r t p r n dr = e di conseguenza ( ( f p p,n r f (r t p,n d t = t n p d t f (r p r n dr. Se proviamo a togliare l ipotesi di radialit á, dobbiamo dimostrare che, posta g ω = f (r ω, si ha x g ω g ω L p (R n. L p (R n Sia f C ; sfrutteremo il fatto che vale la disuguaglianza di Hardy ossia x f f L (. L ( Si ha, una volta fissato x, che f (y f K = x y d y = (x y = y := y g x (y := f (x y = g x (y = d y g x (y d y = C f (x y d y y ma il gradiente é invariante per traslazioni quindi l ultima quantitá scritta é C f (y d y = f L ( = f Ẇ, (. (2 Adesso dobbiamo verificare che, presa f C f K f L 3/2,., si ha Per quanto riguarda gli spazi di Lorentz abbiamo la seguente stima: p + p 2 > f g L r,s f L p,q g L p 2,q 2 q + q 2 s. p + p 2 = r + Essa peró non puó essere usata perché nel nostro caso non sarebbe soddisfatta la prima condizione. Ci viene in aiuto una stima differente per il caso L : prese f L p,q e g L p 2,q 2 si ha f g L f L p,q g L p 2,q 2 { p + p 2 = q + q 2.

6 6 MATTEO DI NUNNO Sia Nel nostro caso si ha f K = x f x L p, f L 3/2, L con { p = + = p = MOLTIPLICATORI DI FOURIER f (ξ = sin ξ ξ come moltiplicatore di Fourier e consideriamo l operatore J f (g (x = e i xξ f (ξĝ (ξdξ. ( Trovare dei p, q [, ] ammissibili, per cui l operatore operi in modo continuo da L p ( a L q ( ; (2 estendere l operatore J al seguente operatore G(H(t, x = t e i xξ f (tξĥ(ξdξ t > e cercare di trovare dei p, q [, ] per cui G é limitato da L p ( a L q (R Diamo alcune nozioni utili allo svolgimento dell esercizio. Definizione 4.. Dati p, q é definito lo spazio M p,q (R n degli operatori limitati da L p (R n a L q (R n che commutano con la traslazione. Sugli spazi M p,q possiamo definire la norma T M p,q := T L p L q ossia la norma di T come operatore da L p ad L q. Osservazione 4.2. Se < p q < + vi é l isometria Inoltre se q < p < + allora M p,q = M q,p. M p,q = { }. Definizione 4.3 (Spazio dei moltiplicatori di Fourier. Sia p < +. Si ha lo spazio M p (R n di tutte le funzioni limitate su R n tali che l operatore T m (f := ( f m f S é limitato su L p (R n (o é inizialmente definito su un un sottospazio denso ed ha un estesione limitata su tutto lo spazio. La norma di m é definita come m Mp := T m L p L p.

7 SEMINARIOANALISI ARMONICAPROF. VLADIMIR GEORGIEVUNIVERSITA DI PISA - A.A. 22/237 In base a questa definizione m M p se e solo se T m M p,p ; inoltre, per l osservazione precedente, m Mp = m Mp < p < +. Teorema 4.4. Sia m(ξ,η M p (R n+m con < p <. Allora per q.o. ξ R n la funzione tale che η m(ξ,η é in M p (R m e m(ξ, Mp (R m m Mp (R n+m ( Siano f C e g S. Si ha: I f (g L q ( = sup ((f (ξĝ ϕdξ f M q ĝ L p. ϕ L q = Se g L p con p [,2] allora per Hausdorff - Young l ultima stima é C g L p (. (2 Ricordiamo tre regole che riguardano la trasformata di Fourier di funzioni a rapida decrescenza: sia f S (R n. Si ha che Allora f (x = f ( x f ˇ = f ˇ f g = f ĝ. J f = (f ĝ = (f ǧ ( x = (f ǧ (x= f ĝ. Notiamo che, dato che f é radiale, si ha f (ξe i xξ dξ = f (ξe i xξ dξ = π [sgn( x + sgn(x + ] 2 2 quindi f Cχ [,]. Sia ora f t (ξ = f (tξ. Si ha t f t (x = f ( x t quindi G(H(t, x = = Adesso = χ ( x < t ( x y f H(yd y = H(yd y = (z = x y = t x y <t z <t H(x zd z. G(H L q ( R t f H L q ( R t χ [,] L r (R H L p ( H L p ( dove abbiamo usato la disuguaglianza di Young con q + = r + p.