Equazione di Laplace

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1 Equazione di Laplace. La funzione di Green Sia, indicati con x e y due punti di R 3 E(x, y) = x y Consideriamo la rappresentazione integrale di u(x) C 2 (), anche rinunciando all ipotesi che sia armonica u(x) = E(x, y) u(y) E(x, y) u(y) dσ y n y n y E(x, y) u(y)dy e consideriamo la relazione integrale, sempre dedotta dal teorema della divergenza, che lega u ad una qualsiasi altra funzione v regolare in 0 = u v n v u dσ u v v u dy n relazione che, nel caso v armonica si riduce a 0 = u v n v u dσ + n Sommando membro a membro si ottiene u(x) = Primo caso (E v) u v) u (E dσ n n v u dy (E v) udy Supponiamo che la u soddisfi il problema di Dirichlet interno, non omogeneo, u = f x u(x) = ϕ x allora, supponendo di aver scelto v tale che (E v) y = 0

2 2 EQUAZIONE DI LAPLACE si ha, posto () u(x) = G = E v ϕ G n dσ G f dy La funzione G prende il nome di funzione di Green per il problema di Dirichlet e consente, tramite la () di rappresentare direttamente la soluzione u. Secondo caso Supponiamo che la u soddisfi il problema di Neumann interno, non omogeneo, u = f x u n = ϕ x Analogamente, supponendo di aver scelto v tale che (E v) n = 0 y si ha, posto G = E v (2) u(x) = ϕ(y) G(x, y) dσ y G(x, y) f(y) dy In questo secondo caso la funzione G prende il nome di funzione di Green per il problema di Neumann e consente, tramite la (2) di rappresentare direttamente la soluzione u... Un circolo vizioso. Le formule () e (2) rappresentano le soluzioni dei problemi rispettivamente di Dirichlet e di Neumann, a patto di disporre delle corrispondenti funzioni di Green G. La determinazione delle funzioni di Green dipende dalla risoluzione di analoghi problemi di Dirichlet e di Neumann: si cercano infatti funzioni v che risolvano v(x) = 0 x v(y) = E(x, y) y (3) v(x) = 0 x v(y) E(x, y) = y n n C é quindi un prezzo da pagare, la determinazione della v, che ovviamente sará una v(x, y) dal momento che da y dipende la condizione al contorno: ma non si tratta di un circolo vizioso.

3 2. IL METODO DELLE IMMAGINI ELETTROSTATICHE 3 La determinazione della v(x) che coincida con E(x, y) su si fa una tantum per l insieme su cui si vuol lavorare: con essa poi si risolvono, tramite la corrispondente G(x, y) tutti i problemi di Dirichlet e, analogamente, di Neumann..2. L interpretazione elettrostatica. Nell interpretazione elettrostatica la funzione di Green per il problema di Dirichlet, G(x, y) = + v(x, y) x y rappresenta il potenziale nel punto x generato da una carica unitaria posta nel punto y, o viceversa, supponendo che, la superficie che racchiude sia un conduttore... messo a terra! (cioé a potenziale zero). Il primo termine x y é il potenziale, libero nello spazio, creato nel punto y dalla carica unitaria posta in x, o viceversa. Il secondo v indica il potenziale del campo generato dalle cariche, presenti per induzione su..3. Proprietá della funzione di Green. La funzione di Green G(x, y) per ogni fissato x é armonica in y per y x, al tendere di y x la funzione di Green diverge positivamente come x y G(x, y) si annulla per y, G(x, y) > 0, y, G n x 0 G(x, y) = G(y, x). 2. Il metodo delle immagini elettrostatiche La determinazione della v, vedi problemi (3), tale che E v = 0 y conduce, naturalmente, alla ricerca di una funzione v che dipenda, come la E da due variabili puntuali, x e y. Tale determinazione si ottiene, in alcuni casi geometricamente semplici, mediante il metodo delle immagini elettrostatiche.

4 4 EQUAZIONE DI LAPLACE Il caso della sfera Figura. Il metodo delle immagini elettrostatiche Consideriamo, come esempio il caso di una sfera di centro l origine O e raggio R: sia x o e sia R 2 x 2 x il trasformato di x per raggi vettori reciproci rispetto alla sfera di raggio R. Si puó dimostrare (con un po di geometria elementare ma non banale) che per ogni y riesce cioé, posto riesce x y = R x v(x, y) = y R2 x x 2 R x y R2 x x 2 y : E(x, y) v(x, y) = 0

5 2. IL METODO DELLE IMMAGINI ELETTROSTATICHE 5 Pertanto la soluzione del problema di Dirichlet interno nella sfera R di centro l origine e raggio R u = 0 P R u = f si rappresenta con il seguente integrale si ha da cui u(x) = P R f(y) R n y x y R x y R2 x x 2 dσ y 2.. Il calcolo della derivata normale di G(x, y). Indicati con x = R2 x 2 x, r 0 = x y, r = x y, Tenuto conto che G(x, y) = R r 0 x G = R n y n y r 0 x r n y r r 0 = x y r R = cos (x y) n n y r 0 r0 2 = cos (x y) n n y r r 2 e tenuto conto che, per y, dal teorema di Carnot sui triangoli segue R 2 + x y 2 2R x y cos (x y) n = x 2 e R 2 + x y 2 2R x y cos (x y) n = x 2 si ha quindi, ricavando i coseni R 2 + x y 2 x 2 2R x y = cos (x y) n = cos (x y) n R 2 + x y 2 x 2 2R x y Tenuto conto dei legami tra x e x riesce inoltre R 2 + x y 2 x 2 2R x y = x 2 + x y 2 R 2 2 x x y = cos (x y) n

6 6 EQUAZIONE DI LAPLACE da cui sostituendo G = n y = r 2 0 cos (x y) n R x r 2 cos ( (x y) n) = R 2 + x y 2 x 2 R x 2 + x y 2 R 2 r0 2 2R x y x r 2 2 x x y Tenuto conto, come precedentemente osservato che riesce G = n y = r 0 = x r R R 2 + x y 2 x 2 r0 2 2R x y R 2 + x y 2 x 2 2R x y r 2 0 R x r 2 x Rr 2 0 = R 2 x 2 R x y 3 = x Rr 2 0 x 2 + x y 2 R 2 = 2 x x y = x 2 + x y 2 R 2 2R x y 2.2. La formula risolutiva. Tenuto conto della formula di rappresentazione () si ha, nel caso u = 0, u(x) = R Il caso del semispazio ϕ(y) R2 x 2 x y dσ 3 y Sia : z 0: collochiamo nel punto x la carica unitaria, sia x y il potenziale da essa determinato nello spazio. Indicato con x il simmetrico di x rispetto alla frontiera z = 0 di la funzione di Green riesce, naturalmente, G(x, y) = x y x y = (x ξ)2 + (y η) 2 + (z ζ) 2 (x ξ)2 + (y η) 2 + (z + ζ) 2

7 3. I POTENZIALI DI VOLUME, DI STRATO, DI DOPPIO STRATO 7 Tenuto conto che la normale é l asse ζ riesce [ ] G = n y (x ξ)2 + (y η) 2 + (z ζ) 2 Calcolando tale derivata normale sul piano ζ = 0 si ha G n y = z ( y 2π (x ) 3/2 ξ)2 + (y η) 2 + z 2 ζ [ ] (x ξ)2 + (y η) 2 + (z + ζ) La formula risolutiva. Tenuto conto della formula di rappresentazione () si ha, nel caso u = 0, u(x) = ϕ(y) 2π x y dσ 3 ζ 3. I potenziali di volume, di strato, di doppio strato 3.. Potenziale di volume. Assegnata la funzione ρ(x) C 0 () la funzione V ρ (x) = ρ(y)e(x, y)dy prende il nome di potenziale di volume (o di dominio) determinato da ρ(x). Teorema 3.. L integrale che definisce V µ (x) esiste, in senso generalizzato, in ogni x R 3. Teorema 3.2. La funzione V µ (x) gode delle seguenti proprietá: V µ (x) C (R 3 ) V µ (x) = 0 x R 3 V µ (x) = ρ(x) x V µ (x) C (R 3 ) Osservazione La formula ρ(y)e(x, y)dy = ρ(x) x si interpreta tradizionalmente come una convoluzione: indicata con e(x) = x

8 8 EQUAZIONE DI LAPLACE riesce da cui discende V µ (x) = µ e (x) V µ (x) = µ e (x) = µ δ = µ(x) essendo δ la misura di Dirac concentrata nell origine Potenziale di semplice strato. Assegnata la funzione µ(x) C 0 ( ) la funzione V µ (x) = µ(y)e(x, y) dσ prende il nome di potenziale di semplice strato determinato da µ. Teorema 3.3. L integrale che definisce V µ (x) esiste, in senso generalizzato, in ogni x R 3. Teorema 3.4. La funzione V µ (x) gode delle seguenti proprietá: V µ (x) C (R 3 ) V µ (x) = 0 x R 3 V µ (x) C 0 (R 3 ) Indicato semplicemente con V l operatore che, fissato fa corrispondere ad ogni funzione continua µ(y) la V µ (x) riesce V : C 0 ( ) C 0 (R 3 ) Potenziale di doppio strato. Assegnata la funzione ν(x) C 0 ( ) la funzione E(x, y) W ν (x) = u(y) dσ ν y prende il nome di potenziale di doppio strato determinato da ν. Teorema 3.5. L integrale che definisce W ν (x) esiste, in senso generalizzato, in ogni x R 3. Teorema 3.6. La funzione W ν (x) gode delle seguenti proprietá: W ν (x) C (R 3 ) W ν (x) = 0 x R 3 lim x x0 = W µ (x 0 ) 2 ν(x 0), x 0 (vale il segno se si tende dall interno e il segno + se si tende dall esterno)

9 4. USO DEI POTENZIALI 9 4. Uso dei potenziali 4.. Il problema di Dirichlet interno. Cerchiamo soluzioni per il problema DI, vedi pagina??, nella forma di un opportuno potenziale di doppio strato lim x x 0 u(x) = E(x, y) u(y) dσ ν y é evidente che u(x) é armonica in o qualunque sia la scelta di ν(y), tenuto presente che x 0 E(x, y) u(y) dσ y = ν y 2 µ(x 0) + u(y) E(x 0, y) dσ y ν y la condizione al contorno sará soddisfatta se e solo se x 0 2 µ(x 0) + u(y) E(x 0, y) dσ y = f(x 0 ) ν y 4.2. Il problema di Dirichlet esterno. Cerchiamo soluzioni per il problema DE, vedi pagina??, nella forma di un opportuno potenziale di doppio strato u(x) = E(x, y) u(y) dσ ν y 4.3. Il problema di Neumann interno. Cerchiamo soluzioni per il problema NI, vedi pagina??, nella forma di un opportuno potenziale di semplice strato u(x) = µ(y)e(x, y) dσ é evidente che u(x) é armonica in o qualunque sia la scelta di ν(y), x o si ha x µ(y)e(x, y) dσ y = tenuto presente che x 0 u lim x x 0 n = µ(y) y E(x, y) dσ y E(x, y) u(y) dσ y = + ν y 2 µ(x 0) u(y) E(x 0, y) dσ y ν y la condizione al contorno sará soddisfatta se e solo se x µ(x 0) u(y) E(x 0, y) dσ y = g(x 0 ) ν y

10 0 EQUAZIONE DI LAPLACE 5. Gli autovalori del Laplaciano 5.. Il caso unidimensionale. Consideriamo il problema in un intervallo : [0, a] della retta u + λu = 0 x u = 0 x Integrando su si ha u u dx + λ Omega u 2 dx = 0 u 2 dx = λ da cui segue che gli autovalori λ devono essere positivi. Sono soluzioni del problema le funzioni ( nπ ) u n (x, y) = sin a x se e solo se u 2 dx λ = π 2 n2 a 2 Se ne deduce che: gli autovalori sono una successione divergente a + le autofunzioni u n (x) costituiscono un sistema completo relativamente alle funzioni C () Il caso bidimensionale. Consideriamo il problema in un rettangolo : [0, a] [0, b] nel piano u + λu = 0 x u = 0 x Integrando su si ha u udx+ λ u 2 dx = 0 u 2 dx = λ u 2 dx Omega da cui segue che gli autovalori λ devono essere positivi. Sono soluzioni del problema le funzioni ( nπ ) ( mπ ) u n,m (x, y) = sin a x sin b y se e solo se n λ = π 2 2 a + m2 2 b 2 Se ne deduce che: gli autovalori sono una successione divergente a + le autofunzioni u n,m (x, y) costituiscono un sistema completo relativamente alle funzioni C ().

11 5. GLI AUTOVALORI DEL LAPLACIANO 5.3. Il caso tridimensionale. Consideriamo il problema in un dominio rettangolare : [0, a] [0, b] [0, c] nello spazio u + λu = 0 x u = 0 x Integrando su si ha u udx+ λ u 2 dx = 0 u 2 dx = λ Omega da cui segue che gli autovalori λ devono essere positivi. Sono soluzioni del problema le funzioni ( nπ ) ( mπ ) ( pπ ) u n,m,p (x, y) = sin a x sin b y sin c z se e solo se n λ = π 2 2 a + m2 2 b + p2 2 c 2 Se ne deduce che: gli autovalori sono una successione divergente a + le autofunzioni u n,m,p (x, y) costituiscono un sistema completo relativamente alle funzioni C (). u 2 dx

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13 Indice Equazione di Laplace. La funzione di Green 2. Il metodo delle immagini elettrostatiche 3 3. I potenziali di volume, di strato, di doppio strato 7 4. Uso dei potenziali 9 5. Gli autovalori del Laplaciano 0 3