ORDINAMENTO 2011 QUESITO 1

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1 ORDINAMENTO 0 QUESITO Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l asse del cilindro: Indicando con x il diametro di base del cilindro, con y la sua altezza e con R il raggio della sfera, si ha: x = + y 4R (*) Il volume del cilindro è x V = y = max se lo è x y = x ( y ) : essendo il prodotto di due potenze 4 (positive) di grandezze a somma costante ( x e agli esponenti, cioè x R y ), il massimo si avrà quando le basi sono proporzionali x y = che equivale a x = y. Sostituendo nella (*) si ottiene y R 4 R 9 =. Il cilindro di volume massimo sarà quindi uguale a: Ponendo R=60 cm = 6 dm, troviamo il volume in decimetri cubi e quindi la capacità in litri: V(max) = 96 dm 5 litri. QUESITO = e Il quadrato della distanza d(x) del generico punto della curva dal punto (4;0) è dato da: d = ( x 4) + ( x 0) = x 7x + 6. La distanza è minima quando lo è il suo quadrato, cioè per /5

2 x = 7/ ( il minimo è nel vertice della parabola). Il punto richiesto ha quindi coordinate QUESITO 7 ; 7. Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume del cilindro di raggio e altezza 8 (generato dalla rotazione attorno all asse y del segmento AB) il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all asse y dell arco di equazione x = y relativo all intervallo [0;8] Volume = () 8 ( y ) dy = = 40 0 Basta risolvere l equazione n n = 4 n 4 n n = 4 QUESITO 4 è sufficiente che sia n-4 =, da cui n = 7., con n numero naturale maggiore o uguale a 4. Siccome /5

3 QUESITO 5 L area richiesta è data da: cos x dx cos = [ ] [ ] = = 0. 5 x dx senx senx sen sen (si osservi la figura seguente ) QUESITO 6 Il limite in questione è quello che conduce alla derivata di tg x in x=a, quindi vale tg a = cos a +. Il calcolo diretto può essere effettuato utilizzando la regola di de L Hôpital (dopo aver verificato che sono valide le condizioni: il limite si presenta nella forma 0 0, numeratore e denominatore sono continue e derivabili in un intorno di x=a e in tale intorno la derivata del denominatore non si annulla): + tg x lim = + tg x a a (N.B. a deve essere diverso da + k, altrimenti limite non ha senso). /5

4 QUESITO 7 0 Consideriamo la funzione di equazione f ( x) = x + 0x + : essa è continua nell intervallo chiuso e limitato [-;0] ed assume agli estremi di tale intervallo valori di segno opposto: f(-)= -000<0 f(0)=>0 Quindi, per il Teorema degli zeri, l equazione data ha almeno una radice tra - e 0. Per verificare l unicità di tale radice studiamo la derivata prima: f '( x) = 0x La derivata è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente: ne segue che il grafico interseca l asse delle x in un solo punto e pertanto la soluzione dell equazione è unica. QUESITO 8 Si tratta di un classico problema di geometria elementare che consiste nell impossibilità di costruire con riga e compasso un quadrato equivalente ad un cerchio; tale costruzione richiederebbe la costruzione del numero, dimostrata impossibile (usando solo riga e compasso): Lindemann dimostra nel 88 che è trascendente, quindi non costruibile. L'espressione "quadratura del cerchio" è spesso citata per indicare un impresa impossibile. QUESITO 9 Indichiamo con E il punto medio dell ipotenusa del triangolo rettangolo ABC; la mediana AE risulta uguale alla metà dell ipotenusa. Se la retta FE è perpendicolare in E al piano del triangolo ABC i tre triangoli FEB, FEC ed FEA (tutti rettangoli in E) sono congruenti poiché hanno i due cateti rispettivamente congruenti. Pertanto, per ogni punto F della retta FE, le distanze FA, FB ed FC sono uguali. Per dimostrare che la retta in questione è il luogo richiesto dobbiamo dimostrare che ogni punto equidistante da A, B e C si trova su tale retta. A tale scopo basta notare che il luogo dei punti equidistanti da A e B è il piano perpendicolare ad AB nel suo punto medio, analogamente per A e C e per B e C: i punti equidistanti da A, B e C appartengono contemporaneamente a questi tre piani, che hanno in comune proprio la retta perpendicolare al piano del triangolo ABC nel punto medio E dell ipotenusa BC. 4/5

5 QUESITO 0 La risposta corretta è la D (f è la III, f la II ed f la I). Infatti: ) f non può essere la I, poiché è sempre crescente, quindi la f dovrebbe essere positiva o nulla: ciò non si verifica né per la II né per la III. ) f non può essere la II, perché essendo la concavità sempre verso l alto, la f dovrebbe essere positiva o nulla: ciò non si verifica né per la I né per la III. ) f è la III: avendo la concavità verso l alto per x>0 e verso il basso per x<0, la f è positiva per x>0 e negativa per x<0: ciò si verifica per la I, che è quindi f ; la III è decrescente tra l ascissa del massimo e l ascissa del minimo, quindi in tale intervallo la f risulta negativa, come avviene per la II. Con la collaborazione di Simona Scoleri e Angela Santamaria 5/5