CALENDARIO BOREALE 2 AMERICHE 2015 QUESITO 1

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1 Indirizzi: LI0, EA0 SCIENTIFICO; LI0 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE AMERICHE 0 QUESITO Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y = della regione di piano delimitata dalla curva di equazione y = x x + e dalla retta stessa. Studiamo sommariamente la curva di equazione y = x x +, definita e continua su tutto R. Essa interseca l asse delle ordinate in y=. Tende a ± se x tende a ± ; la sua derivata prima è: y = x 0 se: x quindi per x or x : in tali intervalli la funzione è crescente; quindi x = è punto di massimo relativo e x = punto di minimo relativo. La derivata seconda è: y = 6x 0 se x 0 x=0 è punto di flesso e, trattandosi di una cuica, il punto F=(0;) è centro di simmetria per la curva stessa. Notiamo che la retta e la curva dati si intersecano quando x x = 0, quindi per x = 0 e per x = ±. Il suo grafico qualitativo, insieme alla retta di equazione y = è il seguente: Per trovare il volume richiesto conviene effettuare la traslazione che porta la retta y= a coincidere con l asse x; tale traslazione ha vettore v=(0;-) ed equazioni: X = x { Y = y { x = X y = Y + Americhe 0 - Questionario /

2 La retta di equazione y = diventa Y = 0 e la funzione di equazione y = x x + diventa: Y + = X X + da cui Y = X X = f(x) In ase alla simmetria ricordata prima e alle intersezioni tra le due curve, il volume richiesto è dato da: V = (π f (X)dX 0 ) = π (X X) dx = π [ x7 7 6 x + x ] = π [ ( ) u V 0 0 = π (X 6 6X 4 + 9X ) dx 0 6 ( ) + ( ) ] = π ( 7 ) = 44π QUESITO = u Verificare che la funzione: f(x) = x + ha una discontinuità di prima specie ( a salto ), mentre la funzione: f(x) = x x + ha una discontinuità di terza specie ( eliminaile ). Americhe 0 - Questionario /

3 La funzione f(x) = x+ destro ed il limite sinistro per x che tende a zero: lim x 0 x+ = ; lim x 0 + è discontinua per x=0 (dove non è definita); calcoliamo il limite x+ discontinuità di prima specie, con salto = 0 =. La funzione f(x) = x x+ destro ed il limite sinistro per x che tende a zero: x lim x 0 x+ = 0 ; lim x 0 + = 0 : i limiti sono finiti e diversi, quindi in x=0 c è una è discontinua per x=0 (dove non è definita); calcoliamo il limite x x+ = 0 : i limiti sono finiti ed uguali, quindi in x=0 c è una discontinuità eliminaile (terza specie). Osserviamo che il prolungamento continuo della funzione è: f f(x), se x 0 (x) = { 0, se x = 0 QUESITO Durante il picco massimo di un epidemia di influenza il % della popolazione è a casa ammalato: a) qual è la proailità che in una classe di 0 alunni ce ne siano più di due assenti per l influenza? ) descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l intera scuola ha 00 alunni, la proailità che ce ne siano più di 0 influenzati è maggiore del 99%. La proailità di ammalarsi della popolazione in esame è p = 0. ; la proailità di NON ammalarsi è q = p = 0. = 0.8. a) Si tratta di una distriuzione inomiale e doiamo calcolare la proailità che su 0 alunni ci siano un numero di alunni ammalati maggiore di due, come dire che non devono essere ammalati zero, uno o due; indicando con p(k, n) la proailità che ci siano k successi (k alunni ammalati) su n prove (n alunni in totale), la nostra proailità è data da: p(più di due ammalati su 0) = p(0 ammalati) p( ammalato) p( ammalati) = = p(0,0) p(,0) p(,0) = ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) = % Americhe 0 - Questionario /

4 ) La proailità di avere un numero di successi (ammalati) maggiore di 0 su una popolazione di 00 alunni equivale alla proailità di NON avere 0,,,,0 alunni ammalati su 00, quindi: p(più di 0 ammalati su 00) = p(0,00) p(,00) p(,00) p(0,00) = = ( 00 0 ) ( 00 ) ( 00 0 ) = 0 = ( 00 k ) 0.k k k=0 Queste sono le operazioni (molto lunghe) da compiere per verificare che la proailità che ci siano più di 0 influenzati è maggiore del 99%. Il risultato valutato al computer è pari a circa : = 99.9 %. QUESITO 4 Nello spazio sono dati due piani α e β rispettivamente di equazione: α) x y + z = 0 β) x + y z + = 0 Dopo aver determinato l'equazione parametrica della retta r da essi individuata verificare che essa appartiene al piano γ di equazione x + y z + = 0. Troveremo le equazioni parametriche della retta risolvendo il sistema formato dalle equazioni dei due piani rispetto ad una delle tre variaili: x y + z = 0 { x + y z + = 0 x y = 0 sommando e sottraendo memro a memro { y + z 8 = 0 { x = + y x = + t z = 4 + y poniamo y = t { y = t z = 4 + t Verifichiamo che la retta r appartiene al piano di equazione x + y z + = 0: ( + t) + t (4 + t) + = 0, 0 = 0 ciò vuol dire che il generico punto della retta appartiene al piano al variare di t, pertanto la retta giace sul piano γ. Americhe 0 - Questionario 4/

5 QUESITO Considerata la paraola di equazione y = 4 x, nel primo quadrante ciascuna tangente alla paraola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l area di tale triangolo sia minima. La paraola ha vertice nel punto (0;4) ed interseca l asse x nei punti di ascissa - e. Detto T il generico punto della paraola nel primo quadrante aiamo la seguente figura: Poniamo T = (t; 4 t ), con 0 < t < e scriviamo l equazione della tangente in T alla paraola; risulta: y = x, quindi il coefficiente angolare della tangente in t è: m = t. La tangente ha quindi equazione: y (4 t ) = t(x t), y = tx + t + 4 quindi le intersezioni con glia assi sono: A { x = t + 4 t y = 0 x = 0 ; B { y = t + 4 Il triangolo formato con gli assi cartesiani ha quindi area: Area(AOB) = + 4 (t ) (t + 4) = (t + 4) t 4t Quest area è massima se lo è la funzione: z = (t + 4) t Studiamo la derivata prima: z = ( t 4)(t + 4) t 0 se ( t 4) 0, t or t ; con le nostre limitazioni di t possiamo dire che z > 0 se < t < : in tale intervallo la funzione è crescente; invece è decrescente se Americhe 0 - Questionario /

6 0 < t < : pertanto z (e quindi anche la nostra area) ha un minimo relativo (che è anche assoluto) per t =. Il punto di tangenza che individua il triangolo di area minima è quindi: T = (t; 4 t ) = ( ; 4 4 ) = ( ; 8 ) = T L area minima vale: Area(minima) = (t + 4) 4t = (4 + 4) = 8 9 u 6.6 u QUESITO 6 Determinare la funzione densità di proailità di una variaile casuale continua che assume valori nell intervallo [,] con una distriuzione uniforme. Determinare inoltre il valore medio, la varianza, la deviazione standard di tale variaile e la proailità che sia 7 7 x. 4 Ricordiamo che una variaile casuale continua X si dice che è distriuita uniformemente (o che segue la distriuzione uniforme) se i valori possiili appartengono ad un dato intervallo [a;] e tutti i valori di tale intervallo hanno la stessa proailità di essere assunti; la funzione densità di proailità ha la seguente equazione: f(x) = {, per a x a 0, altrove Ricordiamo anche che la densità di proailità di una variaile aleatoria continua X è una funzione f(x) per la quale, detta F(x) = p(x x) la funzione di ripartizione di X (o funzione di distriuzione cumulata), risulta: F(x) = p(x x) = x Ricordiamo anche che: f(t) dt p(a x ) = f(x)dx = F() F(a). a +, con f(x) 0 e f(x) dx = Ritornando alla distriuzione uniforme, aiamo: valor medio = m(x) = a+, varianza = σ = ( a), deviazione standard = σ = ( a) Americhe 0 - Questionario 6/

7 Considerando l intervallo [,], aiamo la seguente densità di proailità: f(x) = {, per x 0, altrove che ha il seguente grafico: valor medio = m(x) = a + = + ( varianza = σ a) ( ) = = =. = 9 = 4 = 0.7 ( a) deviazione standard = σ = = p ( 7 x 7 4 ) = 4 f(x)dx = 4 dx = (7 4 7 ) = = % Nota + m(x) = x f(x) dx = x a a dx = a = a [ a ] = ( a)( + a) = a a + x dx a σ = m[(x m) ] = m(x ) m = x a + f(x) dx ( ) a = a [x ] a = = a [x ] a a + ( ) = Americhe 0 - Questionario 7/

8 = a [ a + ] (a ) = + a + a + a + 4 = a a a + ( ) = = a + ( a) = Calcolare il valor medio della funzione QUESITO 7 x x f(x) = { e x + < x 6 nell intervallo [,6] e determinare il valore della x in cui la funzione assume il valore medio. Osserviamo che la funzione è continua nell intervallo chiuso [;6], infatti il limite sinistro e il limite destro nel sono uguali a, che è anche il valore di f(). Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è la soluzione dell equazione f(x) = f(x)dx a a = Quindi: = 6 6 f(x)dx = ( (x )dx + (ex + )dx ) {[(x ] + [e x + x] 6 } = [ + e + 6 ( + )] = ( + e + ) = e + 4 ) = se x x = e +4, x = e +9.8 non accettaile se < x 6 e x + = e +4, e x = e, x = ln ( e ), x = + ln ( e ) 4. accettaile. Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è x = + ln ( e ) 4. Americhe 0 - Questionario 8/

9 QUESITO 8 Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r(t). Calcolare il raggio della sfera nell istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali. La superficie sferica, al variare del raggio r(t), ha valore: S = 4πr (t) La velocità di crescita della superficie sferica è data da: ds dt = d dt (4πr (t)) = 4π r(t) r (t) La velocita di crescita del raggio è r (t). Le due velocità di crescita sono uguali quando: 4π r(t) r (t) = r (t), da cui: r(t) = 8π Il raggio della sfera nell istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono uguali è uguale a r = u 0.04 u. 8π QUESITO 9 In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni: x = t + { y = + t z = kt e il piano P di equazione x + y z + = 0, determinare per quale valore di k la retta r e il piano P sono paralleli, e la distanza tra di essi. I parametri direttori della retta sono i coefficienti del parametro t: (,,k). I parametri direttori del piano sono i coefficienti di x, y e z: (,,-). La condizione di parallelismo tra una retta ed un piano afferma che la somma dei prodotti dei parametri direttori deve essere nulla, quindi: ()() + ()() + (k)( ) = 0 da cui: 4 k = 0, quindi k = 4. La retta ed il piano sono paralleli se k = 4. Americhe 0 - Questionario 9/

10 In tal caso la retta ha equazioni: x = + t { y = + t z = 4t La distanza di una retta da un piano ad essa parallela è uguale alla distanza di un qualsiasi punto della retta dal piano; per t=0 otteniamo il punto (;;0); la distanza di un punto da un piano si ottiene applicando la seguente formula: d = ax 0 + y 0 + cz 0 + d = = a + + c = 6 6 QUESITO 0 Scrivere l equazione della circonferenza C che ha il centro sull asse y ed è tangente al grafico G f di f(x) = x x nel suo punto di flesso. Il punto F di flesso della cuica (che esiste ed è unico) si ottiene annullando la derivata seconda: f (x) = x 6x ; f (x) = 6x 6 = 0 se x = da cui f() = = Quindi il flesso ha coordinate: F = (; ). Calcoliamo la tangente alla cuica in F: m = f () = 6 = ; quindi la tangente in F ha equazione: y + = (x ), y = x +. La circonferenza C ha quindi il centro sull asse y ed è tangente alla retta y = x + in F = (; ). Il centro della circonferenza appartiene anche alla perpendicolare alla tangente in F, cioè alla retta di equazione: y + = (x ), y = x 7 ; ponendo x = 0 aiamo y = 7. La circonferenza ha quindi centro nel punto di coordinate A = (0; 7 ). Il raggio della circonferenza è uguale alla distanza del centro A da punto di tangenza F: r = ( 0) + ( + 7 ) = + 9 = 0 9 = 0 Americhe 0 - Questionario 0/

11 Notiamo che il raggio della circonferenza si può anche ottenere come distanza del centro dalla tangente, quindi, utilizzando la formula: d = ax 0+y 0 +c con (x a + 0 ; y 0 ) = A = (0; 7 ) e la retta y = x + scritta nella forma x + y = 0. Risulta pertanto: r = 7 0 = = 0 0 = (come nel modo precedente). L equazione della circonferenza è quindi: (x 0) + (y + 7 ) = ( 0 ) da cui: x + y + 4 y = 0, x + y + 4 y + = 0 x + y + 4y + = 0. Questa la situazione grafica (comunque non richiesta): Con la collaorazione di Angela Santamaria Americhe 0 - Questionario /