PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

Транскрипт

1 PNI 8 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO Si determinino le costanti a e b in modo tale che la funzione: ax + b per x f(x) = { e x per x > x risulti continua e derivabile nel punto x=. Per essere continua in x= deve essere: lim x + f(x) = lim x + ex x lim x f(x) = lim f(x) = f() = b + x Quindi, per essere continua deve essere: b=. Analizziamo la derivabilità: =, lim x f(x) = lim x (ax + b) = b se x<: f (x) = a, lim x f (x) = a se x>: f (x) = ex x (e x ), lim x x + f (x) = lim x + ex x (e x ) x In base allo sviluppo di Mc Laurin, per x risulta: e x = + x + x + o(x ), quindi: x ( + x + + o(x ) ) x ( + x + x + o(x ) ) lim x + x x x = lim x + x = Oppure, applicando la regola di De l Ho pital, di cui sono verificate le ipotesi: e x x (e x ) e x x + e x e x lim x + x = lim = x + x Affinché la funzione sia derivabile in x= deve quindi essere: a = x + per x f(x) = { e x per x > x e b = : /

2 QUESITO Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d incontro si trovi fra l equatore e il tropico del Cancro (latitudine λ = 3 7 nord)? Ricordiamo che l area della calotta sferica a due basi (detta anche zona sferica) è data da: S = πrh Con R raggio della sfera e h altezza della calotta (distanza tra i due piani secanti). Nel nostro caso h = OB. Essendo la latitudine pari a λ = 3 7, l angolo POB è uguale a: =66 33, quindi: h = OB = OP cos(66 33 ) = R T cos(66 33 ) = =.398 R T La probabilità richiesta è data da: p = Superficie favorevole Superficie possibile / = S(calotta) S(sfera) = πrh 4πR = h R

3 p = h R = R T cos(66 33 ) = cos(66 33 ).99 % R T QUESITO 3 Si determini il numero reale positivo λ in modo che la curva rappresentativa della funzione g(x) = e λx divida in parti equiestese la regione delimitata dalla curva rappresentativa della funzione f(x) = e λx, dall asse x e dalle rette x = e x =. Con λ > le due funzioni hanno grafici del tipo: Dovrà essere: S = S, quindi: (f(x) g(x))dx = g(x)dx (e λx e λx )dx = e λx dx quindi: [ λ eλx + λ e λx ] = [ λ e λx ] λ eλ + λ e λ ( λ + λ ) = λ e λ ( λ ) λ eλ + λ e λ λ = λ e λ + λ eλ + e λ = e λ + e λ + e λ 3 = e λ + 3e λ = e λ 3e λ + = e λ = oppure e λ = da cui: λ = (non accettabile) oppure λ = ln() accettabile. Le funzioni in tal caso sono: g(x) = e (ln())x = (e ln ) x = x ed f(x) = e (ln)x = x Che hanno i seguenti grafici: 3 /

4 QUESITO 4 Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa. La probabilità di UN SUCCESSO (testa in un lancio) è data da: p =. La probabilità di avere x=4 successi in n=8 lanci (distribuzione binomiale) è data da: p = p(n, x) = ( n x ) px q n x = ( ) ( ) ( 4 ) = 7 ( 8 ) = 7 56 = = 7.3 % 8 QUESITO 5 Si dimostri che l equazione (3 x)e x 3 = per x > ha un unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte. Studiamo in modo sommario la funzione di equazione g(x) = (3 x)e x 3. La funzione è continua per ogni x (quindi anche per x>), g()=, per x che tende a + tende a, la sua derivata prima g (x) = e x + (3 x)e x = e x ( x) > se x < : quindi la funzione è crescente per < x < e decrescente per x >, con g() = e 3 > : la funzione ha pertanto un solo zero per x>. Risulta: g(3) = 3 <, g(.5) =.5e > possiamo quindi affermare che l equazione (3 x)e x 3 = per x > ha una sola radice, compresa tra.5 e 3. 4 /

5 Calcoliamo la derivata seconda della funzione: g (x) = e x ( x), g (x) = e x ( x) e x = e x ( x) quindi il grafico, nell intervallo che ci interessa,.5 x 3, volge sempre la concavità verso il basso: possiamo pertanto applicare il metodo di Newton. Risulta poi: g (x) g(.5) <, pertanto il punto iniziale dell iterazione è x = a =.5 x n+ = x n g(x n) g (x n ) x = x g(x ) g (x ) =.5 g() g () 3.75 x = x g(x ) g (x ) /

6 x 3 = x g(x ) g (x ).85 x 4 = x 3 g(x 3) g (x 3 ).84 x 5 = x 4 g(x 4) g (x 4 ).84 Quindi la radice approssimata a meno di / è x =.8 QUESITO 6 Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio proporzionale fra il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera. Il cilindro equilatero inscritto nella sfera di raggio r ha il diametro di base GF (uguale all altezza del cilindro stesso) che equivale al lato del quadrato di diagonale r; quindi: GF = r = r, Il volume del cilindro è quindi: r r(cilindro) =, h(cilindro) = GF = r V(cilindro) = πr h = π ( r ) r = πr 3 Il diametro di base del cono equilatero inscritto nella sfera di raggio r (diametro di base che è uguale all apotema) equivale al lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio r, quindi è pari a diametro(cono) = r 3. L altezza del cono è uguale all altezza del suddetto triangolo, quindi: h = AH = 3 r. Pertanto: V(cono) = 3 πr h = π (r 3 3 ) 3 r = 3 8 πr3 6 /

7 Il volume della sfera è: Dobbiamo dimostrare che: V(sfera) = 4 3 πr3 Risulta infatti: V(cono): V(cilindro) = V(cilindro): V(sfera) = V(cono): V(cilindro) = V(cilindro): V(sfera) 3 8 πr3 πr 3 = 3 4 = 3 8 πr3 3 = πr3 QUESITO 7 Si calcoli il valore medio della funzione f(x) = arccos x nell intervallo x. Il valor medio f(c) è dato da: f(c) = b f(x)dx a b a = arccos x dx Integrando per parti si ottiene: arccos x dx = (x) arccos x dx = x = x arccos x x x ( x ) dx = = x arccos x + x x dx = x arccos x + x + k Quindi: arccos x dx = π.57 = f(c) = valor medio = [x arccos x + x ] = arccos() + ( + ) = 7 /

8 QUESITO 8 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(,), B(,4). Si determini sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con un angolo di massima ampiezza. Indicato con x l angolo ACB, e posto C = (t; ), con t >, cerchiamo la l angolo formato dalle rette AC e BC. m AC = t, m BC = 4 t, tgx = t + 4 t + 4 t = 3 t t = + 4 t 3t t + 4 = f(t) Cerchiamo il massimo di questa funzione per t>. f (t) = 3t + (t se t + 4 ) Quindi la funzione cresce se <t< e decresce se t>: per t= abbiamo il massimo assoluto. Quindi il massimo di tgx si ha per t=; per tale valore di t è massimo anche l angolo x. Il punto C richiesto ha quindi coordinate C = (; ). Siccome tgx = 3t t +4 = f(t), il suo massimo è f() = 3 4. Il massimo valore dell angolo x è quindi x = arctg ( 3 ) /

9 QUESITO 9 Si scriva l equazione della tangente al diagramma della funzione: nel punto P di ascissa x = e. logx f(x) = et t dt Notiamo intanto che f(e) =, poiché gli estremi dell integrale sono uguali. Calcoliamo ora il coefficiente angolare della tangente, che equivale ad f (e). Ricordiamo che: x f(x) = g(t)dt a Nel nostro caso: b(x) f (x) = g(x), f(x) = g(t)dt a f (x) = g(b(x)) b (x) f (x) = e logx ( logx) [ x logx ] f (e) = e e = Quindi la tangente richiesta ha equazione: y = (x e) y = (x e) Tenuto conto che: QUESITO / π 6 = dx x si calcoli un approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d integrazione numerica studiati. Posto f(x) =, consideriamo l intervallo [; ] e dividiamolo in n parti; poniamo x h = =. n n Utilizzando, per esempio, la formula dei trapezi, l integrale dato può essere approssimato mediante la formula: 9 /

10 f(x)dx a b b a n [f(x ) + f(x n ) + f(x ) + f(x ) + + f(x n )] Nel nostro caso, ponendo per esempio n=5, abbiamo h = x =, x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5 = Quindi si ha la seguente approssimazione: / dx x + f(.5) [f() + f(.) + f(.) + f(.3) + f(.4)].54 Quindi: π.54 da cui π Notiamo che il valore esatto di π è: Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri /