1. Risolvi in R le seguenti disequazioni: 1.a) ( x ) ( x ) b) 2x. 1.e) 2x 1. 1.g)

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1 LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO GPascoli di Bolzano PROVA SCRITTA DI MATEMATICA-ALUNNI CON GIUDIZIO SOSPESO CLASSE a B /9/9- Tempo h Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc) pena la sua esclusione dalla valutazione Risolvi in R le seguenti disequazioni: a) ( ) ( ) + b) c) > 5+ 6 d) + > e) f) log/ g) < Del triangolo rettangolo ABC con l angolo in A retto conosci i seguenti dati: sin ACB ˆ = 3 / 5 e AC= cm Sia AH l altezza relativa all ipotenusa BC Determina la lunghezza dei segmenti AH e BH e l area del triangolo ABC

2 Soluzioni della prova scritta a B a) + b) = = La parabola volge la concavità verso il basso e interseca l asse delle ascisse nei punti ½ e Pertanto la soluzione è oppure c) Il numeratore della frazione è positivo per < mentre il denominatore è positivo per < oppure per > 3 In definitiva la frazione è positiva per < oppure per < < 3 d) L argomento del primo valore assoluto è positivo per >- mentre l argomento del secondo valore assoluto è positivo per >; per <- entrambi gli argomenti sono negativi e, quindi, la disequazione è equivalente al sistema <, che è impossibile essendo tale la + > seconda disequazione; per è non negativo il primo argomento e non positivo il secondo e quindi la disequazione è equivalente al sistema la cui soluzione è + + > < ; infine per > la disequazione è equivalente al sistema > la cui so- + + > luzione è, ovviamente, > In definitiva la soluzione della disequazione è > e) La disequazione è equivalente al sistema Notiamo che la soluzione della prima disequazione è mentre della seconda è ; pertanto le prime due disequazioni non hanno soluzioni in comune e quindi il sistema è impossibile f) La condizione di accettabilità > è chiaramente soddisfatta da, che è anche la soluzione della disequazione g) La disequazione è equivalente alla disequazione < e quindi deve essere <, che ha per soluzione < < Problema Per la relazione fondamentale della goniometria si ha: ˆ ˆ 9 6 cos ACB= sin ACB= = = Inoltre sin ˆ AH= AC ACB= cm= cm e HC= AC cos ACB ˆ = cm= 6 cm 5 5 AH Per il secondo teorema di Euclide BH= = cm= 9cm e quindi BC= 5cm HC 6 BC AH 5 L area del triangolo ABC è = cm = 5cm

3 LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO GPascoli di Bolzano PROVA SCRITTA DI MATEMATICA-ALUNNI CON GIUDIZIO SOSPESO CLASSE a B /9/9- Tempo h Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc) pena la sua esclusione dalla valutazione Per fare un trasloco due ditte A e B chiedono le seguenti forme di compenso: ditta A: 5 euro al chilometro più 5 euro di spese fisse; ditta B: 7 euro e 5 centesimi al chilometro In quali casi conviene far fare il trasloco alla ditta A, in quali alla ditta B, e quando è indifferente scegliere l una o l altra ditta Risolvi la seguente disequazione: ( ) ( ) + 3 Scomponi nel maggior numero di fattori i seguenti polinomi ed effettua la prova: 3 3a) + 3b) c) 9 3d) + 3 Risolvi la seguente equazione dopo aver determinato le condizioni di esistenza: + = + 5 Considera la mediana CM di un triangolo ABC; sulla retta contenente tale mediana considera un punto D tale che CM = MD Dimostra che BC e AD sono congruenti e paralleli 6 Sia data la retta r di equazione -5y=: 6a) rappresentala in un sistema di assi cartesiani ortogonali; 6b) trova, se esiste, la sua intersezione con la retta s di equazione: +5y= e chiama l eventuale intersezione C; 6c) calcola l area del triangolo OAC dove O è l origine e A è l intersezione della retta r con l asse delle ascisse; 6d) stabilisci se le rette r ed s sono perpendicolari

4 Soluzioni della prova della a B Indichiamo con il numero dei chilometri per effettuare il trasloco; con questa posizione la forma di compenso ( in euro) della ditta A è 5+ 5 mentre quella della ditta B è 7,5; allora è più 5 conveniente far fare il trasloco alla ditta A se 5+ 5< 7,5 e cioè se > km cioè se il nu-,5 mero dei chilometri è superiore a 6; a questo punto è banale rilevare che è più conveniente la ditta B se il numero dei chilometri è inferiore a 6 mentre la scelta è indifferente se il numero dei chilometri è esattamente a) 3 + = ( ) = ( ) 5 ( ) 5 = ( )( )( ) + 5 3b) 36 + = ( 6 ) 3c) 9 = ( 7 9)( 7+ 9) 3d) 3 ( 7)( ) + = + = ( )( ) Le condizioni di esistenza sono e ; l equazione, con i denominatori scomposti, diventa: + = + + ( )( ) + = ( )( + ) ( )( + ) = e quindi =, che non può essere accettato in quanto escluso dalle condizioni di esistenza Pertanto l equazione è impossibile 5 Le ipotesi del problema sono: AM MB e CM MD ; i triangoli CMB e AMD sono congruenti per il primo criterio di congruenza ( gli angoli CMB ˆ e AMD ˆ sono opposti al vertice); in particolare CB AD, che è la prima parte della tesi; inoltre si ricava sempre dalla congruenza dei due triangoli che MCB ˆ MDA ˆ, che sono angoli alterni interni delle rette BC e AD, tagliate dalla trasversale CD Pertanto per un criterio di parallelismo BC AD, che è la seconda parte della tesi 6 6a) per la rappresentazione basta porre = e si ricava y=- e poi y= da cui =5; pertanto la retta r passa per i punti A(5;) e B(;-); 5 6b) per trovare l intersezione con la retta s basta risolvere il sistema y= che ha come so- + 5y= luzione C(3;-/5) 5 6c) l area del triangolo è 5= = 6d) la retta r ha il coefficiente angolare uguale a /5 mentre quello della retta s è -/5, che è l opposto ma non l antireciproco di quello della retta r; pertanto le due rette non sono perpendicolari

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