Soluzione del secondo Esonero di Meccanica Quantistica

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1 1 Soluzione del secondo Esonero di Meccanica Quantistica 1/3/007 Compito A Osserviamo che l hamiltoniana è separabile nella forma H = H x1 + H y1 + H x + H y dove si è posto H x1 = p x 1 m + U(x 1), H y1 = p y 1 m + U(y 1), H x = p x m + U(x ), H y = p y m + U(y ) con U energia potenziale della particella libera confinata nel segmento (0, ). Avremo allora che la parte spaziale delle autofunzioni di H è data dal prodotto di quattro autofunzioni di singola particella libera nel segmento e i suoi autovalori sono dati dalla somma degli autovalori di singola particella libera nel segmento dipendenti dai numeri quantici n x1, n y1, n x, n y. Alla parte spaziale dovremo poi moltiplicare tensorialmente una parte di spin se le particelle hanno spin in modo tale che le autofunzioni complessive siano totalmente simmetriche o antisimmetriche per scambio delle due particelle a seconda che le particelle siano rispettivamente bosoni o fermioni. 1) Se le particelle sono bosoni di spin zero, allora non avremo la parte di spin e la parte spaziale rappresenterà tutta l autofunzione e dovrà essere simmetrica. Per tali particelle abbiamo allora lo stato fondamentale non degenere dato da tutti e quattro i numeri quantici pari a 1 ψ 1 (r 1, r ) = sin πx 1 sin πy sin πx sin πy che si riconosce subito essere simmetrico con energia (autovalore) E 1 pari a data dall equazione secolare E 1 = E 1 = h π m = h π m H ψ 1 (r 1, r ) = (E 1 + E 1 + E 1 + E 1 ) ψ 1 (r 1, r ) = E 1 ψ 1 (r 1, r ) Il primo stato eccitato è dato dal prodotto delle quattro autofunzioni di singola particella in cui un solo numero quantico è pari a e gli altri tre sono pari a 1. Poiché si

2 può dare valore di volta in volta ad uno dei quattro numeri quantici, allora sembrerebbe che si possano avere quattro stati degeneri corrispondenti al primo livello eccitato. Poiché però le autofunzioni complessive debbono essere simmetriche, tale condizione riduce la quantità di stati corrispondenti al primo livello eccitato soltanto a che sono ψ (1) (r 1, r ) = 1 sin πx sin πy sin πx sin πy + + sin πx 1 sin πy sin πx sin πy e ψ () (r 1, r ) = 1 sin πx sin πy sin πx sin πy + + sin πx 1 sin πy sin πx sin πy energia dei due stati (degeneri) del primo livello eccitato è data dall equazione secolare E = E + 3E 1 = h π m + 3 h π m = 7 h π m Hψ (r 1, r ) = (H x1 + H y1 + H x + H y )ψ (r 1, r ) = (E + E 1 + E 1 + E 1 )ψ (r 1, r ) Se le particelle sono fermioni di spin 1/, allora le autofunzioni sono date dal prodotto tensoriale di una parte spaziale e di una parte di spin e dovranno essere totalmente antisimmetriche per scambio delle due particelle. o stato fondamentale è dato dal prodotto della parte spaziale simmetrica avente tutti i numeri quantici pari a 1 e della parte di spin antisimmetrica (che è il singoletto 0, 0 composizione antisimmetrica di due spin 1/), ovvero si ha lo stato non degenere ψ 1 (r 1, r ) = sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 0, 0 Il primo stato eccitato può essere ottenuto moltiplicando tensorialmente una parte spaziale simmetrica per una parte di spin antisimmetrica (singoletto), oppure una parte spaziale antisimmetrica per una parte di spin simmetrica (data dai tre stati di tripletto 1, ±1, 1, 0 composizione simmetrica di due spin 1/), ovvero si hanno gli otto stati (degenerazione 8)

3 3 ψ (1) (r 1, r ) = 1 sin πx sin πy sin πx sin πy + + sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 0, 0 ψ () (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy + + sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 0, 0 ψ (3) (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 1, 1 ψ () (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 1, 0 ψ (5) (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 1, 1

4 ψ (6) (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 1, 1 ψ (7) (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 1, 0 ψ (8) (r 1, r ) = 1 sin πx 1 sin πy sin πx sin πy sin πx 1 sin πy sin πx sin πy 1, 1 e energie dello stato fondamentale e del primo livello eccitato nel caso fermionico sono le stesse dei corrispondenti livelli bosonici, ovvero si ha E 1 = E 1 = h π m E = E + 3E 1 = h π m + 3 h π m = 7 h π m ) Se, nel caso fermionico, ad H aggiungiamo il termine H = ω h (S + hs z ) allora l hamiltoniana diventa H = H x1 + H y1 + H x + H y + ω h (S + hs z )

5 5 Poiché si ha H 1, 1 = 3 hω 1, 1, H 1, 0 = hω 1, 0, H 1, 1 = hω 1, 1, H 0, 0 = 0 segue che l energia dello stato fondamentale rimane inalterata e gli otto stati del primo livello eccitato sono autostati dell hamiltoniana totale non più relativi alla medesima energia. Come si può facilmente verificare attraverso l equazione secolare, per effetto del termine H si ha in particolare il seguente schema delle energie per gli otto stati ψ (k) (r 1, r ), k = 1,,..., 8, del punto precedente gli stati ψ (1) (r 1, r ), ψ () (r 1, r ) hanno energia inalterata E = E ; gli stati ψ (3) (r 1, r ), ψ (6) (r 1, r ) hanno energia E = E + 3 hω; gli stati ψ () (r 1, r ), ψ (7) (r 1, r ) hanno energia E = E + hω; gli stati ψ (5) (r 1, r ), ψ (8) (r 1, r ) hanno energia E = E + hω Come si vede, il termine H rimuove solo in parte la degenerazione: la degenerazione residua (degenerazione doppia per ogni livello E ) è dovuta al fatto che tale termine H non distingue le parti spaziali, simmetrica o antisimmetrica, della funzione d onda. Il nuovo primo livello eccitato diventa allora, per effetto del termine H, il livello (doppiamente degenere) dato dalle funzioni d onda ψ (1) (r 1, r ), ψ () (r 1, r ) avente energia E = E = 7 h π m 3) Il termine S 1 S nella perturbazione assegnata può essere scritto nella forma da cui otteniamo [ 1 (S 1 S ) 0, 0 = S 1 S = 1 (S S 1 S ) ] (S S1 S ) 0, 0 = 3 h Scrivendo il termine di perturbazione nella forma V (x 1, y 1, x, y ) = λ h S 1 S 0, 0 16 ψ 1 (x 1) ψ 1 (y 1) ψ 1 (x ) ψ 1 (y )

6 6 dove con ψ 1 (z) si intende l autofunzione relativa a n = 1 della singola particella nel segmento, abbiamo che al primo ordine nella teoria delle perturbazioni l energia dello stato fondamentale diventa E TOT 1 = E 1 + λ E 1 dove E 1 è dato dalla relazione ( E 1 = ψ 1 (r 1, r ) V ψ 1 (r 1, r ) = 3 ) ( ) ( 16 0 ) ψ 1 (z) ψ1(z) 3 dz = 3 10 Compito B 1) a risposta al primo quesito è identica alla risposta del primo quesito nel compito A. ) Se, nel caso fermionico, ad H aggiungiamo il termine H = ω h (S 1 S hs z ) allora l hamiltoniana diventa Poiché si ha H = H x1 + H y1 + H x + H y + ω h [ S S 1 S hs z ] H 1, 1 = 3 hω 1, 1, H 1, 0 = 1 hω 1, 0, H 1, 1 = 5 hω 1, 1, H 0, 0 = 3 hω 0, 0 dall equazione secolare segue che l energia dello stato fondamentale diventa E 1 = E 1 3 hω = h π m 3 hω e che gli otto stati del primo livello eccitato sono autostati dell hamiltoniana totale non più relativi alla medesima energia. Come si può facilmente verificare attraverso l equazione secolare, per effetto del termine H si ha in particolare il seguente schema delle energie per gli otto stati ψ (k) (r 1, r ), k = 1,,..., 8, del punto precedente

7 7 gli stati ψ (1) (r 1, r ), ψ () (r 1, r ), ψ (3) (r 1, r ), ψ (6) (r 1, r ) hanno energia E = E 3 hω; gli stati ψ () (r 1, r ), ψ (7) (r 1, r ) hanno energia E = E + 1 hω; gli stati ψ (5) (r 1, r ), ψ (8) (r 1, r ) hanno energia E = E + 5 hω Come si vede, il termine H rimuove solo in parte la degenerazione: la degenerazione residua (degenerazione quadrupla per un livello E e doppia per gli altri tre livelli E ) è dovuta al fatto che tale termine H non distingue le parti spaziali, simmetrica o antisimmetrica, della funzione d onda. Il nuovo primo livello eccitato diventa allora, per effetto del termine H, il livello (con degenerazione ) dato dalle quattro funzioni d onda ψ (1) (r 1, r ), ψ () (r 1, r ), ψ (3) (r 1, r ), ψ (6) (r 1, r ) avente energia E = E = 7 h π m 3 hω 3) In virtù della perturbazione assegnata, abbiamo che al primo ordine nella teoria delle perturbazioni l energia dello stato fondamentale diventa dove E 1 è dato dalla relazione E TOT 1 = E 1 + λ E 1 E 1 = ψ 1 (r 1, r ) V ψ 1 (r 1, r ) = = 16 ( 0 sin πy ) ( 1 dy 1 0 sin πx 1 πx ) sin 1 dx 1 = 1 Non ho tempo di rispondere alla domanda facoltativa dei due compiti. Appena l avrò scritta, aggiornerò il file. Chi dovesse aver già stampato il presente file senza tale ultima risposta, scarichi l aggiornamento e non stampi di nuovo, nel file completo aggiornato, le prime sette pagine (risparmio di carta!!). Inviata all indirizzo seriegeo@yahoo.it, sarà graditissima qualunque osservazione di qualunque genere, oltre che ovviamente qualunque correzione a tale mia soluzione.