1 Nucleo di evoluzione nel formalismo canonico

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1 Corso di Laurea Magistrale in Fisica, Università di Cagliari Corso di Teorie di gauge, A. A. 04/05 Esercizi I, 7 ottobre 04 Docente: Giuseppe D Appollonio Nucleo di evoluzione nel formalismo canonico a) Calcolate il nucleo di evoluzione per una particella libera K(x b, t b ; x a, ) = x b, t b x a,, () H = p m, () utilizzando l espansione in autofunzioni dell energia. b) Calcolate il nucleo di evoluzione per un oscillatore armonico H = p m + mω x, (3) utilizzando l espansione in autofunzioni dell energia. Ricordate la definizione dei polinomi di Hermite ( H n (y) = e y d ) n e y. (5) dy c) Considerate il nucleo di evoluzione per tempi immaginari t = i/hβ con β =. Mostrate kt che in generale per ogni sistema quantistico Tr K(x, y; i/hβ, 0) dx K(x, x; i/hβ, 0) = Z(β), (6) dove β è la funzione di partizione Z(β) n e βen. (7) Calcolate Z(β) sia per la particella libera che per l oscillatore armonico usando il nucleo di evoluzione. Per effettuare la somma conviene scrivere le funzioni gaussiane sulle quali agiscono gli operatori di derivata in termini della loro trasformata di Fourier e y = π dp e ipy p. (4)

2 . Particella sul cerchio Considerate una particella vincolata a muoversi su di un cerchio di raggio R. parametrizzare il cerchio con una coordinata x definita modulo traslazioni di πr Possiamo x x + πnr con n Z. (8) La funzione d onda di una particella per essere ben definita sul cerchio deve soddisfare la condizione al bordo ψ(x + πnr, t) = ψ(x, t). (9) Mostrate che gli autostati dell energia sono ψ n (x) = e i n R x, E n = /h πr m n R. (0) Calcolate l indeterminazione nel momento p e nella posizione x per questi stati. Discutete se il risultato è consistente con il principio di indeterminazione. Calcolate il nucleo di evoluzione utilizzando l espansione in autofunzioni dell hamiltoniana. K(x, x ; t) = x, t x, 0, () Calcolate nuovamente il nucleo di evoluzione utilizzando l integrale sui cammini. Notate che esiste un numero infinito di soluzioni classiche che soddisfano le condizioni al bordo x(0) = x e x(t) = x. L integrale funzionale diviene allora una somma di integrali funzionali valutati calcolando le fluttuazioni attorno a ciascuna delle traiettorie classiche. Mostrate che le due espressioni coincidono. Per fare questo dimostrate innanzitutto la formula di Poisson 3 e πimx f(m), () dove n Z f(x + n) = m Z f(m) = f(y)e πimy dy. (3) Quale delle due espressioni per il nucleo di evoluzione è piú utile nel limite R e quale nel limite R 0? Calcolate il nucleo di evoluzione per tempi immaginari. Quale delle due espressioni per il nucleo di evoluzione è piú utile nel limite di bassa temperatura β e quale nel limite di alta temperatura β 0? Mostrate che la relazione di indeterminazione per gli operatori ˆx e ˆp che agiscono su uno spazio di funzioni periodiche è leggermente diversa da quella usuale. 3 Data f(x) considerate g(x) = n Z f(x + n). Per costruzione g(x) è una funzione periodica con periodo e può essere sviluppata in serie di Fourier.

3 . Oscillatore forzato Considerate un oscillatore armonico e calcolate il propagatore di Feynman mostrando che Calcolate anche la funzione di Green ritardata per l operatore L = m ẋ mω x, (4) (t t ) = /h mω e iω t t. (5) d dt + ω, (6) mostrando che G r (t t ) = sin ω(t t ) θ(t t ). (7) ω Utilizziamo ora l integrale di Feynman per calcolare il nucleo di evoluzione di un oscillatore armonico forzato L = m ẋ mω x + j(t)x, (8) dove j(t) è una forza esterna dipendente dal tempo. Cominciamo con il determinare la soluzione classica x(t) delle equazioni del moto che soddisfa le condizioni al bordo La soluzione generale si scrive come x( ) = x a, x(t b ) = x b. (9) x(t) = x 0 (t) + dτg r (t τ) j(τ) m, (0) dove x 0 (t) è una soluzione delle equazioni del moto omogenee (senza il termine forzante j). Imponendo le condizioni al bordo mostrate che 4 x(t) = x ab (t) + dτ sin ω(τ < ) sin ω(τ > t b ) sin ω(t b ) j(τ) m, () dove τ > = max(t, τ), τ < = min(t, τ), (3) 4 Nel calcolo può essere utile l identità trigonometrica sin(α β) sin(γ δ) sin(γ β) sin(α δ) = sin(α γ) sin(β δ). () 3

4 e x ab (t) = sin ω(t b ) [x b sin ω(t ) + x a sin ω(t b t)]. (4) Mostrate che il valore assunto dal funzionale d azione valutato su una soluzione delle equazioni del moto si può scrivere S[x] = m (ẋ(t b)x(t b ) ẋ( )x( )) + Utilizzando la soluzione classica trovata mostrate che S[x] S cl = dτj(τ)x(τ). (5) mω [ ] tb (x sin ω(t b ) a + x b) cos ω(t b ) x a x b + dτx ab (τ)j(τ) mω o in modo equivalente con S[x] S cl = + dτ τ dτ sin ω(t b τ) sin ω(τ ) sin ω(t b ) j(τ)j(τ ), (6) mω [ ] tb (x sin ω(t b ) a + x b) cos ω(t b ) x a x b + dτx ab (τ)j(τ) mω dτ dτ sin ω(τ < ) sin ω(τ > t b ) sin ω(t b ) j(τ)j(τ ), (7) τ > = max(τ, τ ), τ < = min(τ, τ ). (8) Completate il calcolo dell integrale funzionale mostrando che Dx e i /h S mω = πi/h sin ω(t b ) e i /h S cl. (9) Utilizzate questo risultato per mostrare che il funzionale generatore delle funzioni di correlazione dell operatore ˆx(t) Z[j] = N Dx e i /h S+ i /h jx, Z[0] =, (30) nel caso dell oscillatore armonico è Z[j] = e i /h ta dτx ab(τ)j(τ) i m/hω ta dτ τ ta dτ sin ω(t b τ) sin ω(τ ta) sin ω(t b ta) j(τ)j(τ ). (3) Verificate che posto nel limite T si ottiene t b = T ( iɛ), = T ( iɛ), (3) Z[j] = e /h dτ dτ j(τ) (τ τ )j(τ ). (33) 4

5 .3 Diagrammi di Feynman per l oscillatore anarmonico [a] Funzioni di correlazione della teoria libera Considerate la lagrangiana L = m (ẋ ω x ). (34) Calcolate il funzionale generatore delle funzioni di Green Z[j] = N Dx e i /h S+ i /h jx, Z[0] =, (35) mostrando che si ottiene Z[j] = e /h dτ dτ j(τ) (τ τ )j(τ ), (36) dove il propagatore di Feynman è la soluzione dell equazione [ d m dt + ω ] (t t ) = i/hδ(t t ). (37) Mostrate che e nello spazio dell energia con (t t ) = /h mω e iω t t, (38) (k) = /h i m k ω + iɛ, (39) (t) = dk π e ikt (k). (40) Mostrate che si ottiene lo stesso risultato calcolando il prodotto T-ordinato (t t ) = 0 T (x(t )x(t )) 0, (4) dove x(t) denota ora l operatore di posizione nella rappresentazione di Heisenberg. Calcolate W [j], il funzionale generatore delle funzioni di Green connesse Z[j] = e i /h W [j], (4) e l azione effettiva (prestate attenzione ai fattori /h) Γ[x cl ] = W [j] dτj(τ)x cl (τ), x cl (τ) = δw δj(τ). (43) 5

6 [b] Effetto dell interazione sull energia dello stato fondamentale Aggiungiamo ora un termine di interazione L = m (ẋ ω x ) g 4! x4. (44) Scrivete (includendo i fattori /h) le regole di Feynman che permettono di calcolare le funzioni di Green a n-punti, sia nello spazio delle coordinate che dei momenti G n (t, t,..., t n ) = 0 T (x(t )x(t )...x(t n )) 0, n dki G n (k, k,..., k n ) = π eik it i G n (t, t,..., t n ). (45) i= Calcolate la funzione di Green connessa e senza gambe esterne G c 0 fino al secondo ordine in g, tracciando i diagrammi di Feynman corrispondenti (i diagrammi di vuoto connessi) e calcolandone il valore esplicito 5. Conviene effettuare il calcolo nello spazio dei momenti utilizzando la formula dk π (k ω ) = Γ(n /) n i( )n. (46) 4π Γ(n) ωn / Calcolate l energia E 0 dello stato fondamentale utilizzando la formula (diagrammi di vuoto connessi) = i /h E 0T, (47) dove T = πδ(0) è il tempo (infinito) di evoluzione del sistema (ricordate che le funzioni di Green nello spazio dei momenti sono motiplicate da una delta che conserva l energia). [c] Confronto con la teoria delle perturbazioni e il metodo variazionale Calcoliamo ora E 0 utilizzando l usuale teoria delle pertubazioni indipendente dal tempo. Mostrate che la correzione all energia dello stato fondamentale è al secondo ordine in g 0 V n n V 0 E 0 (g) = E V 0 +, (48) E 0 E n dove V = g 4! x4. distruzione n= Esprimete l operatore posizione in termini degli operatori di creazione e x = l /h (a + a ), l = mω, (49) e calcolate E 0 (g). Confrontate il risultato ottenuto con questo metodo con il valore di E 0 (g) ottenuto sommando i diagrammi di Feynman. Stabilite una corrispondenza tra i diagrammi e gli elementi di matrice n V 0 del termine di interazione. 5 Nel determinare i fattori di simmetria ricordate che i diagrammi di vuoto all ordine n vanno moltiplicati per il fattore /n! della serie esponenziale dato che in questo caso le permutazioni dei vertici danno diagrammi equivalenti. 6

7 Come terzo metodo di calcolo utilizzate il metodo variazionale scegliendo come funzione di prova una gaussiana ad un parametro β ψ β (x) =. (50) βx π e Calcolate E 0 (β) ψ β H ψ β e discutete i minimi di questa funzione al variare della costante di accoppiamento g, considerando anche valori negativi. Confrontate i risultati ottenuti con questo metodo con quelli dati dagli altri due. [d] Funzioni a due e quattro punti Scrivete tutti i diagrammi che contribuiscono a G e G 4 fino al secondo ordine, escludendo solo i diagrammi che contengono bolle di vuoto. Scrivete poi i soli diagrammi connessi e determinate il loro fattore di simmetria. Scrivete infine i diagrammi irriducibili ad una particella. [e] Potenziale effettivo ad un loop Il potenziale effettivo è definito nel modo seguente i /h V (x) = n=0 Γ n (0) xn n!, (5) dove Γ n (0) sono i vertici propri ad n-punti con energie entranti nulle (e senza il fattore πδ(0)). Mostrate che solo le funzioni con n pari sono non nulle e che ad un loop ( ) n ( ) n Γ n (0) xn = xn ig i/h dk (n)! n n /h m (k ω ) n = i ) n ω Γ(n /) ( gx, n. (5) 4π Γ(n + ) mω Per ottenere il fattore dovete tenere conto del numero di diagrammi distinti con n vertici n n che danno lo stesso contributo quando valutati con energie entranti nulle. Spiegate perché il diagramma di vuoto del primo ordine in g non contribuisce al potenziale effettivo ad un loop. Risommate la serie e mostrate che 6 [ V one loop (x) = /h ω + gx m ] ω. (54) Al primo ordine in /h il potenziale effettivo per l oscillatore anarmonico è quindi [ V (x) = mω x + g 4! x4 + /h ω + gx m ] ω + O(/h ). (55) 6 Usate la serie + z = 4π n=0 Γ(n /) Γ(n + ) ( z)n. (53) 7