Formalismo della Meccanica Quantistica

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1 Formalismo della Meccanica Quantistica Le funzioni d onda devono appartenere allo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato con L 2 ψ L 2 = ψ( r) 2 d 3 r ψ < () Lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile definisce chiaramente uno spazio lineare ed é completo, cioé ogni funzione puó essere espressa come serie di funzionii a quadrato integrabile. Possiamo definire un prodotto scalare denotato da (, ), che é una corrispondenza tra due elementi di L 2 ed un numero complesso dato da ( denota la funzione complessa coniugata) con le proprietá (ψ, φ) ψ ( r) φ( r) d 3 r (2) (ψ, φ) = (φ, ψ) = (ψ, c φ) = c (ψ, φ) (c ψ, φ) = c (ψ, φ) c C (3) (ψ, c φ + c 2 χ) = (ψ, c φ) + (ψ, c 2 χ) (4) (ψ, ψ) = ψ R ψ 0 ψ = 0 = ψ = 0 (5) Vale la disuguaglianza di Schwartz (φ, ψ) (φ, φ)(ψ, ψ) (6) L uguaglianza vale se e solo se φ ψ. Uno spazio lineare in cui é definito un prodotto scalare, che definisce una metrica rispetto alla quale lo spazio é completo, é chiamato spazio d Hilbert. Uno spazio d Hilbert é di dimensione finita o infinita numerabile se esistono rispettivamente n elementi indipendenti, con n finito o n Z, 2 tale che ogni elemento dello spazio si puó scrivere come Ψ = n c k ψ k c k C (7) k Due elementi dello spazio sono detti ortogonali, spesso indicati con se il loro prodotto scalare é nullo (ψ, φ) = 0 ψ φ (8) Nello spazio delle funzioni differenziabili la derivata di una funzione definisce una corrispondenza che alla funzione ψ(x) associa la funzione dψ(x)/dx = ψ (x). Possiamo dire che l operatore derivata d/dx associa ad ogni funzione ψ(x) una funzione ψ (x). d dx : = ψ(x) ψ (x) (9) Definizione - Un operatore A associa ad un elemento ψ di uno spazio un altro elemento φ. Lo spazio in cui l azione di A é definita si chiama dominio (D) di A e l insieme degli elementi {φ} ottenuti é detto codominio di A. Nel seguito generalmente assumeremo che il dominio ed il codominio coincidono Non entriamo in dettaglio in che senso vale tale uguaglianza (criteri di convergenza della serie). 2 Assumiamo che lo spazio d Hilbert sia separabile, ma anche qui non entriamo nel dettaglio matematico.

2 Definizione - Un operatore A é detto lineare se A(c φ + c 2 χ) = c (Aφ) + c 2 (Aχ) φ, χ D, c, c 2 C (0) Partendo da un insieme di operatori lineari possiamo definire le seguenti operazioni algebriche:. Moltiplicazione per un numero complesso c (ca)ψ c(aψ) () 2. Somma di due operatori S = A + B (definito nel dominio comune ad A e B) Sψ Aψ + Bψ (2) 3. Prodotto di due operatori P = AB (definito nel codominio di B che appartiene al dominio di A) P ψ = ABψ A(Bψ) (3) NOTA - Mentre la somma di due operatori é commutativa, in generale il prodotto é non commutativo AB BA. Definizione - L esponenziale di un operatore é definito dallo sviluppo formale in serie dell esponenziale e A = Theorem Se ψ é autofunzione dell operatore A con autovalore a, allora ψ é autofunzione della funzione F (A) con autovalore F (a). Prova: Supponiamo che ψ sia autofunzione di A con autovalore a, sviluppando F (A) in serie formale di potenze di A, si ha F (A) = c k A k = F (A) ψ = Per esempio calcoliamo il caso in cui F (A) = e A A k k! c k A k ψ = (4) c k a k ψ = F (a) ψ (5) Esempi: e A ψ = A k k! ψ = a k k! ψ = ea ψ (6). calcoliamo l azione dell operatore T = exp a d/dx (a R) T ψ(x) = e a d/dx ψ(x) = a k d k k! (dx) ψ(x) = k a k k! ψ(k) (x) = ψ(x + a) (7) dove abbiamo denotato con ψ (k) (x) la k-ma derivata della funzione e l ultima uguaglianza é stata scritta notando che l espressione ottenuta é lo sviluppo in Taylor intorno al punto x della funzione ψ(x + a). 2

3 2. calcoliamo l azione dell operatore exp iap dove P é l operatore paritá (P ψ(x) = ψ( x)) e iap (ia) k P k ψ(x) = ψ(x) = (ia) k (ia) k ψ(x) + P ψ(x) k! k! k! k=pari k=dispari = ψ(x) cos a + iψ( x) sin a (8) dove abbiamo usato la proprietá P 2 = e lo sviluppo in serie delle funzioni trigonometriche. Se la funzione ψ é autofunzione di P (P ψ(x) = ±ψ(x)), l eq.(8) diventa e iap ψ(x) = ψ(x) cos a ± iψ(x) sin a = e ±ia ψ(x) (9) NOTA - Il prodotto degli esponenziali di due operatori é uguale all esponenziale della somma degli operatori solo e solo se se gli operatori commutano [A, B] = 0 e A e B = e A+B (20) Definizione - L aggiunto di un operatore A definito in uno spazio d Hilbert H, denotato con A, é definito da (ψ, Aφ) = (A ψ, φ) ψ, φ H (2) Definizione - Un operatore A, definito in uno spazio d Hilbert H, é detto autoaggiunto o hermitiano se A = A. 3 Esempio: l operatore differenziale D = id/dx é autoaggiunto (ψ, D ψ) ψ (x)i d ψ(x) dx dx = iψ (x)ψ(x) + ( i d ) dx ψ(x) ψ(x) dx (Dψ, ψ) (22) dove abbiamo integrato per parti e usato la proprietá che la funzione d onda ψ(x) si annulla a ±. Theorem 2 Due operatori A e B che commutano ammettono una base di autostati comuni. Prova - Mostriamo che, se [A, B] = 0, l esistenza di autostati comuni é compatibile. Sia ψ autofunzione dell operatore A con autovalore a ed autofunzione dell operatore B con autovalore b. Per ipotesi si ha quindi A (Bψ) = A bψ = abψ B (Aψ) = B aψ = baψ = [A, B] ψ = (ab ba)ψ = 0 (23) Se [A, B] 0 allora non puó esistere una base comune, ma al piú esiste un autostato comune corrispondente all autovalore nullo di almeno uno dei due operatori. In questo caso si ha infatti [A, B] ψ = 0. Definizione - Un operatore A, il cui spettro non contenga l autovalore nullo é invertibile, cioé esiste l operatore inverso A tale che AA = A A = dove é l operatore identitá. Definizione - Dalle definizione segue immediatamente che, dati due operatori A e B invertibili (AB) = B A (AB) = B A (24) 3 Supponiamo che il dominio e codominio degli operatori siano coincidenti. 3

4 Definizione - Un operatore A é detto unitario se A A = A A = = A = A (25) Gli operatori unitari conservano la norma (Uψ, Uψ) = (ψ, U Uψ) = (ψ, U Uψ) =, (ψ, ψ) (26) Un operatore unitario U si puó scrivere come l esponenziale di un operatore hermitiano A =, A U = e ia = U = ( e ia) = e ia = ( e ia) = e ia (27) Ad ogni osservabile fisica corrisponde un operatore autoaggiunto o hermitiano. Theorem 3 Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali e le autofunzioni corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali. Prova: Supponiamo che ψ sia autofunzione di A 4 con autovalore a, per la proprietá di autoaggiuntezza e per il carattere antilineare del prodotto scalare rispetto al primo termine si ha (ψ, Aψ) = (ψ, aψ) = (Aψ, ψ) = (aψ, ψ) = a(ψ, ψ) = a (ψ, ψ) = a = a (28) Sia φ autofunzione di A con autovalore b a si ha 0 = (φ, Aψ) (Aφ, ψ) = (a b)(φ, ψ) = 0 = (φ, ψ) = 0 (29) Le autofunzioni di un operatore hermitiano soddisfano le proprietá seguenti:. la completezza ψ = n c n ψ n c n = (ψ n, ψ) ψ H (30) Vale l identitá di Parseval c n 2 = (ψ, ψ) (3) n 2. n c n 2 converge a ψ se n c n ψ n, converge in media a ψ 3. ψ = n c n ψ n φ = n d n φ n = (φ, ψ) = n d nc n (32) Theorem 4 Lo scarto quadratico medio di un osservabile é nullo sulle autofunzioni dell osservabile Prova: Per definizione si ha < A n > = (ψ, An ψ) (ψ, ψ) < 2 A > < A 2 > < A > 2 (33) < 2 A > = 0 = < A 2 >=< A > 2 = (ψ, ψ)(ψ, A 2 ψ) = (ψ, ψ)(aψ, Aψ) = (ψ, Aψ) 2 (34) quindi, usando la disuguaglianza di Schwartz, con φ = Aψ, si deduce Aψ = aψ. Osserviamo che : 4 Si dimostra che lo spettro di un operatore autoaggiunto é non vuoto. 4

5 . le autofunzioni dell operatore momento P = i h sono le onde piane non normalizzabili con spettro continuo reale con un opportuna fattore si ha i h x ψ(x) = p x ψ(x) = ψ p (x) = e ±ipxx/ h p x R (35) ψ p (x) = 2π h e ±ipxx/ h = (ψ p (x), ψ p (x)) = δ(p p ) (36) La completezza si scrive dpψ p(x ), ψ p (x) = δ(x x ) (37) ed implica che ψ(x) = dp ϕ(p) 2π h 2π h e ±ipxx/ h (38) quindi, con lo spettro continuo si ha c n ϕ(p) 2π h n dp (39) 2. le autofunzioni dell operatore posizione r sono le funzioni delta La completezza si scrive x ψ(x) = ξ ψ(x) = ψ ξ (x) = δ(x ξ) ξ R (40) dξ ψ ξ (x), ψ ξ (x ) = δ(x x ) (4) (ψ ξ (x), ψ ξ (x)) = dx ψξ(x), ψ ξ (x) = δ(ξ ξ ) (42) ψ(x) = dξ ψ(ξ) ψ ξ (x) (43) 3. nello spazio delle funzioni di x, l operatore x i é la moltiplicazione per x i, nello spazio dei momenti é dato dalla derivata rispetto a p i moltiplicata per i h. Infatti si ha (ψ p, x i ψ p ) = (2π h) 3 e i p x/ h x i e i p x/ h d 3 x = i h p i (2π h) 3 e i p x/ h e i p x/ h d 3 x (44) 4. nello spazio delle funzioni di r, l operatore p i é dato dalla derivata rispetto a x i moltiplicata per i h, mentre nello spazio dei momenti é l operatore moltiplicativo per p i. Infatti si ha (ψ, p i ψ) = ψ ( r) i h ψ( r) d 3 x = x i A ( p) p i A( r)d 3 p (45) 5

6 Operatori e matrici Sia A un operatore con spettro puramente discreto e finito A ϕ k = a k ϕ k k =, 2,..., N (46) Scelta una base di vettori possiamo associare all operatore A una matrice N xn definita da A ij = (ϕ i, Aϕ j ) (47) La matrice A ij, nella base degli autostati di A é chiaramente diagonale e, supponendo gli autostati normalizzati ha la forma A ij = a i δ ij (48) Per esempio nel caso del momento angolare, fissato il valore di l, abbiamo 2l + stati e nella base degli autostati ϕ lm di l 2 e di l z si ha l 2 lm,l m, = h2 l(l + )δ ll δ mm (l z ) lm,l m = h mδ ll δ mm (49) Nella base ϕ lm, l x, l x, l + e l sono chiaramente matrici con elementi nulli fuori diagonale. Siccome [ l 2, l i ] = 0 si ha (l i ) lm,l m = 0 l l. Infatti (ϕ lm, [ l 2, l i ] ϕ l m ) = 0 = (ϕ lm, l 2 l i ϕ l m ) (ϕ lm, l il2 ϕ l m ) = ( h 2 l(l + ) h 2 l (l + )) (ϕ lm, l i ϕ l m ) (50) Esempio: Fissato l = abbiamo l x = h l y = h 0 / 2 0 / 2 0 / 2 0 / i/ 2 0 i/ 2 0 i/ 2 0 i/ Algebra dei commutatori Definiamo commutatore di due operatori, indicato con [, ] la seguente espressione [A, B] AB BA = [B, A] (5) Calcoliamo il commutatore di x i e p j (i, j =, 2, 3, x, x 2, x 3 x, y, z) [ ] ( [x i, p j ] ψ( x) = i h x i, ψ( x) = i h x i ) x i ψ( x) x j x j x j ( ) = i h x i ψ( x) δ ij ψ( x) x i ψ( x)) = i h δ ij ψ( x) (52) x j x j 6

7 La relazione eq.(52) vale per ogni funzione ψ( x), quindi possiamo scrivere una uguaglianza operatoriale [x i, p j ] = i h δ ij (53) Valgono le seguenti identitá Identitá di Jacobi [p i, A] = i h x i A [x i, A] = i h p i A (54) [x i, F ( x)] = 0 [p i, F ( p)] = 0 (55) [x i, F (x j )] = 0 [p i, F (p j )] = 0 (56) [x i, F (x j )] = i h x i F [p i, F (p j )] = i h p i F (57) [A, BC] = [A, B] C + B [A, C] (58) [AB, CD] = A[B, C] D + AC[B, D] + [A, C] BD + C [A, D] B (59) n [A, B n ] = B k [A, B] B n k (60) [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0 (6) Esercizio: Calcolare il commutatore degli operatori: d 2 dx 2 3 Prodotto tensoriale di due Spazi e x k ; x d dx e d2 dx 2. Siano H e H 2 due spazi lineari: Definizione - Lo spazio H prodotto tensoriale (denotato con il simbolo ) degli spazi H e H (H = H H 2 ) é formato dai vettori ψ = ψ ψ 2 ψ ψ 2 = ψ 2 ψ ψ i H i (62) Il prodotto tensoriale é distributivo rispetto alla somma Ψ = aψ + bϕ Ψ ψ 2 = aψ ψ 2 + bϕ ψ 2 (63) Ψ 2 = aψ 2 + bϕ 2 ψ Ψ 2 = aψ ψ 2 + bψ ϕ 2 (64) Le dimensioni di H é il prodotto delle dimensioni di H e H 2. Ad ogni operatore A i definito sullo spazio H i associamo un operatore definito sullo spazio tensore che opera come l operatore A i sul vettore ψ i e come l identitá sull altro spazio: Esempio A ψ = ξ A = A A : Aψ = ξ = ξ ψ 2 (65) Gli operatori nei due spazi commutano tra di loro [A, A 2 ] = 0 (66) Quindi di ha A A 2 ψ = A 2 A ψ = A A 2 ψ ψ 2 = (A ψ )(A 2 ψ 2 ) (67) 7

8 4 Richiami di statistica Definizione -Il momento N-mo di una funzione di distribuzione W (x) é < x N > = x N W (x)dx (68) Definizione - La funzione caratteristica di una funzione di distribuzione W (x) é χ(k) = e ixk W (x)dx (69) χ(k) é la trasformata di Fourier di W (x) ed, in termini dei momenti si scrive χ(k) = n 5 Richiami sulla funzione di Dirac Rappresentazione ( i) n k n < x n > (70) n! La derivata n-ma della funzione δ(x) (δ (n) (x)) é definita da Rappresentazione in tre dimensioni δ(x) = e ikx dk 2π (7) δ(x) f(x) dx = f(0) (72) δ(x x 0 ) dx = (73) δ(x y) δ(y x 0 ) dy = δ(x x 0 ) (74) δ(ax) = δ(x) δ( x) = δ(x) (75) a δ (n) (x) f(x) dx = ( ) n f (n) (0) = ( ) n dn dx n f x x=0 (76) δ (n) (x) = ( ) n δ (n) ( x) (77) δ (x) = δ () (x) = i k e ikx dk 2π (78) δ (x y) δ(y x 0 ) dy = δ (x x 0 ) (79) δ( x) = (2π) 3 δ 3 ( r r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z ) e i k x d 3 k (80) = r 2 δ(r r )δ(cos θ cos θ )δ(ϕ ϕ ) (8) 8