Capitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1

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1 Capitolo 6 Sistemi lineari di equazioni differenziali L integrale generale In questo capitolo utilizzeremo la forma canonica di Jordan per studiare alcuni tipi di equazioni differenziali Un sistema lineare di equazioni differenziali a coefficienti costanti e una scrittura del tipo: ẋ (t) = a x (t) + a x (t) + + a n x n (t) + f (t) ẋ (t) = a x (t) + a x (t) + + a n x n (t) + f (t) ẋ n (t) = a n x (t) + a n x (t) + + a nn x n (t) + f n (t) dove: le a ij rappresentano dei numeri costanti reali, detti i coefficienti del sistema; le f i (t) : I R sono funzioni reali (o anche complesse) di una variabile reale t, dette i termini noti del sistema (tali funzioni sono definite e continue in un dato intervallo I, che generalmente sara tutto R); le x i (t) sono dette le incognite del sistema Possiamo semplificare la scrittura precedente nel seguente modo Poniamo f(t) := (f (t),, f n (t)) T, x(t) := (x (t),, x n (t)) T, ẋ(t) := (ẋ (t),, ẋ n (t)) T, ed A := (a ij ) Allora possiamo rappresentare un sistema lineare di equazioni differenziali a coefficienti costanti sotto la seguente forma: () ẋ(t) = A x(t) + f(t) Si definisce soluzione del sistema di equazioni differenziali () una n-pla di funzioni di variabile reale y(t) := (y (t),, y n (t)) T, y i (t) : I R, definite in I ed ivi derivabili, tali che sostituendo le funzioni y i (t) ai simboli x i (t), sia soddisfatto il sistema (), cioe per ogni t I accade che ẏ(t) = A y(t) + f(t) (il puntino sta per derivata rispetto alla variabile t ) Esempio La funzione vettoriale y(t) := ( e3t 9 t 3 9,, ) e una soluzione del sistema ẋ (t) = 3x (t) + t ẋ (t) = x (t) + ẋ 3 (t) = x (t) + x 3 (t) Fissato un istante t I (che generalmente sara t = ) ed un vettore costante c R n, una scrittura del tipo () { ẋ(t) = A x(t) + f(t) x(t ) = c Ultimo aggiornamento: dicembre

2 dicesi problema di Cauchy Una soluzione di tale problema () e una soluzione y(t) del problema () che in piu soddisfa la condizione iniziale y(t ) = c Vale il seguente importante teorema: Teorema di esistenza ed unicita Assegnato un problema di Cauchy, esso ammette un unica soluzione Esempio La funzione vettoriale y(t) := ( e3t 9 t 3 9,, ) e l unica soluzione del problema di Cauchy: ẋ (t) = 3x (t) + t ẋ (t) = x (t) + ẋ 3 (t) = x (t) + x 3 (t) x() = (,, ) T Esempio 3 La funzione identicamente nulla y(t) e l unica soluzione del problema di Cauchy: { ẋ(t) = A x(t) x() = Consideriamo nuovamente il sistema () L equazione: (3) ẋ(t) = A x(t) si dice equazione omogenea associata alla () Sia V l insieme delle soluzioni di (3), definite nell intervallo I Se y(t) e z(t) sono due soluzioni di (3) e c e uno scalare, allora y(t) + z(t) e c y(t) sono ancora soluzioni dell equazione omogenea In altre parole V ha una naturale struttura di spazio vettoriale Come conseguenza del Teorema di esistenza ed unicita possiamo provare che V ha dimensione n, dove n e l ordine della matrice A Infatti consideriamo un vettore c in R n, e sia y(t) l unica soluzione di (3) che soddisfa la condizione iniziale y() = c Risulta pertanto ben definita l applicazione ψ : c R n y(t) V L applicazione ψ e biiettiva ed e lineare Ne risulta che V e isomorfo ad R n e quindi V ha dimensione n La funzione ψ dicesi integrale generale dell equazione omogenea (3) Un altro modo di presentare l integrale generale e il seguente Detta {y (t),, y n (t)} una base per V allora ogni altra soluzione y(t) di (3) si scrive come combinazione lineare (4) y(t) = c y (t) + c y (t) + + c n y n (t), c i R

3 Anche la scrittura (4) prende il nome di integrale generale di (3) Si osservi che le funzioni y i (t) si possono ottenere risolvendo, per ogni i =,, n, il problema di Cauchy { ẋ(t) = A x(t) x() = e i dove e i denota l i-esimo vettore canonico di R n Tale base, ottenuta in corrispondenza della base canonica di R n, sara ancora chiamata base canonica di V Con la scelta della base canonica per V, la soluzione y(t) che appare nella (4) assume all istante iniziale proprio il valore c = (c, c,, c n ), cioe y() coincide con le coordinate di y(t) rispetto alla base canonica di V Ritornando al problema (), sia u(t) una qualunque soluzione di () Si puo provare che tutte e sole le soluzioni del problema () si ottengono sommando ad u(t) le soluzioni dell equazione omogenea associata (3) Per cui l integrale generale del problema () assume la forma: (5) y(t) = u(t) + c y (t) + c y (t) + + c n y n (t), c i R In altre parole per determinare tutte e sole le soluzioni di () occorre conoscerne almeno una, tutte le altre si ottengono sommando a questa le soluzioni dell equazione omogenea associata (3) Come nel caso omogeneo, se si sceglie u(t) la soluzione che vale all istante iniziale e la base canonica di V, allora nell integrale generale (5) y() coincide con le coordinate di y(t) u(t) rispetto alla base canonica di V Per risolvere esplicitamente l equazione (), cioe per trovare l integrale generale, si possono usare due metodi: la forma canonica di Jordan, oppure la Trasformata di Laplace Cominceremo a vedere come si usa la forma canonica Occorrono delle premesse Esponenziale di una matrice Sia A una matrice quadrata di ordine n Cosi come si puo definire l esponenziale di un numero, cosi si puo anche definire l esponenziale di una matrice Ricordiamo che se a e un numero complesso si ha e a := + h= a h h! := + a! + a! + + ah h! + In modo analogo, per ogni intero h, consideriamo la seguente matrice somma parziale S(h) := I + A! + A! + + Ah h! Si ottiene una successione di matrici {S(h)} h, ciascuna delle quali quadrata con entrate S(h) = (s ij (h)) Si puo provare che per ogni i, j la successione numerica {s ij (h)} h converge ad un certo numero σ ij La matrice che cosi si forma si chiama esponenziale della matrice A e si pone e A := (σ ij ) In altri termini si ha: 3 e A := + h= A h h! := I + A! + A! + + Ah h! +

4 4 Ora andiamo a vedere come si calcola esplicitamente l esponenziale di una matrice A, utilizzando la forma canonica Poiche saremo interessati a matrici del tipo ta (cioe a matrici moltiplicate per un parametro t), calcoleremo l esponenziale della matrice ta (che si riduce all esponenziale di A per t = ) In tale contesto si usa mettere lo scalare t a destra, cioe scriveremo At invece di ta Sia J la forma canonica di Jordan di A Sappiamo allora che esiste qualche matrice invertibile P tale che A = P JP Quindi (6) e At = + h= A h t h h! = + h= (P JP ) h t h h! ( + ) J h t h = P P = P e Jt P h! Tale formula ci mostra che per calcolare l esponenziale di At e sufficiente conoscere una base a stringhe per A (cioe le colonne della matrice P ), e saper calcolare l esponenziale di una matrice del tipo Jt, dove J e una matrice a blocchi di Jordan Nei capitoli precedenti abbiamo imparato come si calcola P Ci rimane solo da vedere come si calcola e Jt Innanzitutto osserviamo che se J,, J k sono i blocchi di Jordan con cui e costituita J allora dalla stessa definizione di matrice esponenziale segue che: (7) e Jt = e J t e J t In altre parole la matrice esponenziale e Jt, con J matrice a blocchi di Jordan, e una matrice a blocchi, con blocchi dati dalle matrici esponenziali dei blocchi di Jt Quindi per calcolare e Jt ci si puo ricondurre al caso in cui J sia un singolo blocco di Jordan Supponiamo allora che J = λi + N sia un blocco di Jordan di ordine p con autovalore λ Qui N rappresenta il blocco di Jordan relativo all autovalore Si puo provare che, poiche λi ed N commutano, allora e Jt = e Iλt e N (in generale vale la seguente proprieta : se AB = BA allora e A+B = e A e B ) Poiche e Iλt e la matrice diagonale con e λt sulla diagonale principale, allora e Jt = e λt e Nt Quindi per calcolare e Jt e sufficiente saper calcolare e Nt Ma N e nilpotente con indice di nilpotenza p, per cui h= e J kt e Nt = I + Nt + N t! + + N p t p (p )! Questa matrice si calcola facilmente (si vedano gli esempi dopo), e cio conclude il calcolo esplicito della matrice esponenziale tramite la forma canonica di Jordan

5 Esempio 4 Facciamo degli esempi su come si calcola l esponenziale di un singolo blocco (nel caso di una matrice qualsiasi occorrera tener presente le formule (6) e (7)) [ ] λ e λ t [ ] [ ] = e λt t e λt te = λt e λt ; λ λ t e λ = e λt t t t = eλt te λt t eλt e λt te λt ; e λt λ λ t t λ t t 3 e λt te λt t 6 eλt t3 6 eλt e λ = e λt t t t = e λt te λt t eλt e λt te λt e λt In generale, se J e il blocco di Jordan di ordine p relativo all autovalore λ, e Jt e quella matrice quadrata di ordine p che sulla diagonale a j, a j,, a p j+,p ha tutte le entrate λt tj uguali a e (j )! Esempio 5 Calcoliamo l esponenziale della matrice At, dove A := 3 Una base a stringhe per A e formata dai vettori S := {(,, ), (,, ), (,, )} Quindi A = P JP, dove P e la matrice che ha per colonne i vettori di S, e J e la matrice a blocchi di Jordan: J := 3 5 In base alle formule (6) e (7) precedenti possiamo dire che: e At = P e Jt P = e3t e t te t = e3t e t e t te t e t 3 Calcolo esplicito dell integrale generale

6 6 Ritornando ai sistemi di equazioni differenziali, andiamo a vedere come si applicano le considerazioni precedenti sull esponenziale per il calcolo esplicito dell integrale generale A tale proposito vale il seguente teorema: Teorema Il problema di Cauchy { ẋ(t) = A x(t) x() = c ammette come unica soluzione la funzione y(t) = e At c In particolare la base canonica per lo spazio delle soluzioni dell equazione omogenea ẋ(t) = A x(t) e data dalle colonne della matrice e At Inoltre la soluzione particolare u(t) dell equazione ẋ(t) = A x(t) + f(t) soddisfacente la condizione iniziale u() = e data dalla formula (8) u(t) = t e A(t s) f(s)ds Vediamo con degli esempi come si applica questo teorema Esempio 6 Calcoliamo l integrale generale dell equazione ẋ = 3x + t ẋ = x + ẋ 3 = x + x 3, cioe dell equazione ẋ(t) = 3 x(t) + t Dal Teorema e dall esempio precedente segue che l integrale generale dell equazione omogenea associata e y(t) = c e3t + c e t + c 3 te t e t Poi sappiamo anche (dalla (8)) che la soluzione particolare u(t) si puo calcolare nel seguente modo: t t u(t) = e A(t s) f(s)ds = e3(t s) e t s s ds (t s)e t s e t s

7 = t t se3(t s) e t s se3(t s) ds e 3t ds = t 9 (t s)e t s et s ds = t 3 9 e t t (t s)et s ds e t + te t 7 In conclusione l integrale generale dell equazione assegnata e y(t) = e 3t 9 t 3 9 e t e t + te t + c e3t + c e t + c 3 te t e t Esempio 7 Risolviamo il seguente problema di Cauchy: ẋ = 3x + t x () = (9) ẋ = x + x () = ẋ 3 = x + x 3, x 3 () = Nell esempio precedente abbiamo calcolato l integrale generale, esplicitato tramite la base canonica dell equazione omogenea associata, e la soluzione particolare u(t) con u() = Sappiamo che in tal caso la soluzione del problema di Cauchy assegnato si ottiene ponendo nell integrale generale (c, c, c 3 ) = (,, ) Quindi il problema assegnato ammette la soluzione y(t) = 9 e3t 3 t 9 e t te t + Possiamo anche verificare che il risultato e esatto Infatti y() = (,, ) T, ed inoltre si ha: ẏ(t) = y (t) 3 e3t 3 y (t) = e t = 3 9 e3t 3 t 9 e t + t, y 3 (t) (t + )e t te t + cioe y(t) soddisfa la (9) Esempio 8 Calcolare l integrale generale del sistema: { ẋ = 4y ẏ = x Il polinomio caratteristico della matrice A del sistema e t +4 = (t i)(t+i) Quindi A e diagonalizzabile ed una base di autovettori e formata dai vettori (i, ), (i, ) Pertanto, tenuto conto delle formule di Eulero, abbiamo: e At = i 4 [ ] [ ] i i e ti e ti [ ] [ i cos t sen t = i sen t cos t ]

8 8 Quindi l integrale generale richiesto e : [ ] [ ] x(t) cos t = c y(t) sen t [ ] sen t + c cos t Esempio 9 Risolvere il seguente problema di Cauchy: { ẋ = 4y ẏ = x { x() = y() = Possiamo mettere c = e c = nell integrale generale calcolato nell esempio precedente La soluzione cercata e : [ ] [ ] x(t) cos t + sen t = y(t) sen t cos t Esempio Risolvere il seguente problema di Cauchy: ẋ = 3x x () = ẋ = x + 3x 3 x () = ẋ 3 = x x 3 () = Svolgimento La soluzione cercata e y(t) = e At, cioe e la terza colonna della matrice e At, dove A e la matrice dei coefficienti del sistema assegnato: A = 3 3 Una base a stringhe per A e data dalle colonne della matrice P = 3 E si ha P AP = J :=

9 9 Quindi e At = P e Jt P = 3 t t t 3 3 = t 9 + 3t t t 3t t t 3 t In conclusione la soluzione del problema di Cauchy assegnato e y(t) = y 9 (t) y (t) = t 3t y 3 (t) 3 t Osservazione Ci sono altri tipi di equazioni differenziali il cui studio puo essere ricondotto ad un sistema lineare di equazioni differenziali Per esempio, consideriamo il caso di una equazione differenziale lineare del tipo normale di ordine n a coefficienti costanti del tipo: con condizione iniziale x (n) = a x + a ẋ + a 3 ẍ a n x (n ) + f, x() = c, ẋ() = c,, x (n ) () = c n In questo caso l incognita e una funzione reale di una variabile reale x = x(t) La soluzione del problema precedente coincide con la prima componente y (t) della soluzione y(t) del problema di Cauchy rappresentato dal seguente sistema lineare: ẋ = x ẋ = x 3 ẋ n = x n ẋ n = a x + a x + a 3 x a n x n + f x() = (c, c,, c n ) T Per esempio la generica soluzione x = x(t) del problema ẍ + aẋ + bx = f coincide con la prima componente y (t) della generica soluzione del problema { ẋ = x ẋ = bx ax + f,

10 cioe del problema [ ] ẋ(t) = x(t) + b a [ ] f(t) Si noti che il polinomio caratteristico p(t) della matrice dei coefficienti di questo sistema e p(t) = t + at + b Similmente, la generica soluzione x = x(t) del problema x + aẍ + bẋ + cx = f coincide con la prima componente y (t) della generica soluzione del problema ẋ(t) = x(t) + c b a f(t) ed il polinomio caratteristico p(t) della matrice dei coefficienti di questo sistema e p(t) = t 3 + at + bt + c, 4 Cenni sull uso della Trasformata di Laplace per risolvere i sistemi di equazioni differenziali Per risolvere un problema di Cauchy si puo anche utilizzare la Trasformata di Laplace Vediamo come si fa A tale proposito consideriamo il problema di Cauchy: { ẋ(t) = A x(t) + f(t) x() = c Applicando ad entrambi i membri la trasformazione di Laplace L otteniamo: sx(s) c = AX(s) + F(s), dove con X(s) e F(s) abbiamo denotato le trasformate di x(t) e di f(t) Si deduce la seguente formula: X(s) = (si A) (c + F(s)) che riconduce il calcolo della trasformata di Laplace della soluzione x(t) che stiamo cercando, ad un calcolo algebrico Ad esempio, nel caso omogeneo (cioe quando f(t) = ) per conoscere X(s) e sufficiente calcolare la matrice inversa (si A), che in generale si presenta come una matrice con entrate funzioni razionali di s (cioe rapporti di polinomi nella variabile s) Una volta calcolata X(s), per conoscere la soluzione del problema di Cauchy x(t) occorre calcolare l antitrasformata di X(s): x(t) = L [X(s)]

11 Chiaramente e qui che si incontrano le maggiori difficolta nei calcoli Esempio Come esempio, riprendiamo il seguente problema di Cauchy, che abbiamo gia risolto utilizzando l esponenziale di una matrice, e vediamo come si risolve utilizzando la Trasformata di Laplace: Abbiamo appena visto che ẋ = 3x + t ẋ = x + ẋ 3 = x + x 3, X(s) = s s 3 s = s 3 s s x () = x () = x 3 () = + + L t s s = s + s (s 3) s+ s(s ) s + s(s ) Adesso per calcolare la soluzione cercata x(t) occorre antitrasformare le entrate di X(s), cioe occorre calcolare ( ) s + L s + s x(t) = L (s 3) s (s 3) ( ) s+ s(s ) = L s+ s(s ) ( s + s(s ) L s + s(s ) ) Sospendiamo momentaneamente lo svolgimento dell esempio, che riprenderemo tra poco, per vedere come si calcola in generale l antitrasformata di una funzione razionale Tale calcolo si basa sulle seguenti osservazioni Innanzitutto ricordiamo che e nota l antitrasformata di una funzione razionale semplice, cioe del tipo (s λ) n+, dove n e un intero e λ C (una tale funzione e detta anche fratto semplice) Infatti si ha la seguente formula: ( () L (s λ) n+ ) = tn n! eλt L altra osservazione consiste nella seguente proposizione che consente di ricondurre una qualunque funzione razionale ad una somma di fratti semplici

12 Proposizione Siano P (s) e Q(s) polinomi non nulli Supponiamo che il grado di P (s) sia strettamente minore del grado di Q(s) Sia Q(s) = c(s λ ) m (s λ h ) m h la fattorizzazione di Q(s) in polinomi lineari Allora esistono m +m + +m h costanti opportune a,, a m, a,, a m,, a h,, a hmh tali che valga la seguente uguaglianza: P (s) Q(s) = a s λ + a (s λ ) + + a m (s λ ) m + + a h s λ h + + a hmh (s λ h ) m h L espressione precedente e detta anche decomposizione in fratti semplici di P (s) Q(s) Inoltre si osservi che l ipotesi sui gradi di P (s) e Q(s) e sempre soddisfatta nel caso dei sistemi di equazioni differenziali, come andremo ora a vedere Esempio Infatti riprendiamo l esempio precedente Cominciamo col calcolare ( s L ) + s (s 3) Per fare cio innanzitutto decomponiamo in fratti sempilci la frazione assegnata, cioe cerchiamo costanti A, B, C tali che s + s (s 3) = A s + B s + Sommando le frazioni al secondo membro otteniamo: C s 3 s + s (s 3) = (A + C)s + (B 3A)s 3B s (s 3) Le due frazioni hanno lo stesso denominatore Quindi la loro uguaglianza equivale all uguaglianza dei rispettivi numeratori, cioe al fatto che s + = (A + C)s + (B 3A)s 3B Ricordando che due polinomi sono uguali se e solo se sono uguali i rispettivi coefficienti, l uguaglianza precedente equivale alle seguenti condizioni: A + C = 3A + B = 3B =

13 Questo sistema lineare consente di calcolare le costanti Si trova cosi che A = 9, B = 3 e C = 9 Quindi resta calcolata la decomposizione in fratti semplici: s + s (s 3) = /9 + /3 s s + /9 s 3 Ora tenuto conto della linearita dell antitrasformata e della formula () siamo in grado di calcolare la prima componente x (t) di x(t), che e : ( s x (t) = L ) ( + /9 s = L + /3 (s 3) s s + /9 ) s 3 = 9 L ( s ) 3 L ( s ) In modo analogo si calcolano x (t) ed x 3 (t), trovando: x(t) = + ( ) 9 L = s 3 9 t e3t 9 e3t 3 t 9 e t, te t + che e la stessa soluzione che avevamo trovato in precedenza utilizzando l esponenziale di una matrice Esempio 3 Calcoliamo l integrale generale dell equazione ẋ(t) = [ ] [ ] t x(t) + 3 utilizzando la Trasformata di Laplace Per fare cio osserviamo che l integrale generale puo essere visto come la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale generica x() = (c, c ) T Per cui passando alla trasformata di Laplace abbiamo: X(s) = ( si [ ]) ([ ] [ ]) [ ] [ s c s ] + = s + c 3 c s 3 c = [ c s 3 (s ) + s 3 s (s ) + c (s ) s (s ) c (s ) + c s (s ) Ora occorre antitrasformare Cominciamo con la prima componente: ( x (t) = L s 3 c (s ) + s 3 s (s ) + c ] ) (s ) ( ) ( ) ( ) s 3 s 3 = c L (s ) + L s (s ) + c L (s ) 3

14 4 ( ) ( ) s 3 s 3 = c L (s ) + L s (s ) + c te t Per calcolare la decomposizione in fratti semplici di Quindi deve essere s 3 (s ) = A s + cioe { A = s 3 (s ) B (s ) s 3 As + B A = (s ) (s ) A + B = 3 Deduciamo A = e B =, cioe s 3 (s ) = s + (s ) poniamo: da cui ( ) s 3 c L ( (s ) = c e t te t) = c ( t)e t Similmente si vede che ( ) s 3 L s (s ) = ( + 3t + (t )e t ) 4 Raccogliendo i calcoli abbiamo: x (t) = ( + 3t + (t )e t ) + c ( t)e t + c te t 4 In modo analogo si calcola x (t) = ( + t + (t )e t ) c te t + c (t + )e t 4 In conclusione l integrale generale cercato e : [ ] [ ( x (t) ) ] ] [ x(t) = = 4 + 3t + (t )e t ( x (t) ) + t + (t )e t + c 4 + c [ ( t)e t te t te t (t + )e t Si osservi che l integrale generale appare come la somma dell integrale particolare [ ( ) ] u(t) = 4 + 3t + (t )e t ( ) + t + (t )e t 4 verificante la condizione iniziale u() =, con l integrale generale dell equazione omogenea associata [ ] [ ] ( t)e t te y(t) = c te t + c t (t + )e t ] Bibilografia consigliata per questo capitolo: Salsa-Squellati, Esercizi di Analisi, Ed Zanichelli