2.1 Esponenziale di matrici

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1 ¾ ½ º¼ º¾¼½ Queste note (attualmente e probabilmente per un bel po sono altamente provvisorie e (molto probabilmente non prive di errori Esponenziale di matrici Esercizio : Data la matrice λ A λ calcolare exp(a Dalla definizione dell esponenziale di matrice abbiamo Anzitutto osserviamo che exp(a +A+ A A k λ k λ k + da cui otteniamo immediatamente che ( +λ exp(a + λ + λ3 3! + +λ + λ e λ e λ Esercizio : Data la matrice calcolare exp(a A λ λ + λ3 3! +

2 Esercitazione Iniziamo a calcolare qualche potenza di A A λ λ A 3 λ 3 λ 3 e ci rendiamo facilmente conto che ( A k ( k λ k ( k λ k A k+ ( k+ λ k+ ( k+ λ k+ da cui otteniamo immediatamente che λ exp(a + λ4 4! + λ+ λ3 3! + λ λ3 3! + λ + λ4 4! + cosλ sinλ sinλ cosλ Osservazione Come faccio a calcolare facilmente l esponenziale di una matrice A? La risposta è semplice: se A PDP allora exp(a P exp(dp Quindi se l esponenziale della matrice D è semplice da calcolare otteniamo facilmente anche l esponenziale della matrice A In particolare se la matrice è diagonalizabile l unica cosa da fare è calcolare autovalori ed autovettori della matrice A l esponenziale exp(d è la parte più semplice! Esercizio 3: Determinare la soluzione del sistema di equazioni differenziali (ẋ x x ẏ y L equazione per gli autovalori della matrice associata al sistema è data da ( λ da cui otteniamo immediatamente gli autovalori λ λ 3 Osservazione Come utile controllo verificare sempre che y TrA λ +λ deta λ λ Consideriamo l autovalore λ e calcoliamo l autovettore associato ( v x v y ( v ( Consideriamo l autovalore λ 3 e calcoliamo l autovettore associato ( v x v y ( v (

3 Dunque le matrici P e P sono date da P P e vale l eguaglianza Dunque abbiamo A P P 3 e t exp(ta P e 3t P e t +e 3t e t e 3t e t e 3t e t +e 3t e la soluzione con dato iniziale (x y è data da x exp(ta ( e t +e 3t e t e 3t y e t e 3t e t +e 3t 3e t e 3t 3e t +e 3t Esercizio 4: Data la matrice A λ λ calcolare exp(ta Questa è la forma del blocco di Jordan ( utile nel caso di matrici non diagonalizzabili Anzitutto osserviamo che possiamo scrivere A λ+n N e che ovviamente ed N sono due matrici che commutano! Possiamo quindi scrivere exp(ta exp(tλexp(tn e λt exp(tn L osservazione fondamentale a questo punto è che N da cui segue immediatamente che exp(tn +tn Otteniamo quindi Esercizio 5: Data la matrice e λt te exp(ta λt e λt A 3

4 4 Esercitazione calcolare exp(ta L equazione per gli autovalori della matrice A è data da ( λ(3 λ+ da cui otteniamo immediatamente gli autovalori λ λ Calcoliamo l autovettore associato ( v x v y ( v ( Osservazione L autovalore ha molteplicità algebrica e molteplicità geometrica La matrice non è quindi diagonalizzabile ma possiamo ridurla alla forma canonica di Jordan Per calcolare la matrice invertibile che mi permette di scrivere A PDP D dobbiamo calcolare l autovettore generalizzato La prima colonna della matrice P e costituita dall autovettore appena calcolato per la seconda colonna dobbiamo risolvere il sistema ( Abbiamo quindi ottenuto ( v ( x v ( y A PDP P ( v ( x v ( y v ( D da cui segue immediatamente ( te t te exp(ta t te t (+te t Esercizio 6: Data la matrice A a b b a calcolare exp(ta Anzitutto osserviamo che possiamo scrivere A a+bj J e che ovviamente ed J sono due matrici che commutano! Possiamo quindi scrivere exp(ta exp(atexp(btj e at exp(btj

5 Il calcolo di exp(btj è banale (si veda l Esercizio cosbt sinbt exp(btj sinbt cosbt da cui otteniamo exp(ta e ta cosbt sinbt sinbt cosbt Osservazione Confrontare la soluzione appena ottenuta con l operatore esponenziale di matrici con la discussione relativa ai punti di centro e fuoco nelle note del Prof Giorgilli (sezione 34 Esercizio 7: Data la matrice A calcolare exp(ta L equazione per gli autovalori della matrice A è data da λ( λ+ da cui otteniamo immediatamente gli autovalori λ +i λ i Consideriamo l autovalore λ +i e calcoliamo l autovettore associato i ( v x i v y ( v ( i La utovalore relativo a λ i sarà il complesso coniugato di v ( v ( +i Volendo restare nel campo dei reali consideriamo le componenti reali e complesse di autovalori ed autovettori u λ +λ w ( v( +v ( È ora banale osservare che da cui segue immediatamente che u λ λ i w ( v( v ( i A(w ( +iw ( (u +iu (w ( +iw ( A PBP P B

6 6 Esercitazione Possiamo quindi scrivere ( exp(ta P exp(tbp e t cost+sint sint Esercizio 8: Data la matrice A calcolare exp(ta Esercizio 9: Data la matrice A 3 3 sint cost sint calcolare exp(ta Esercizio : Dato il sistema x y 3 5 x y z 4 z x y z calcolare la soluzione con l esponenziale di matrice Esercizio : Data la matrice A calcolare exp(a Forma canonica di Jordan Come fare se A non è diagonalizzabile? Questo argomento viene trattato in ogni corso di algebra lineare (o nel corrispondente corso dal nome più o meno esotico in cui vengono affrontate le applicazioni lineari e la loro rappresentazione matriciale quindi non troverete qui alcun teorema o spiegazione teorica solamente uno schema banale per il calcolo dei cosiddetti autovettori generalizzati Osservazione Ogni matrice A Mat(n n R può essere trasformata nella corrispondente forma canonica di Jordan con una trasformazione lineare invertibile In formule P AP J J diag(j J m

7 con λ i λ J i i J i Mat(n i n i C λ i blocco di Jordan di dimensione n i ed autovalore λ i (n n +n m Osservazione Poichè abbiamo considerato una matrice A a coefficienti reali consideriamo nel seguito solamente il caso di autovalori reali Nel caso di un autovalore non reale possiamo sempre ricondurci ad un blocco di Jordan reale con una piccola modifica (si veda l Esercizio 5 Questo caso è lasciato per esercizio essendo una piccola variazione sul tema Osservazione Se A è diagonalizzabile allora J è una matrice diagonale i cui blocchi J i hanno dimensione n i ; La forma canonica di Jordan è unica (a meno di permutazioni dei blocchi; 3 Allo stesso autovalore possono corrispondere più blocchi Va bene ma come calcolare la matrice P? Anzitutto osserviamo che la dimensione del nucleo dell applicazione (A λ corrisponde al numero dei blocchi di Jordan con autovalore λ Inoltre vale la relazione dim N (A λ k λ i λmin(kn i dunque siamo anche in grado di determinare le dimensioni dei blocchi di Jordan A questo punto sappiamo determinare la forma canonica di Jordan associata ad una matrice A passiamo alla matrice di trasformazione Vogliamo che valga la seguente equazione Esprimiamo P come allora deve valere Sia ora segue che P AP J diag(j J m P (P P m P i Mat(nn i R AT i T i J i T i (v i v i v ini Av i λ i v i ovvero la prima colonna è un autovettore associato a λ i Per j n i invece abbiamo Av ij v ij +λ i v ij

8 8 Esercitazione che possiamo riscrivere nella forma (A λ i v ij v ij I vettori v i v ini sono i cosiddetti autovettori generalizzati