I numeri sulla Mole Antonelliana.

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1 I numeri sulla Mole Antonelliana. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. I voli dei numeri Ecco i numeri sulla Mole:,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33, 377, 6, 987, dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due che lo precedono. Ad esempio Se si e capito tutto fin qui, il lettore non dovrebbe trovare difficolta a calcolare qual e il numero che segue dopo 987. (Risposta: 97). Nota Storica:Questa serie di numeri e nota come serie di numeri di Fibonacci in onore a Leonardo da Pisa, conosciuto col nome paterno di figlio Bonacci, cioe Fibonacci (detto anche Bigollo), che verso il 3 ha studiato questa succesione di numeri a proposito del seguente problema sulla riproduzione dei conigli: Quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un altra coppia ogni mese e che le coppie piu giovani siano in grado di riprodursi gia al secondo mese di vita? La soluzione al problema studiato da Fibonacci e 377, cioe dopo un anno ci sono 377 coppie di conigli. Infatti, F n F F F F 3 F 4 F F 6 F 7 F 8 F 9 F F F mese coppie Dove F n sodisfa F n F n + F n se n Numeri di Fibonacci Geometria

2 e { F, La formula di Binet. F. Problem.. Quanto grande e F?. Ad esempio, se ci chiediamo se F e minore o maggiore di 8, qual e la risposta giusta?? Per rispondere a questa domanda, ci servirebbe (forse) una formula per calcolare l n-esimo numero F n. Certamente il lettore informato sa che questa formula esiste ed e conosciuta con il nome di formula di Binet (ca. 843), ma era gia conosciuta da Eulero e Daniele Bernoulli (ver Eccola qui, ( F n ) n ( + 3 ) n Notiamo che questa identita e ben lontana dall essere evidente o banale. Ad esempio, come spiegare la radice di, che non e un numero intero? (Ricordate che F n e un numero intero, in quanto rappresenta il numero di coppie di conigli...). Quindi, se la formula e giusta ci sono delle semplificazioni misteriose... Esercizio : Verificare che, effettivamente, la formula di Binet funziona per n e n. Di solito, si dimostra la formula di Binet a partire dal principio di induzione, cioe : Esercizio : Dimostrare usando il principio di induzione che la formula di Binet funziona per ogni n. Ma la dimostrazione per induzione non ci aiuta a capire l origine di questa bellissima formula; allora come e nata questa formula?. In seguito il lettore trovera una possibile risposta (tra altre possibili) tramite i concetti di Autovalori ed Autovettori. Prima di lasciare questa parte risolviamo il Problema. usando il fatto che (grazie alla Formula di Binet...): ( F n ) n ( ) n 3, 78 Numeri di Fibonacci Geometria

3 dove +3, 78 che riccorda l anno di nascita di Eulero, cioe Allora, F ( ) 3 (( 3 ) ) > > > Dunque F e maggiore di 8. Con i logaritmi si vede che in realta F ne ha piu di venti cifre, cioe F o( ). Fibonacci e matrici Osserviamo che l equazione equivale al sistema: F n F n + F n { Fn F n + G n G n F n Come gia sappiamo, possiamo scrivere questo sistema tramite matrici, vettori colonna e prodotti fra loro, cioe Fn Fn G n G n Fn Allora la colonna C n risulta da quella C G n tramite la moltiplicazione per n la matrice A. Quindi possiamo scrivere: Siccome C n A C n risulta: A C n C n A C n A A C n A C n C n Dunque applicando reiteratamente questa idea si ottiene: dove C F G. A n C C n Quindi risulta che dobbiamo calcolare la potenza n di una matrice A, cioe n dobbiamo calcolare Numeri di Fibonacci 3 Geometria

4 Calcolo della potenza n-esima di una matrice Se una matrice D e diagonale, ad esempio D e molto facile calcolare D 3 n. Infatti, D n n 3 n e non ci sono problemi. λ λ Piu in generale se D allora D β n n β n Quindi non ci sono problemi per calcolare D n se D e diagonale. Un altro caso dove e facile calcolare la potenza n-essima di A e quando possiamo scrivere la matrice A come: A MDM dove la D e una matrice diagonale e la matrice M e arbitraria (ma ovviamente invertibile, visto che l equazione contiene M ). Nota.. Se queste due matrici D e M esistono si dice che la matrice A e diagonalizzabile. Osservare che questo e equivalente a: M AM D Vediamo perche e facile calcolare A n quando A e diagonalizzabile. Infatti, A n MDM MDM MDM MDM MDM }{{} n volte M DDD }{{ DD} M MD n M n volte poiche i fattori MM si elidono, per definizione di inversa. Dunque, se conosciamo D n e M possiamo calcolare A n senza problema. non e diagonalizzabile. Non e vero che esistono sempre M e D, ad esempio la matrice A Numeri di Fibonacci 4 Geometria

5 Diagonalizzando Fibonacci n Allora per il calcolo di sarebbe ideale trovare una matrice diagonale D e una matrice invertibile M tale che: MDM Come trovare M e D? L idea e assumere che M e D esistano e cercare di trovarli tramite qualche trucchetto... Notiamo che l equazione precedente implica: M MD. Se ricordiamo come si ricava il prodotto tra matrici notiamo che, poiche D e diagonale, le colonne M ed M della M, soddisfano a: M λm e M βm λ dove D, che pero non conosciamo, cioe conoscendo D sarebbe facile β calcolare M risolvendo i seguenti sistemi (equivalenti alle equazioni di sopra) per le colonne M e M della M : λ λ M β β M Quest ultimo sistema e molto interessante perche ci dice che le colonne M,M sono soluzioni di un sistema omogeneo. Ricordo inoltre che vogliamo che M (la stessa cosa per M ) sia una colonna di una matrice invertibile, dunque M. Questo ci forza a prendere λ (e pure β ) uguale ad una radice del determinante della Numeri di Fibonacci Geometria

6 λ matrice λ e solo se:, cioe questo sistema omogeneo ha delle soluzioni non banali se, λ det( λ ) λ λ Da dove λ ±, questi numeri sono i cosidetti numeri d oro (vedere Livio per delle interessanti proprieta di questi numeri). Nota.3. Nel linguaggio dell Algebra lineare i numeri ± si chiamano autovalori della matrice. Piu in generale, data una matrice A si calcola il polinomio P (λ) det(a λid) che si chiama polinomio caratteristico. Le radici di P (λ) si chiamano autovalori. + Dunque possiamo prendere D uguale a. Adesso non e difficile trovare le colonne M e M della matrice M, cioe queste colonne sono soluzioni dei sistemi omogeni le cui matrici sono: Possiamo allora prendere M e M Nota.4. Nel linguaggio dell Algebra lineare si dice che le colonne M e M sono due autovettori della matrice. Piu in generale, una soluzione x (cioe, x non nullo) del sistema omogeneo la cui matrice e A λid, dove λ e un autovalore di A si chiama autovettore di A. Storicamente il polinomio caratteristico nasce con il lavoro di Luigi Lagrange su le perturbazioni secolari delle orbite planetarie vicine alle orbite di Keplero. Dunque, la equazione det(a λid) era chiamata equazione secolare Arnold, pag.4. Ancora oggi in Astronomia, Fisica e Chimica questa equazioni si la conosce come equazione secolare McSi.. Numeri di Fibonacci 6 Geometria

7 Quindi abbiamo ottenuto cio che volevamo, cioe L inversa Finalmente, + + e Dunque n + ( + ) n ( ) n Per trovare F n dobbiamo quindi calcolare, ricordiamo, cioe Fn G n + ( + ) n ( ) n + n + Fn G n + ( + ) n ( ) n L ultima moltiplicazione fornisce, Fn G n 3+ ( + 3+ ( + dunque abbiamo il risultato finale, cioe ( F n + 3 ) n ) n + 3 ( ) n ( ) n + ) n ( + 3 ) n Siccome < risulta per n la seguente approssimazione: F n, 78 φ n ( + ) n ( ) n ( + ) n ( ) n 3+ 3 Numeri di Fibonacci 7 Geometria

8 REFERENCES Geometria. dove φ, 689 e la sezione aurea aurea. Ad esempio, F, 78 φ 377,... che fa vedere la bonta della approssimazione!! References Arnold Livio McSi Arnold, V.I.: Lectures on Partial Differential Equations, Springer Universitext 4. Livio, M.: La sezione aurea - Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Traduzione di Stefano Galli, Rizzoli, Prima edizione: 3. McQuarrie, D.A. and Simon, J.D.: CHIMICA FISICA Un approcio molecolare, Trad. di M. Roncaglia, revisione di C. Galli. Ed. Zanichelli,. Numeri di Fibonacci 8 Geometria