Spirali. Novembre Spirali Novembre / 19

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1 Spirali Novembre 2013 Spirali Novembre / 19

2 ;-) Spirali Novembre / 19

3 La spirale è uno dei simboli più antichi e più estesi che si conoscono. Modena Spirali Novembre / 19

4 La spirale è uno dei simboli più antichi e più estesi che si conoscono. Nonostante non c è un consenso totale, si pensa che molto probabilmente fosse un simbolo primitivo per il sole, e che rappresentasse la ciclicità: l alba i el tramonto, la nascita e la morte,... Modena Spirali Novembre / 19

5 La spirale è uno dei simboli più antichi e più estesi che si conoscono. Nonostante non c è un consenso totale, si pensa che molto probabilmente fosse un simbolo primitivo per il sole, e che rappresentasse la ciclicità: l alba i el tramonto, la nascita e la morte,... Forse è per questo che si trova en molte tombe. Modena Spirali Novembre / 19

6 Necropoli di Noeddale, Ossi Spirali Novembre / 19

7 Esposizione del problema Il problema che vogliamo studiare a continuazione è il calcolo della lunghezza di una spirale come quella della prossima pagina. Spirali Novembre / 19

8 Esposizione del problema Il problema che vogliamo studiare a continuazione è il calcolo della lunghezza di una spirale come quella della prossima pagina. Prima di tutto dobbiamo capire come è stata costruita questa spirale. Spirali Novembre / 19

9 Esposizione del problema Il problema che vogliamo studiare a continuazione è il calcolo della lunghezza di una spirale come quella della prossima pagina. Prima di tutto dobbiamo capire come è stata costruita questa spirale. La curva è fatta di tanti archi di circonferenza. Spirali Novembre / 19

10 Esposizione del problema Il problema che vogliamo studiare a continuazione è il calcolo della lunghezza di una spirale come quella della prossima pagina. Prima di tutto dobbiamo capire come è stata costruita questa spirale. La curva è fatta di tanti archi di circonferenza. Notiamo che nel centro c è un quadrato. (Supporremo che il quadrato ha 1cm di lato.) Spirali Novembre / 19

11 Esposizione del problema Il problema che vogliamo studiare a continuazione è il calcolo della lunghezza di una spirale come quella della prossima pagina. Prima di tutto dobbiamo capire come è stata costruita questa spirale. La curva è fatta di tanti archi di circonferenza. Notiamo che nel centro c è un quadrato. (Supporremo che il quadrato ha 1cm di lato.) Infatti, tutto inizia con questo quadrato centrale. Spirali Novembre / 19

12 Spirale su un quadrato Spirali Novembre / 19

13 Spirale su un quadrato Andiamo avanti per vedere la costruzione della spirale sul quadrato... Spirali Novembre / 19

14 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Spirali Novembre / 19

15 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Spirali Novembre / 19

16 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Spirali Novembre / 19

17 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Spirali Novembre / 19

18 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Spirali Novembre / 19

19 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Spirali Novembre / 19

20 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Spirali Novembre / 19

21 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

22 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

23 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

24 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

25 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

26 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

27 Costruzione della spirale su un quadrato Iniziamo con un quadrato (supponiamo di lato 1cm). Disegniamo quattro semirette determinate dal quadrato. Prendiamo centro e raggio come si indica nella figura e disegniamo un quarto di circonferenza. Prendiamo come centro il vertice successivo, e il raggio adeguato affinché la curva sia continua. Ripetiamo il processo, sempre con centro il vertice successivo... Spirali Novembre / 19

28 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: Spirali Novembre / 19

29 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: l = 2π r, laddove π è un numero che approssimativamente vale Spirali Novembre / 19

30 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: l = 2π r, laddove π è un numero che approssimativamente vale Quindi un quarto di circonferenza di raggio r avrà lunghezza 1 2π r. 4 Spirali Novembre / 19

31 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: l = 2π r, laddove π è un numero che approssimativamente vale Quindi un quarto di circonferenza di raggio r avrà lunghezza 1 2π r. 4 Osserviamo che i raggi che usiamo nella costruzione crescono sempre di un centimetro, perché il lato del quadrato è giustamente 1cm. Spirali Novembre / 19

32 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: l = 2π r, laddove π è un numero che approssimativamente vale Quindi un quarto di circonferenza di raggio r avrà lunghezza 1 2π r. 4 Osserviamo che i raggi che usiamo nella costruzione crescono sempre di un centimetro, perché il lato del quadrato è giustamente 1cm. Cioè, il primo raggio è 1cm, il secondo 2cm, il terzo 3cm, il quarto 4cm,... Spirali Novembre / 19

33 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: l = 2π r, laddove π è un numero che approssimativamente vale Quindi un quarto di circonferenza di raggio r avrà lunghezza 1 2π r. 4 Osserviamo che i raggi che usiamo nella costruzione crescono sempre di un centimetro, perché il lato del quadrato è giustamente 1cm. Cioè, il primo raggio è 1cm, il secondo 2cm, il terzo 3cm, il quarto 4cm,... Quindi la lunghezza della spirale dopo il primo giro sarà: l 1 = 1 4 2π π π π 4. 4 Spirali Novembre / 19

34 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Innanzitutto, ricordiamoci della formula che ci da la lunghezza di una circonferenza di raggio r: l = 2π r, laddove π è un numero che approssimativamente vale Quindi un quarto di circonferenza di raggio r avrà lunghezza 1 2π r. 4 Osserviamo che i raggi che usiamo nella costruzione crescono sempre di un centimetro, perché il lato del quadrato è giustamente 1cm. Cioè, il primo raggio è 1cm, il secondo 2cm, il terzo 3cm, il quarto 4cm,... Quindi la lunghezza della spirale dopo il primo giro sarà: l 1 = 1 4 2π π π π 4. 4 E prendendo 1 2π fattore comune, lo possiamo scrivere così: 4 l 1 = 1 2π ( ). 4 Spirali Novembre / 19

35 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Ragionando nella stessa maniera, la lunghezza della spirale nel secondo giro sarà: l 2 = 1 2π( ). 4 Spirali Novembre / 19

36 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Ragionando nella stessa maniera, la lunghezza della spirale nel secondo giro sarà: l 2 = 1 2π( ). 4 E nel terzo giro: l 2 = 1 2π( ). 4 Spirali Novembre / 19

37 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Ragionando nella stessa maniera, la lunghezza della spirale nel secondo giro sarà: l 2 = 1 2π( ). 4 E nel terzo giro: l 2 = 1 2π( ). 4 Vediamo già una regolarità? Spirali Novembre / 19

38 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Ragionando nella stessa maniera, la lunghezza della spirale nel secondo giro sarà: l 2 = 1 2π( ). 4 E nel terzo giro: l 2 = 1 2π( ). 4 Vediamo già una regolarità? Infatti, nel giro n la lunghezza della spirale sarà: l n = 1 2π( n). 4 Spirali Novembre / 19

39 Calcolo della lunghezza della spirale sul quadrato Ragionando nella stessa maniera, la lunghezza della spirale nel secondo giro sarà: l 2 = 1 2π( ). 4 E nel terzo giro: l 2 = 1 2π( ). 4 Vediamo già una regolarità? Infatti, nel giro n la lunghezza della spirale sarà: l n = 1 2π( n). 4 Allora, tutto si riduce a saper calcolare la somma s n = n per un n arbitrario. Spirali Novembre / 19

40 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Spirali Novembre / 19

41 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Spirali Novembre / 19

42 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Spirali Novembre / 19

43 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Spirali Novembre / 19

44 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Spirali Novembre / 19

45 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Spirali Novembre / 19

46 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Sono quindi i numeri: 1, 3, 6, 10, 15, 21,... Spirali Novembre / 19

47 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Sono quindi i numeri: 1, 3, 6, 10, 15, 21,... Guardando la figura, notiamo che il numero nel posto n della successione si ottiene aggiungendo n al numero precedente. Spirali Novembre / 19

48 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Sono quindi i numeri: 1, 3, 6, 10, 15, 21,... Guardando la figura, notiamo che il numero nel posto n della successione si ottiene aggiungendo n al numero precedente. Cioè, i numeri triangolari sono: 1, 1 + 2, , , , ,... Spirali Novembre / 19

49 I numeri triangolari I numeri triangolari si conoscono dall antichità. Sono i numeri che si costruiscono, successivamente, in questo modo: Sono quindi i numeri: 1, 3, 6, 10, 15, 21,... Guardando la figura, notiamo che il numero nel posto n della successione si ottiene aggiungendo n al numero precedente. Cioè, i numeri triangolari sono: 1, 1 + 2, , , , ,... Quello che stiamo cercando (e l unico che ci manca per dare la nostra formula della lunghezza della spirale) è una formula per calcolare questi numeri triangolari. Spirali Novembre / 19

50 La soluzione la otterremo con un ragionamento ingegnoso, ma non molto complicato: Spirali Novembre / 19

51 La soluzione la otterremo con un ragionamento ingegnoso, ma non molto complicato: Diciamo che la nostra somma sia s n = (n 1) + n. Spirali Novembre / 19

52 La soluzione la otterremo con un ragionamento ingegnoso, ma non molto complicato: Diciamo che la nostra somma sia s n = (n 1) + n. Allora, sommando verticalmente otteniamo: s n = n 1 + n s n = n + (n 1) + (n 2) s n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) Spirali Novembre / 19

53 La soluzione la otterremo con un ragionamento ingegnoso, ma non molto complicato: Diciamo che la nostra somma sia s n = (n 1) + n. Allora, sommando verticalmente otteniamo: s n = n 1 + n s n = n + (n 1) + (n 2) s n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) Cioè, 2s n = n (n + 1). Quindi: s n = n(n + 1). Eccola qua! 2 Spirali Novembre / 19

54 La soluzione la otterremo con un ragionamento ingegnoso, ma non molto complicato: Diciamo che la nostra somma sia s n = (n 1) + n. Allora, sommando verticalmente otteniamo: s n = n 1 + n s n = n + (n 1) + (n 2) s n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) n(n + 1) Cioè, 2s n = n (n + 1). Quindi: s n =. Eccola qua! 2 Ricordiamo la formula della lunghezza della spirale nel giro n: l n = 1 4 2π ( n) = 1 4 2π s 4n = 1 4 4n(4n + 1) 2π. 2 Spirali Novembre / 19

55 La soluzione la otterremo con un ragionamento ingegnoso, ma non molto complicato: Diciamo che la nostra somma sia s n = (n 1) + n. Allora, sommando verticalmente otteniamo: s n = n 1 + n s n = n + (n 1) + (n 2) s n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) n(n + 1) Cioè, 2s n = n (n + 1). Quindi: s n =. Eccola qua! 2 Ricordiamo la formula della lunghezza della spirale nel giro n: l n = 1 4 2π ( n) = 1 4 2π s 4n = 1 4 4n(4n + 1) 2π. 2 Simplificando, ci rimane: l n = n(4n + 1)π cm. Spirali Novembre / 19

56 Altre spirali simili Il fatto di cominciare con un quadrato non è essenziale per il problema, nel senso che avremmo potuto cominciare con un triangolo o un pentagono,... Spirali Novembre / 19

57 Altre spirali simili Il fatto di cominciare con un quadrato non è essenziale per il problema, nel senso che avremmo potuto cominciare con un triangolo o un pentagono,... Sarebbe un buon esercizio riprendere i calcoli iniziando con un triangolo, o un altro poligono regolare e comparare i risultati. Spirali Novembre / 19

58 Altre spirali simili Il fatto di cominciare con un quadrato non è essenziale per il problema, nel senso che avremmo potuto cominciare con un triangolo o un pentagono,... Sarebbe un buon esercizio riprendere i calcoli iniziando con un triangolo, o un altro poligono regolare e comparare i risultati. Ci saranno cose che cambieranno, ad esempio, se iniziamo con un triangolo, i pezzi di curva saranno archi equivalenti a terzi di circonferenza; se iniziamo con un pentagono, gli archi saranno quinti di circonferenza,... Ma ci saranno anche altri calcoli identici. Spirali Novembre / 19

59 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

60 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

61 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

62 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

63 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

64 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

65 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

66 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

67 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

68 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

69 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

70 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

71 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

72 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

73 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

74 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

75 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

76 La spirale aurea Spirali Novembre / 19

77 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Spirali Novembre / 19

78 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Si inizia con un quadrato, e si vanno aggiungendo d altri quadrati affianco e di maniera ordinata, girando nel senso antiorario. Spirali Novembre / 19

79 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Si inizia con un quadrato, e si vanno aggiungendo d altri quadrati affianco e di maniera ordinata, girando nel senso antiorario. Si disegnano quarti di circonferenza, seguendo la figura dei quadrati. Spirali Novembre / 19

80 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Si inizia con un quadrato, e si vanno aggiungendo d altri quadrati affianco e di maniera ordinata, girando nel senso antiorario. Si disegnano quarti di circonferenza, seguendo la figura dei quadrati. Come crescono i raggi di questi archi? Spirali Novembre / 19

81 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Si inizia con un quadrato, e si vanno aggiungendo d altri quadrati affianco e di maniera ordinata, girando nel senso antiorario. Si disegnano quarti di circonferenza, seguendo la figura dei quadrati. Come crescono i raggi di questi archi? Guardando la figura, notiamo che il raggio di ogni arco e uguale al lato del quadrato corrispondente. Spirali Novembre / 19

82 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Si inizia con un quadrato, e si vanno aggiungendo d altri quadrati affianco e di maniera ordinata, girando nel senso antiorario. Si disegnano quarti di circonferenza, seguendo la figura dei quadrati. Come crescono i raggi di questi archi? Guardando la figura, notiamo che il raggio di ogni arco e uguale al lato del quadrato corrispondente. Anche guardando la figura, notiamo che il lato di ogni quadrato è la somma dei lati dei due quadrati precedenti, e i due primi quadrati sono uguali. Spirali Novembre / 19

83 Costruzione della spirale aurea Come si costruisce la spirale aurea? Si inizia con un quadrato, e si vanno aggiungendo d altri quadrati affianco e di maniera ordinata, girando nel senso antiorario. Si disegnano quarti di circonferenza, seguendo la figura dei quadrati. Come crescono i raggi di questi archi? Guardando la figura, notiamo che il raggio di ogni arco e uguale al lato del quadrato corrispondente. Anche guardando la figura, notiamo che il lato di ogni quadrato è la somma dei lati dei due quadrati precedenti, e i due primi quadrati sono uguali. Allora, questi raggi sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Spirali Novembre / 19

84 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Spirali Novembre / 19

85 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo ( ), matematico noto anche come Fibonacci, scrisse il Liber abbaci, opera con la quale introdusse per la prima volta in Europa le nove cifre indiane (1, 2,..., 9) e il segno 0 che in latino è chiamato zephirus, adattamento dell arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine indiano śūnya, che significa vuoto. Spirali Novembre / 19

86 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo ( ), matematico noto anche come Fibonacci, scrisse il Liber abbaci, opera con la quale introdusse per la prima volta in Europa le nove cifre indiane (1, 2,..., 9) e il segno 0 che in latino è chiamato zephirus, adattamento dell arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine indiano śūnya, che significa vuoto. In uno dei problemi del suo libro appare questa successione: F 1 = 1 F 2 = 1 F 3 = 2 F 4 = 3 F 5 = 5 F 6 = 8... Spirali Novembre / 19

87 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo ( ), matematico noto anche come Fibonacci, scrisse il Liber abbaci, opera con la quale introdusse per la prima volta in Europa le nove cifre indiane (1, 2,..., 9) e il segno 0 che in latino è chiamato zephirus, adattamento dell arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine indiano śūnya, che significa vuoto. In uno dei problemi del suo libro appare questa successione: Notiamo che ogni numero della successione è la somma dei F 1 = 1 due precedenti: F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2. F 3 = 2 F 4 = 3 F 5 = 5 F 6 = 8... Spirali Novembre / 19

88 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo ( ), matematico noto anche come Fibonacci, scrisse il Liber abbaci, opera con la quale introdusse per la prima volta in Europa le nove cifre indiane (1, 2,..., 9) e il segno 0 che in latino è chiamato zephirus, adattamento dell arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine indiano śūnya, che significa vuoto. In uno dei problemi del suo libro appare questa successione: Notiamo che ogni numero della successione è la somma dei F 1 = 1 due precedenti: F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2. F 3 = 2 Questa successione, e molte costruzioni che si derivano, si F 4 = 3 ritrovano molto spesso nella natura. F 5 = 5 F 6 = 8... Spirali Novembre / 19

89 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo ( ), matematico noto anche come Fibonacci, scrisse il Liber abbaci, opera con la quale introdusse per la prima volta in Europa le nove cifre indiane (1, 2,..., 9) e il segno 0 che in latino è chiamato zephirus, adattamento dell arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine indiano śūnya, che significa vuoto. In uno dei problemi del suo libro appare questa successione: Notiamo che ogni numero della successione è la somma dei F 1 = 1 due precedenti: F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2. F 3 = 2 Questa successione, e molte costruzioni che si derivano, si F 4 = 3 ritrovano molto spesso nella natura. F 5 = 5 F 6 = 8... Domanda: Calcolate il valore decimale delle frazioni per valori ogni volta più grandi. F n F n 1 Spirali Novembre / 19

90 La successione di Fibonacci Questa successione numerica che abbiamo appena ottenuta si conosce con il nome di successione di Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo ( ), matematico noto anche come Fibonacci, scrisse il Liber abbaci, opera con la quale introdusse per la prima volta in Europa le nove cifre indiane (1, 2,..., 9) e il segno 0 che in latino è chiamato zephirus, adattamento dell arabo sifr, ripreso a sua volta dal termine indiano śūnya, che significa vuoto. In uno dei problemi del suo libro appare questa successione: Notiamo che ogni numero della successione è la somma dei F 1 = 1 due precedenti: F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2. F 3 = 2 Questa successione, e molte costruzioni che si derivano, si F 4 = 3 ritrovano molto spesso nella natura. F 5 = 5 F 6 = 8... Domanda: Calcolate il valore decimale delle frazioni per valori ogni volta più grandi. Cosa osservate? F n F n 1 Spirali Novembre / 19

91 Spirali Novembre / 19

92 Spirali e fiori 21 spirali in blu e 13 in celeste! Due numeri consecutivi della successione di Fibonacci. Spirali Novembre / 19

93 Nautilus vs. la spirale aurea Spirali Novembre / 19

94 Nautilus vs. la spirale aurea Spirali Novembre / 19

95 Nautilus vs. la spirale aurea Infatti, la spirale del Nautilus non è esattamente la spirale aurea che noi abbiamo visto, ma è un altra molto simile. Spirali Novembre / 19