MISURA SPERIMENTALE DELLA CIRCONFERENZA E DELL AREA DEL CERCHIO

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1 MISURA SPERIMENTALE DELLA CIRCONFERENZA E DELL AREA DEL CERCHIO Nella circonferenza, l inizio e la fine coincidono Eraclito La rettificazione della circonferenza è stato un argomento che ha interessato molto i matematici dell antichità. Rettificare una circonferenza significa determinare con il solo ausilio di riga e compasso un segmento la cui lunghezza sia uguale a quella della circonferenza. E orami noto che il problema è impossibile a causa della trascendenza di π. La rettificazione della circonferenza si basa sul seguente teorema: La circonferenza rettificata è l'unico segmento maggiore del perimetro di un qualunque poligono regolare inscritto nella circonferenza e minore del perimetro di un qualunque poligono regolare circoscritto. In altri termini la lunghezza della circonferenza è l'estremo superiore dell'insieme dei perimetri dei poligoni regolari inscritti e l'estremo inferiore dell'insieme dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti e il teorema precedente afferma che questi due estremi coincidono. I matematici dell antichità osservarono manualmente che il rapporto fra la lunghezza (l) di una circonferenza e il suo diametro (d) era una costante:, o. L osservazione ci dice che il rapporto è un numero fisso. Molti matematici hanno speso gran parte delle loro energie per calcolare il valore di tale rapporto, cioè di π, con la maggiore precisione possibile. I Babilonesi lo approssimavano a 3, ma un risultato più accurato venne trovato da Archimede, che giunse a stabilirlo con un errore di appena due millesimi. Il numero π, all inizio, non si chiamava così. Molti matematici erano soliti usare questo simbolo per indicarlo, ma si giunse al nome ufficiale solo nel 1706, quando Willimam Jones lo definì con la prima lettera della parola periferia, che in greco si scrive περιφρεια. In seguito, Leonhard Euler, che prima aveva utilizzato la c e poi la p, si decise ad utilizzare definitivamente il simbolo π, che iniziò ad avere una inarrestabile diffusione. L idea di Archimede fu di approssimare la lunghezza della circonferenza tramite il perimetro di poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza. Noi abbiamo provato a riprodurre 6 poligoni regolari inscritti nella medesima circonferenza ed abbiamo constato che via via che il numero dei poligoni cresce, il perimetro del poligono regolare inscritto si avvicina alla lunghezza della circonferenza per difetto.

2 Come primo passo abbiamo disegnato con il compasso una circonferenza di raggio 14 cm; all interno abbiamo costruito il triangolo equilatero.

3 Successivamente abbiamo costruito il quadrato inscritto.

4 Poi il pentagono regolare inscritto.

5 L esagono regolare inscritto.

6 L ottagono regolare inscritto.

7 Ed infine il dodecagono regolare inscritto

8 Dall ultima immagine possiamo constatare, con l ausilio di una riga, che i perimetri dei poligoni approssimano sempre più la misura della circonferenza. Abbiamo indicato la misura del diametro (il primo filo in basso a sinistra) e poi via via la misura del perimetro del triangolo, del quadrato, del pentagono, dell esagono, dell ottagono e del dodecagono regolari inscritti, infine in rosso abbiamo rappresentato la circonferenza circoscritta.

9 Il pannello completo è il seguente:

10 Anche il problema del calcolo dell area può essere affrontato utilizzando la stessa idea. Al crescere del numero dei lati le aree dei poligoni approssimano sempre meglio l area del cerchio. Noi abbiamo ritagliato le figure inscritte e le abbiamo sovrapposte, partendo dall alto prima il triangolo, poi il quadrato e a seguire il pentagono, l esagono, l ottagono ed il dodecagono e possiamo constatare che il poligono con più lati (in questo caso il dodecagono) approssima meglio degli altri l area del cerchio.