Un approccio sperimentale

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1 Un approccio sperimentale Si potrebbe misurare l'area di un cerchio pesando con una bilancia di precisione un cerchio di ugual dimensione ritagliato da un foglio di spessore costante e materiale omogeneo. Il risultato di questo procedimento potrebbe essere poi confrontato con il peso di un quadrato, ritagliato dal medesimo foglio, il cui lato sia lungo quanto il raggio del cerchio considerato. Le coppie di valori (peso del quadrato, peso del cerchio) misurate per fogli di vario spessore e materiale (come linoleum, compensato, cartone pressato, plexiglas) evidenziano la relazione lineare che li lega (basti rappresentarle come punti di un grafico. Una media dei rapporti tra i pesi misurati per queste due figure costituisce inoltre una stima del valore della costante.

2 La quadratura del cerchio per la prima volta in un testo egiziano datato attorno al 1650 a.c., detto Papiro di Rhind, dove lo scriba Ahmes propose una stima del valore della costante!, fissandola uguale a 256 / 81 (circa ). Togli 1 / 9 ad un diametro e costruisci un quadrato sulla parte che ne rimane; questo quadrato ha la stessa area del cerchio.

3 Nel 434 a.c., il filosofo greco Anassagora di Clazomene si pose l'obiettivo di risolvere lo stesso problema usando solo riga e compasso. Lo stesso tentativo fu fatto da nel 430 a.c. da Antifonte il sofista e Brisone di Eraclea che inventarono il metodo di esaustione, consistente nell'inscrivere nel cerchio poligoni con un numero sempre più elevato di lati. Contemporaneamente Ippocrate di Chio dimostrò la proporzionalità tra l'area del cerchio ed il quadrato del raggio. La dimostrazione di questa stessa proprietà riportata negli Elementi di Euclide, anch'essa basata sul metodo di esaustione, è attribuita a Eudosso di Cnido ( a.c.).

4 Archimede ( a.c.) si dedicò al problema in questione nel libro La misura del cerchio, enunciando i seguenti teoremi: Il cerchio è equivalente ad un triangolo che ha per base la lunghezza della circonferenza e per altezza il raggio. Il cerchio è equivalente approssimativamente a 11 / 14 di un quadrato che ha come lato il diametro del cerchio. La lunghezza della circonferenza è compresa tra / 7 e / 71 volte il diametro. La stima della costante! fatta da Archimede per calcolarel'area del cerchio è dunque pari a 22 / 7 (circa ). Il procedimento utilizzato da Archimede combina al metodo di esaustione quello di compressione, consistente nel circoscrivere al cerchio poligoni con un numero sempre più elevato di lati.

5 - Liu Hui (Cina) che nel 263 d.c.!= (approssimato a 157 / 50 =3.14) - Zu Chongzhi (Cina) V sec d.c. l'intervallo compreso fra e e l'approssimazione razionale 355 / 113 -Ghyath ad-din Jamshid Kashani (Iran ) lprime 9 cifre in base 60 di!, equivalenti a 16 cifre in base decimale - Ludolph van Ceulen (Germania), 1610 le prime 35 cifre - Jurij Vega (Slovenia) 136 cifre nel George Reitwiesner, John von Neumann e Nicholas Constantine Metropolis (USA 1948) per 70 ore l'eniac, il primo computer elettronico 2037 cifre determinate - Yasumasa Kanada (Giappone 2002) per 600 ore un supercomputer parallelo della Hitachi con 64 nodi ed un terabyte di memoria centrale: cifre (oltre 1200 miliardi).

6 Qual è 'l geometra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige Dante, Paradiso XXXIII Johann Heinrich Lambert, 1761 dimostra l'irrazionalità di questa costante, cioè l'impossibilità di esprimerla come un rapporto di interi; Ferdinand von Lindemann, 1882 dimostra trascendenza di!, cioè il fatto che questa costante non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali e non appartiene dunque al campo dei numeri costruibili con riga e compasso.

7 Variante del metodo di Archimede Assegnata una qualunque circonferenza di raggio r, si considerano dunque coppie di poligoni regolari con un ugual numero n di lati, di cui uno inscritto e l'altro circoscritto ad essa, scelti in modo tale che ogni lato di quello inscritto sia parallelo al lato corrispondente di quello circoscritto.

8 I poligoni costituenti ognuna di queste coppie vengono suddivisi in un numero n di triangoli uguali tra loro, ognuno dei quali con un vertice nel centro della circonferenza e gli altri due vertici coincidenti con altrettanti vertici consecutivi del poligono suddiviso.

9 poligono inscritto: base PQ di lunghezza b altezza OM di lunghezza h poligono circoscritto base RS di lunghezza b' ed altezza ON di lunghezza h'. condividono l"angolo al centro della circonferenza POQ = ROS di misura #, valore che dipende da n secondo la formula: 2!/n (n>2) b=2rsin(#/2) h=rcos(#/2) S=nbh/2=nr 2 sin(!/n)cos(!/n) b"=2rtan(#/2) h"=r S"=nb"h"/2=nr 2 tan(!/n) S<=A<=S"

10 S<=A<=S" nr 2 sin(!/n)cos(!/n)<=a<= nr 2 tan(!/n) Da cui si deduce che A, fissato n, proporzionale a r 2 è direttamente cioè A=kr 2 Chiamiamo la costante k! Come possiamo determinare il valore di!?