La matematica e la scienza nelle bolle

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1 MATEMATICA TRASPARENTE COME BOLLE DI SAPONE Un percorso didattico-sperimentale per le scuole secondarie di primo grado Relatore I. Tamanini Laureanda Silvia Dirupo La matematica e la scienza nelle bolle Nel capitolo 1: bolle di sapone Utilizzo delle proporzioni per calcolare la giusta quantità di detersivo da immettere nell acqua; Composizione chimico-fisica dell acqua saponosa; Tensione superficiale; Proprietà isoperimetrica del cerchio; Proprietà dei poligoni regolari. 1

2 Nel capitolo 2: lamine di sapone Concetto intuitivo di curvatura e studio delle selle; Simmetrie dei telai. Nel capitolo 3: 3 percorsi minimi Studio del cammino più breve che collega due punti del piano; Studio del cammino più breve che collega tre punti del piano; Prima legge di Plateau; Studio del cammino più breve che collega quattro punti del piano. 2

3 Nel capitolo 4: i poliedri Studio della sfera: perché le bolle sono sferiche? Studio del tetraedro; Seconda legge di Plateau; Studio del cubo. Tematiche che affronterò: Caratteristiche dei poligoni regolari e del cerchio; Percorsi minimi. 3

4 Caratteristiche dei poligoni regolari e del cerchio Partiamo da alcune semplici esperienze: 1. Anello con filo di cotone: che succede se scoppiamo una parte di lamina? 4

5 2. Rettangolo con bastoncini e filo: 3. Telaio circolare con filo a forma di cappio 5

6 tensione superficiale Ma perché si formano in tutti questi esperimenti archi di circonferenza e nell ultimo proprio una circonferenza? La risposta sta nella geometria piana: Proviamo a costruire, con perimetro fisso di 12 cm,, le seguenti figure e poi calcoliamo l area: l Quadrato: l=3 cm area: l²=9 cm²; Rettangolo: b=5 cm, h=1 cm area: bh=5 cm²; 6

7 Triangolo rettangolo: b=3 cm, h=4 cm, i=5 cm area: (bh)/ 2= 6 cm²; Cerchio: C=12 cm, r= C/2 = 1,9 cm² area: r²= 11,5 cm². proprietà isoperimetrica del cerchio: il cerchio è la figura geometrica che consente, a parità di perimetro, di racchiudere al suo interno l area l massima. Allo stesso modo, con un po di calcoli, si può vedere che fra tutti i rettangoli, triangoli o in generale poligoni con lo stesso numero di lati, aventi medesimo perimetro, i poligoni regolari hanno sempre area maggiore: Fra i rettangoli: il quadrato ha area maggiore; TEOREMA: Fra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato ha l area massima

8 Fra i triangoli: il triangolo equilatero ha area maggiore; TEOREMA: Fra tutti i triangoli di ugual perimetro, quello regolare, ossia il triangolo equilatero, ha l area massima. E il cerchio, fra tutte le figure piane, contiene l area massima. Percorsi minimi 8

9 Percorso minimo fra due punti: È chiaro che risulta essere il SEGMENTO. Percorso minimo fra tre punti: l=8 cm percorso: 24 cm; h= 6,9 cm percorso: 14,9 cm; a= 4,7 cm percorso: 14,1 cm. 9

10 Immergiamo la coppia di lastrine di plexiglass a tre pioli nell acqua saponosa e verifichiamo: PRIMA LEGGE DI PLATEAU: Le lamine di sapone possono incontrarsi soltanto a gruppi di tre lungo uno spigolo liquido, formando angoli uguali di 120. Percorso minimo fra quattro punti: l=8 cm percorso: 32 cm; l=8 cm percorso: 24 cm; d=11,3 cm percorso: 22,6 cm; a= 4,6 cm b= 3,4 cm percorso: 21,8 cm. 10

11 Immergiamo la coppia di lastrine con quattro pioli posti ai vertici di un quadrato: Ci sono due punti di diramazione che soddisfano la prima legge di Plateau. Esiste un un altra soluzione simmetrica a quella in foto ruotata di Percorso minimo fra cinque punti: Percorso minimo fra sei punti: 11

12 Per concludere diamo due nuove lastre: 1. Lastra a forma di T, cioè con tre pioli ai vertici di un triangolo equilatero, e il quinto fissato al piede dell altezza. Che lamina si formerà? 2. Lastra a forma di rombo, con quattro pioli fissato ai vertici del rombo e il quinto fissato nell incrocio fra le due diagonali. Che lamina si formerà? 12