Considerazioni sull uso del compasso per l acquisizione di concetti geometrici di Luciano Porta

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1 Considerazioni sull uso del compasso per l acquisizione di concetti geometrici di Luciano Porta Il compasso non è soltanto uno strumento per il disegno tecnico, ma è, se usato consapevolmente, uno strumento essenziale per acquisire importanti concetti geometrici. Per comprendere meglio come funziona ricorriamo al compasso piano (FIG. 1) che possiamo facilmente costruire con un asticella sottile di legno o con un rettangolo sottile e allungato di cartone: a un estremità dell asticella di legno o del rettangolo di cartone piantiamo una puntina che penetra nel foglio appoggiato su uno strato di materiale liscio, ma morbido, all altra estremità un foro che permette il passaggio di una punta tracciante. La funzione dell asta o del rettangolo di cartone è di tenere a distanza costante perno (il centro) e punta scrivente: la distanza è il raggio della circonferenza che possiamo definire come la il luogo dei punti la cui distanza da un punto dato è costante (ricordiamo che luogo è l insieme di tutti e soli i punti del piano o dello spazio che hanno in comune una certa proprietà). Sono assimilabili al compasso piano gli strumenti offerti dai software di geometria dinamica (FIG. 2). Certamente più pratico per un uso manuale è il compasso tradizionale (FIG. 3) con due aste incernierate ad angolo. La distanza tra le punte di questo compasso, che applica il primo principio di uguaglianza dei triangoli, è il raggio della circonferenza. Perché di solito le aste sono di uguale lunghezza? Molto interessante per le riflessioni che possiamo fare è il disegno di un triangolo con l uso di riga non graduata e compasso. Premetto a tutti i disegni l osservazione che didatticamente è molto importante che gli studenti utilizzino per le costruzioni circonferenze complete e non archi per comprendere a fondo il significato di luogo geometrico. Nel disegno di un triangolo scaleno, o meglio di due triangoli uguali (FIG. 4) si applica il terzo principio di uguaglianza dei triangoli. 1

2 Nel disegnare con l uso del compasso i triangoli equilatero e isoscele è sottinteso il concetto di asse di un segmento (FIG. 5) definito come luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. Ora possiamo tracciare, partendo dalla base sia il triangolo equilatero (FIG. 6) sia quello isoscele (FIG. 7). Possiamo disegnare un triangolo isoscele iniziando dal lato obliquo (FIG. 8), raggio di una circonferenza. 2

3 Ora rappresentiamo (FIG. 9) la bisettrice di un angolo, cioè il luogo dei punti equidistanti dai lati dell angolo (è la semiretta che divide l angolo in due angoli uguali). Possiamo ora rappresentare (FIG. 10) l incentro, il luogo dei punti equidistanti dai lati del triangolo e centro del cerchio inscritto. Avendo già rappresentato l asse di un segmento, determiniamo (FIG. 11) il circocentro del triangolo, cioè il luogo dei punti equidistanti dai vertici del triangolo e centro del cerchio circoscritto. 3

4 Ora possiamo rappresentare una costruzione molto più complessa (FIG. 12). Ribadisco nuovamente l importanza didattica di utilizzare non archi, ma circonferenze complete e di conservarle anche nella rappresentazioni della geometria dinamica: es. FIG. 13 (excentri) e FIG. 14 (cosiddetto teorema di Napoleone). 4

5 Per concludere esaminiamo due esempi in cui il compasso e la circonferenza ci permettono di descrivere due fenomeni naturali. Nella FIG. 15 è rappresentata non solo la concezione Tolemaica, ma anche quella Copernicana della struttura dell universo basata su deferenti ed epicicli. Mentre Tolomeo riteneva che al centro del deferente fosse situata la Terra, Kopernik pensava che al centro del deferente ci fosse il Sole e pertanto nel suo sistema permangono ancora alcune concezioni antiche accanto a quelle rivoluzionarie. Le orbite ellittiche furono infatti introdotte solo successivamente da Kepler (Galileo stesso era contrario alle orbite ellittiche). Nella FIG. 16 è invece rappresentato il metodo, molto semplificato per esigenze didattiche, per determinare l epicentro dei terremoti. Tre osservatori posti rispettivamente in A, B, C rilevano la rispettiva distanza alla quale si è manifestato il fenomeno sismico. Questa distanza è solitamente diversa rispetto alle tre località e può essere rilevata dall intervallo di tempo con cui arrivano ai tre osservatori le onde sismiche più veloci e quelle più lente: maggiore è l intervallo e maggiore è la distanza dell epicentro. Le tre circonferenze hanno la misura dei raggi nella stessa scala. La circonferenza di centro A ci informa che l epicentro può essere localizzato in un qualsiasi punto di essa. Quella di centro B interseca la prima in due punti: uno di essi è l epicentro. Quella di centro C indica quale di questi due punti è l epicentro. i Pitagorici DIDATTICA E DIVULGAZIONE DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE LEZIONI QUATTRO 5