L integrale come area di un trapezoide 1

Transcript

1 L integrale come area di un trapezoide 1 Il problema Sappiamo calcolare le aree di alcuni poligoni, regolari o no. Con metodi di approssimazione, come a reticolazione o la suddivisione in triangoli, siamo in grado di calcolare l area di un generico poligono. Sappiano calcolare anche l area di qualche figura a contorno non rettilineo come quella del cerchio e di alcune sue parti. Ci chiediamo se possiamo calcolare aree di generiche figure a contorno curvilineo. Ricordiamo come Archimede, nel III secolo a.c., fornì un metodo per il calcolo dell area del cerchio, che condusse poi alla famosa approssimazione del numero π 3,14. ESEMPIO 1 Archimede inscrive e circoscrive in un cerchio un triangolo equilatero. Come si vede nella figura ottenuta con Geogebra, e come è ovvio, l area del triangolo inscritto è un valore approssimato per difetto dell area del cerchio, mentre quella del triangolo circoscritto è un valore approssimato per eccesso. Se dividiamo in due gli archi possiamo inscrivere e circoscrivere degli esagoni regolari. 1 Appunti Introduzione al Calcolo Integrale Prof.ssa Zizi Gaetana a.s. 2013/2014

2 Come sono i valori ottenuti? Ovviamente sono migliori rispetto ai precedenti, poiché è aumentata la parte di area che cerchio ed esagono inscritto hanno in comune ed è diminuita la parte di area che cerchio ed esagono circoscritto non hanno in comune. Archimede continuò il procedimento fino a poligoni di 96 lati. Se continuassimo all infinito, la procedura di Archimede troveremmo l esatto valore dell area del cerchio, che può quindi considerarsi come un poligono regolare d infiniti lati, ciascuno dei quali ha misura infinitesima. Proprio partendo da queste considerazioni possiamo estendere il metodo archimedeo per il calcolo di particolari figure che andiamo a definire.

3 DEFINIZIONE 1 Data una funzione continua in un intervallo [a, b], diciamo trapezoide di basi f(a) ed f(b) e di altezza [a, b], la parte di piano delimitata dalla funzione f(x) dall asse delle x e dai segmenti condotti perpendicolarmente all asse x dai punti (a; f(a)) e (b; f(b)). ESEMPIO 2 In figura consideriamo prima il trapezoide determinato dalla funzione f (x) = x 3 + x 2 x +1 e poi quello determinato dalla funzione f (x) = senx, entrambe nell intervallo [ 1; 1]. Procedimento esaustivo per il calcolo delle aree dei trapezoidi Per comodità consideriamo una funzione crescente in un intervallo, ma ovviamente quanto vedremo può ripetersi anche per funzioni non monotone. Dividiamo l intervallo in un certo numero di parti uguali, per esempio 4, e inscriviamo dei rettangoli, come mostrato in figura, questi forniranno un valore approssimato per difetto dell area del trapezoide.

4 Analogamente possiamo considerare dei rettangoli circoscritti, la somma delle cui aree fornirà un valore approssimato per eccesso. Anche in questo caso aumentare il numero di suddivisione e quindi il numero di rettangoli inscritti e circoscritti, migliorerà le approssimazioni. ESEMPIO 3 Non è detto che le funzioni siano tutte monotone, quindi non sempre i plurirettangoli inscritti o circoscritti hanno altezza pari all ordinata di uno degli estremi. Per esempio nel caso della funzione in figura osserviamo che il punto P, che fa parte di un intervallo in cui la funzione passa dalla

5 decrescenza alla crescenza, non coincide con nessuno degli estremi della funzione nell intervallo, ma l inf (in effetti il minimo) della funzione nello stesso intervallo. CONCLUSIONE Dividiamo l intervallo [a;b] in un numero n di sottointervalli di ( uguale ampiezza Δx = h = b a ). In ciascun sottointervallo n prendiamo il valore minimo m k e il valore massimo M k assunti dalla funzione f(x). Diciamo s k l area del rettangolo di base h e altezza m k ; chiamiamo S k l area del k- esimo rettangolo di base h e altezza M k. Definiamo le somme: s n = S n = n n s k = m k h = k=1 k=1 n n S k = M k h = k=1 k=1 Area Rett. inscritti Area Rett. cir coscritti L area S del trapezoide sarà sempre compresa tra sn e Sn Σ AreaRett.inscritti S Σ AreaRett.circoscritti Aumentando il numero dei rettangoli l approssimazione di S sarà sempre più precisa. lim s n = lim S n = Area del Trapezoide n n

6 ORA LAVORIAMO INSIEME! Vogliamo calcolare un valore approssimato del trapezoide determinato dalla parabola y = x 2 dall intervallo [0, 1]. Dividiamo in 10 parti uguali, ciascuno di ampiezza 1/10. Avremo quindi che la somma inferiore sarà: s( 10) = 1 10 ( * ) f 0 ( ) + f " 1 % " 2 % " 9 % + $ '+ f $ ' f $ '- = 1 # 10 & # 10 & # 10 &, 10 ( ) * analogamente la somma superiore sarà: S( 10) = 1 10 ( f " 1 % " 2 % " 10 % + * $ '+ f $ ' f $ '- = 1 ) # 10 & # 10 & # 10 &, 10 ( ) * = 0,385, - + = 0, 285, - Quindi possiamo dire che si ha: 0,285 < Area del Trapezoide < 0,385. PROVA DA SOLO! Inscrivendo e circoscrivendo 10 plurirettangoli, determinare dei valori approssimati per difetto e per eccesso delle aree dei seguenti integrali definiti. Nelle risposte indichiamo con I il valore esatto. y = x 2 intervallo [0, 2] Risposta: [2,28<I<3,08] y = x 2 intervallo [-2, -1] Risposta: [2,18<I<2,49] y = x 3 intervallo [0, 2] Risposta: [3,24<I<4,84] y = sin x intervallo 0; π " # 2! $ % & Risposta: [0,92<I<1,08] y = e x intervallo [-1, 2] Risposta: [6,02<I<8,13] BUON LAVORO!