Forma canonica di Jordan

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1 Capitolo INTRODUZIONE Forma canonica di Jordan Siano λ i, per i =,, h, gli autovalori distinti della matrice A e siano r i i corrispondenti gradi di molteplicità all interno del polinomio caratteristico: A (λ) = (λ λ ) r (λ λ ) r (λ λ h ) r h Nella forma canonica di Jordan la matrice A assume la seguente forma diagonale a blocchi: J A = T J AT = J h dove ad ogni autovalore distinto λ i corrisponde un blocco di Jordan J i di dimensione pari alla molteplicità algebrica r i dell autovalore λ i, cioè pari al grado di molteplicità r i dell autovalore all interno del polinomio caratteristico A sua volta, ogni blocco di Jordan J i ha la struttura di una matrice diagonale a blocchi: J i, dimj i = r i J J i = i, i =,, h J i,qi che presenta sulla diagonale principale un numero q i di miniblocchi di Jordan J i, j pari alla molteplicità geometrica dell autovalore λ i, cioè al numero q i di autovettori linearmente indipendenti v i,j associati all autovalore λ i La struttura di tutti i miniblocchi di Jordan J i, j è la seguente: J i,j = λ i λ i λ i λ i λ i dimj i,j = ν i,j j =,, q i La dimensione ν i,j di ciascun miniblocco di Jordan J i, j è pari al dimensione della catena di autovettori generalizzati che è possibile determinare a partire Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

2 Capitolo INTRODUZIONE dall autovettore v i,j associato al miniblocco di Jordan J i, j Valgono le seguenti relazioni: n = h r i, r i = q i i= ν i,j j= La dimensione m i del più grande miniblocco di Jordan J i, j associato all autovalore λ i : m i = max ν i,j j è pari al grado di molteplicità m i dell autovalore λ i all interno del polinomio minimo m(λ) della matrice A: m(λ) = (λ λ ) m (λ λ ) m (λ λ h ) m h Essendo m i r i, chiaramente il grado del polinomio minimo è sempre inferiore o uguale al grado del polinomio caratteristico Un caso particolare della forma canonica di Jordan si ha quando la matrice trasformata A è diagonale In questo caso di dice che la matrice A di partenza era diagonalizzabile Condizioni di diagonalizzabilità di una matrice Una matrice A di ordine n è diagonalizzabile se e solo se è verificata una delle seguenti condizioni: Se esistono n autovettori linearmente indipendenti; Se la molteplicità algebrica r i di ciascun autovalore λ i è uguale alla molteplicità geometrica m i ; Se la dimensione ν i,j di tutti i miniblocchi di Jordan J i,j è unitaria; Se, per ciascun autovalore λ i, la dimensione m i del più grande miniblocco di Jordan J i,j è unitaria; Se il grado di molteplicità m i di ciascun autovalore λ i all interno del polinomio minimo m(λ) è unitario; Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

3 Capitolo INTRODUZIONE 3 Autovettori generalizzati I q i autovettori distinti v i,j associati all autovalore λ i si determinano risolvendo il seguente sistema lineare autonomo: (λ i I A)v i,j = j =,, q i Infatti, il numero degli autovettori distinti è q i, pari al numero di miniblocchi J i,j presenti all interno del blocco di Jordan J i Nel caso in cui si abbia q i < r i, il numero degli autovettori non è sufficiente per diagonalizzare la matrice, per cui occorre procedere, per ogni autovettore v i,j, alla determinazione della corrispondente catena v (k) i,j di autovettori generalizzati, k =,, ν i,j Tali catene si determinano risolvendo iterativamente il seguente sistema di equazioni lineari (A λ i I)v () i,j = v () i,j = v i,j (A λ i I)v (3) i,j = v () i,j (A λ i I)v (ν i,j) i,j = v (ν i,j ) i,j Noto v () i,j = v i,j, dalla prima equazione si ricava v () i,j, il quale, sostituito nell equazione successiva permette di determinare l autovettore v (3) i,j, e così via La particolare struttura quasi diagonale del miniblocco di Jordan J i,j si ottiene inserendo tra le colonne della matrice di trasformazione T queste catene di autovettori generalizzati T = [ v () i,j v () i,j v (ν i,j) i,j Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

4 Capitolo INTRODUZIONE 4 Possiamo ora riscrivere l evoluzione libera di un sistema discreto nel modo seguente x(k) = A k x = (TAT ) k x = TA k T x = T J J J h k T x = T J k J k J k h e l evoluzione libera di un sistema continuo nel modo seguente T x x(t) = e At x = Te At T x = Te J J J h t T x = T e J t e J t e J ht T x Quindi, per poter calcolare la potenza e l esponenziale di matrice generica A è sufficiente saper calcolare la potenza e l esponenziale del seguente generico miniblocco di Jordan di dimensione ν: J = λ λ λ λ λ = λi + N Chiaramente, la matrice J può essere espressa come somma della matrice diagonale λi e di una matrice N che ha elementi non nulli, e unitari, solo sulla prima sovradiagonale Per esempio, nel caso ν = 5 si ha: N = Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

5 Capitolo INTRODUZIONE 5 Le potenze della matrice N hanno la seguente struttura: N = N 3 = cioè, la matrice N k ha elementi non nulli solo sulla k-esima sovradiagonale La matrice N è quindi una matrice nilpotente di ordine ν: N ν = dove ν = dimn La potenza k-esima della matrice J ha quindi la forma seguente: J k = (λi + N) k = λ k I + k λ k N + k λ k N + + N k Sappiamo però che tutte le potenze N h sono nulle per h ν, per cui si ha che J k = (λi + N) k = λ k I + = Con il simbolo k λ k N + k λ k kλ k k(k ) λ k λ k kλ k λ k λ k N + + k λ ν k ν+ k λ k ν+ N ν ν k ν k ν λ k kλ k λ k k si è indicato il coefficiente binomiale h k h = k(k ) (k h + ) h! λ k ν+ λ k ν+ che rappresenta il numero di combinazioni di k oggetti presi a gruppi di h Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

6 Capitolo INTRODUZIONE 6 Relativamente al caso tempo-continuo, l esponenziale di matrice e Jt si calcola nel modo seguente e Jt = e (λi+n)t = e λit e Nt = e λt Ie Nt = e λt n= t n n! Nn = e λt ν t n n= n! Nn = e λt [ I + tn + t N + + tν (ν )! Nnu = e λt t t t 3 t 3! ν (ν )! t t t t + t ν (ν )! t ν (ν )! Alla forma quasi diagonale sopra mostrata si giunge sempre, anche nel caso di autovalori λ i complessi coniugati In questo caso però anche i corrispondenti autovettori v, sono complessi coniugati e la forma diagonale della matrice A a cui si giunge, essendo complessa, risulta essere di problematica utilizzazione Per ovviare a questo inconveniente, nel caso di autovalori λ i complessi coniugati si preferisce utilizzare una trasformazione nello spazio degli stati che porti la matrice A ad avere sulla diagonale principale dei blocchi reali di dimensione Si faccia per esempio riferimento ad una matrice A di dimensione 6 caratterizzata da due autovalori complessi coniugati λ, con grado di molteplicità 3 nel polinomio minimo: λ, = σ ± jω, m(λ) = (λ λ ) 3 (λ λ ) 3 = [(λ σ) + ω 3 Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

7 Capitolo INTRODUZIONE 7 Applicando la trasformazione di coordinate x = Tx T = [ v v v 3 v v v 3 si giunge alla seguente forma diagonale: A = λ λ λ λ λ λ Si ottengono cioè due soli blocchi di Jordan, ognuno dei quali è composto da un solo miniblocco a 3 dimensioni Si indichi con v i,r e v i,i, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria dell autovettore complesso i-esimo (i =,, 3) Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate: x = T x, T = [ v,r v,i v,r v,i v 3,R v 3,I è possibile trasformare la matrice A nel modo seguente à = σ ω ω σ σ ω ω σ σ ω ω σ In questo modo l evoluzione libera di sistemi lineari potrà essere espressa come combinazione lineare di soli termini reali Caso tempo discreto: Caso tempo continuo: x(k) = A k x() = TÃk T x() x(t) = e At x() = TeÃt T x() Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

8 Capitolo INTRODUZIONE 8 Nel caso tempo discreto, se si indica con λ e θ, rispettivamente, il modulo e la fase del numero complesso λ i = σ + jω, e con j la seguente matrice emisimmetrica j = λ = σ + ω, allora si ha che λ = σ + j ω = λ e jθ θ = arctan ω σ = λ cos θ + j λ sin θ σ ω ω σ = λ ω cos θ sin θ sin θ cos θ λ θ σ = λ e θj λ e quindi la matrice à può essere espressa nella forma à = λ e θj I λ e θj I λ e θj La potenza k-esima della matrice cioè à k = à k = [ cos kθ sin kθ λ k sin kθ cos kθ à è ha la forma seguente λ k e kθj k λ k e (k )θj k(k ) λ k e (k )θj λ k e kθj k λ k e (k )θj λ k e kθj [ cos(k )θ sin(k )θ k λ k sin(k )θ cos(k )θ λ k [ cos kθ sin kθ sin kθ cos kθ k(k ) λ k [ cos(k )θ sin(k )θ sin(k )θ cos(k )θ [ cos(k )θ sin(k )θ k λ k sin(k )θ cos(k )θ λ k [ cos kθ sin kθ sin kθ cos kθ Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

9 Capitolo INTRODUZIONE 9 Nel caso di sistemi tempo continui, per calcolare agevolmente l esponenziale eãt è bene utilizzare il seguente formalismo: σ ω ω σ = σ σ + ω ω = σi + ωj La matrice à assume la forma à = σi + ωj I σi + ωj I σi + ωj Le matrici I e j commutano tra di loro per cui Quindi si ricava che eãt e (σi+ωj)t = e σti e ωtj = = e σt e ωtj te ωtj t eωtj e ωtj e ωtj e ωtj eσt e σt = e σt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt I ti t I I ti I = e σt cos ωt e σt sin ωt te σt cos ωt te σt sin ωt t eσt cos ωt t eσt sin ωt e σt sin ωt e σt cos ωt te σt sin ωt te σt cos ωt t eσt t sin ωt eσt cos ωt e σt cos ωt e σt sin ωt te σt cos ωt te σt sin ωt e σt sin ωt e σt cos ωt te σt sin ωt te σt cos ωt e σt cos ωt e σt sin ωt e σt sin ωt e σt cos ωt Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

10 Capitolo INTRODUZIONE Esempio Calcolare l esponenziale di matrice e jα : jα = α α e jα = Il polinomio caratteristico della matrice jα è: jα (λ) = det(λi jα) = λ α α λ cos α sin α sin α cos α = (λ + α ) = (λ jα)(λ + jα) L autovettore v corrispondente all autovalore λ = jα è: (λ I jα)v = jα α α jα j = v = L autovettore v corrispondente all autovalore λ = jα è il complesso coniugato dell autovettore v : v = v = La matrice di trasformazione T che porta la matrice jα in forma canonica di Jordan è: T = [ v v = T = j j j j j L esponenziale di matrice cercato può quindi essere espresso nel modo seguente: e jα jα = Te jα = e jα +e jα ejα e jα j T = e jα e jα j e jα +e jα j j = j e jα e jα cos α sin α sin α cos α j j j j Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6

11 Capitolo INTRODUZIONE Esempio Dato il seguente sistema dinamico ẋ(t) = x(t), x = determinare l evoluzione libera x(t) del sistema a partire dalla condizione iniziale x() = x La soluzione formale del problema è la seguente: x(t) = e At x = Te At T x dove T è la matrice di trasformazione che diagonalizza la matrice A Per determinare T occorre calcolare gli autovalori e gli autovettori di A det(si A) = s s s = s(s 4s + 5) = s[(s ) + ) Gli autovalori sono s, = ± j e s 3 = L autovettore complesso v corrispondente all autovalore s = + j è il seguente: (s I A)v = o + j + j j L autovettore reale v 3 corrispondente all autovalore s = è: (A s I)v 3 = o La seguente matrice di trasformazione T T = [ v,r v,i v 3 = v = o v = v 3 = o v 3 =, T = 5 porta la matrice A nella forma canonica reale di Jordan: A = T AT = j + j 3 3 L evoluzione libera x(t) del sistema a partire dalla condizione iniziale x è quindi la seguente: x(t) = T e t cos t e t sin t e t sin t e t cos t T x Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi AA 5/6