Algebra Lineare Autovalori

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1 Algebra Lineare Autovalori Stefano Berrone Sandra Pieraccini Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129, Torino, Italy home-page: Torino, Ottobre 2003

2 Localizzazione degli Autovalori Un numero λ, reale o complesso, è detto autovalore di una matrice quadrata A di ordine n se esiste un vettore (reale o complesso) non nullo x tale che Ax = λx, x 0. Il vettore x è detto in tal caso autovettore di A relativo all autovalore λ. Si noti che λ è autovalore di A se e solo se la matrice A λi è singolare, quindi gli autovalori di A coincidono con le n radici dell equazione caratteristica: det(a λi) = 0. Siano x 1,...,x k k autovettori di A corrispondenti a k autovalori distinti: allora tali vettori sono linearmente indipendenti. Le relazioni possono essere scritte in forma compatta Ax i = λ i x i, i = 1,..., n, AX = XΛ. 1

3 Quando A è simmetrica tutti i suoi autovalori sono reali e gli autovettori corrispondenti formano un sistema ortogonale, quindi la matrice X è invertibile. Ogni volta che la matrice X è invertibile, la matrice A si dice diagonalizzabile e si ha Λ = X 1 AX. Definiamo infine, dato un qualsiasi vettore x, il quoziente di Rayleigh come la quantità R A (x) = xt Ax x T x. Si noti che se x è un autovettore con autovalore λ, si ha R A (x) = λ. 2

4 Calcolo degli Autovalori e Autovettori Data una matrice A, ci poniamo qui il problema di calcolare (approssimare) i suoi autovalori e relativi autovettori. Per certe applicazioni può essere necessario determinare tutto lo spettro di A, mentre per altre può essere sufficiente anche un solo autovalore (spesso quello di modulo massimo, quello di modulo minimo, o quello più vicino ad un valore fissato) e l autovettore corrispondente. Esistono diversi metodi numerici per determinare gli autovalori di una matrice, alcuni dei quali determinano tutto lo spettro, mentre altri determinano un solo autovalore per volta. Noi tratteremo il metodo delle potenze, il quale consente (sotto opportune condizioni) di determinare l autovalore di modulo massimo di una matrice e il relativo autovettore. Presenteremo anche alcune varianti (metodo delle potenze inverse, metodo delle potenze con shift) che consentono di determinare l autovalore più vicino ad una approssimazione nota. 3

5 Localizzazione degli autovalori Spesso è utile localizzare preliminarmente gli autovalori di A, ovvero determinare una regione del piano complesso che contenga gli autovalori di A. Questo può essere utile per diversi motivi, ad esempio: analizzare le proprietà di convergenza di metodi numerici per il calcolo di autovalori; analizzare certe proprietà delle matrici che dipendono dallo spettro (ad esempio, capire se una matrice è definita positiva). Citiamo alcuni teoremi e criteri utili per la localizzazione degli autovalori di una matrice A. 4

6 Teoremi di Gerschgorin - I Innanzitutto introduciamo i seguenti insiemi: siano R i = z C : z a ii n j=1,j i a ij, i = 1,..., n i cerchi di Gerschgorin di centro a ii e raggio n j=1,j i a ij. Teorema 1. (Primo Teorema di Gerschgorin) Gli autovalori di una matrice A sono tutti contenuti nella regione del piano complesso R = i=1,...,n R i. 5

7 Consideriamo adesso i seguenti cerchi: C i = z C : z a ii n j=1,j i a ji, i =,..., n, ovvero i cerchi di centro a ii ottenuti per colonne ). e raggio n j=1,j i a ji (analogo dei cerchi di Gerschgorin ma Poiché le matrici A e A T hanno lo stesso spettro, applicando il Primo Teorema di Gerschgorin alla matrice A T, possiamo concludere che gli autovalori di A sono tutti contenuti nell insieme C = i=1,...,n C i. Dovendo appartenere a R e C contemporaneamente, si ha che gli autovalori di A sono confinati nella regione R C. Quest ultima considerazione consente di raffinare il risultato del Primo Teorema di Gerschgorin. 6

8 Teoremi di Gerschgorin - II Teorema 2. (Secondo Teorema di Gerschgorin) Sia M 1 l unione di k cerchi di Gerschgorin e e sia M 2 l unione dei rimanenti n k cerchi di Gerschgorin. Se M 1 ed M 1 sono disgiunti, allora esattamente k autovalori appartengono a M 1 e n k appartengono a M 2. Dal Teorema 2 si ottiene, più in generale, che ogni componente connessa di R o C (ovvero ogni unione connessa massimale di cerchi R i o C i ) contiene tanti autovalori quanti sono i cerchi della componente, tenendo conto della molteplicità di ogni autovalore e di ogni cerchio. Ricordiamo che una matrice simmetrica ha tutti gli autovalori reali; quindi dei cerchi R i e C i possiamo considerare la sola intersezione con l asse reale. 7