Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

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1 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Primo Appello - 6 giugno 24 TEMA A Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta. () Sia data la matrice A k = k k k. k 2 k (a) (3pt) Si determini per quali valori reali di k la matrice ( A k ) è diagonalizzabile. (b) (pt) Si determini per quali valori reali di k il vettore è un autovettore di A k. (c) (3pt) Per k = + 2 si determinino una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P per le quali D = P A k P. (2) (3pt) Si risolva, al variare del parametro reale l, il sistema lineare x + 2x 2 + (l 2)x 3 + x 4 = 2x + (4 + l)x 2 4x 3 + (l + 2)x 4 = (l + 3) x 2 + (l 2)x 3 + x 4 = (3) Sia dato il sottospazio di R 4 4 U =, 3, 4, (a) (pt) Si determinino una base e la dimensione di U. (b) (pt) Si determini il sottospazio ortogonale U di U. (c) (2pt) Dato il vettore u = 4 U si descriva il sottoinsieme A di R4 dei vettori 3 la cui proiezione ortogonale su U sia u. Si determini una base per il sottospazio A generato da A.

2 2 (4) Sia data l applicazione lineare T : R 4 R[X] 3 determinata dalle seguenti condizioni: Ker(T ) = ; T = 2x3 2; T = 3x2 + 3; T = 6x 6. (a) (2pt) Si dica se l applicazione è suriettiva. In caso contrario, si determini una base di Im(T ). (b) (3pt) Siano date le basi B = ; B = di R 4 e C = {, x, x 2, x 3 } di R[X] 3. Si determinino M B,C (T ) e M B,C (T ). (c) (pt) Si dica se x 3 3x 2 + 3x Im(T ). In caso affermativo, si determini T (x 3 3x 2 + 3x ). (5) Nello spazio euclideo tridimensionale, al variare del parametro reale r, siano dati i piani π e π di equazioni rispettivamente: 2x (r + 3)y + rz = 7, (r + )x (9 + r)y + (2 2r)z = r 3 (a) (3pt) Determinare per quali valori di r i due piani sono paralleli. (b) (2pt) Per tali valori, determinare la distanza tra i due piani. (6) Siano date A, B M n,n (R) tali che AB = BA e det(b). Sia v un autovettore di A di autovalore λ. (a) (pt) Si dimostri che Bv è anch esso un autovettore di A di autovalore λ. (b) (2pt) Sia ora n = 2. Si dimostri che se v non è un autovettore di B allora v e Bv sono linearmente indipendenti e che A = λi 2. (7) Siano z, w C non nulli, con z = 2 w. (a) (2pt) È vero che zw 2z w ir cioè è puramente immaginario? Fornire una dimostrazione o un controesempio. (b) (pt) È vero che l argomento di z e l argomento di w coincidono? Fornire una dimostrazione o un controesempio.

3 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria 3 Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Primo Appello - 6 giugno 24 TEMA B Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta. () Sia data la matrice A l = l + l l. l l (a) (3pt) Si determini per quali valori reali di l la matrice ( A l ) è diagonalizzabile. (b) (pt) Si determini per quali valori reali di l il vettore è un autovettore di 2 A l. (c) (3pt) Per l = 2 si determinino una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P per le quali D = P A l P. (2) (3pt) Si risolva, al variare del parametro reale c, il sistema lineare 2x + cx 2 + (c + 2)x 3 4x 4 = c + 2x + 2x 2 + 4x 3 + (2c 8)x 4 = 2 x 2 + x 3 + (c 4)x 4 = (3) Sia dato il sottospazio di R W = 3,, 7, 4. 4 (a) (pt) Si determinino una base e la dimensione di W. (b) (pt) Si determini il sottospazio ortogonale W di W. 3 (c) (2pt) Dato il vettore w = 4 W si descriva il sottoinsieme X di R4 dei vettori la cui proiezione ortogonale su W sia w. Si determini una base per il sottospazio X generato da X.

4 4 (4) Sia data l applicazione lineare L: R 4 R[X] 3 determinata dalle seguenti condizioni: Ker(L) = ; L = 2x2 2, L = 3x3 3; ; L = x. (a) (2pt) Si dica se l applicazione è suriettiva. In caso contrario, si determini una base di Im(L). (b) (3pt) Siano date le basi B = ; B = di R 4 e C = {, x, x 2, x 3 } di R[X] 3. Si determinino M B,C (L) e M B,C (L). (c) (pt) Si dica se 2x 3 4x 2 + 4x 2 Im(L). In caso affermativo, si determini L (2x 3 4x 2 + 4x 2). (5) Nello spazio euclideo tridimensionale, al variare del parametro reale t, siano dati i piani π e π di equazioni rispettivamente: (4 t)x + 2y + ( t)z = 7, ( t)x + (2 t)y + ( + 2t)z = t 2 (a) (3pt) Determinare per quali valori di t i due piani sono paralleli. (b) (2pt) Per tali valori, determinare la distanza tra i due piani. (6) Siano date X, Y M n,n (R) tali che XY = Y X e det(y ). Sia u un autovettore di X di autovalore µ. (a) (pt) Si dimostri che Y u è anch esso un autovettore di X di autovalore µ. (b) (2pt) Sia ora n = 2. Si dimostri che se u non è un autovettore di Y allora u e Y u sono indipendenti e che X = µi 2. (7) Siano z, w C non nulli, con z = 3 w. (a) (2pt) È vero che 3z w zw ir cioè è puramente immaginario? Fornire una dimostrazione o un controesempio. (b) (pt) È vero che l argomento di z e l argomento di w coincidono? Fornire una dimostrazione o un controesempio.

5 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria 5 Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Primo Appello - 6 giugno 24 TEMA C Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta. () Sia data la matrice A t = 2 + t t t t. t (a) (3pt) Si determini per quali valori reali di t la matrice ( A t ) è diagonalizzabile. (b) (pt) Si determini per quali valori reali di t il vettore è un autovettore di A t. (c) (3pt) Per t = 2 si determinino una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P per le quali D = P A t P. (2) (3pt) Si risolva, al variare del parametro reale b, il sistema lineare x + x 2 + 2x 3 + (2 b)x 4 = 2x + (6 b)x 2 + (8 b)x 3 4x 4 = 7 b 2x 2 + 2x 3 + (4 2b)x 4 = 2 (3) Sia dato il sottospazio di R W = 5,, 2, 4. 4 (a) (pt) Si determinino una base e la dimensione di W. (b) (pt) Si determini il sottospazio ortogonale W di W. 4 (c) (2pt) Dato il vettore w = 3 W si descriva il sottoinsieme Y di R4 dei vettori la cui proiezione ortogonale su W sia w. Si determini una base per il sottospazio Y generato da Y.

6 6 (4) Sia data l applicazione lineare f : R 4 R[X] 3 determinata dalle seguenti condizioni: Ker(f) = ; f = 4x3 4; f = 6x 6; f = 3x (a) (2pt) Si dica se l applicazione è suriettiva. In caso contrario, si determini una base di Im(f). (b) (3pt) Siano date le basi B = ; B = di R 4 e C = {, x, x 2, x 3 } di R[X] 3. Si determinino M B,C (f) e M B,C (f). (c) (pt) Si dica se 2x 3 4x 2 + 4x 2 Im(f). In caso affermativo, si determini f (2x 3 4x 2 + 4x 2). (5) Nello spazio euclideo tridimensionale, al variare del parametro reale s, siano dati i piani α e β di equazioni rispettivamente: (4 2s)x (8 + s)y + sz = s 4, (s )x (s + 2)y + 2z = 7 (a) (3pt) Determinare per quali valori di s i due piani sono paralleli. (b) (2pt) Per tali valori, determinare la distanza tra i due piani. (6) Siano date A, C M n,n (R) tali che AC = CA e det(a). Sia v un autovettore di C di autovalore λ. (a) (pt) Si dimostri che Av è anch esso un autovettore di C di autovalore λ. (b) (2pt) Sia ora n = 2. Si dimostri che se v non è un autovettore di A allora v ed Av sono linearmente indipendenti e C = λi 2. (7) Siano z, w C non nulli, con 2 z = w. (a) (2pt) È vero che 2zw z w ir cioè è puramente immaginario? Fornire una dimostrazione o un controesempio. (b) (pt) È vero che l argomento di z e l argomento di w coincidono? Fornire una dimostrazione o un controesempio.

7 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria 7 Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Primo Appello - 6 giugno 24 TEMA D Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta. () Sia data la matrice A s = + s s s s. s (a) (3pt) Si determini per quali valori reali di s la matrice ( A s ) è diagonalizzabile. 3 (b) (pt) Si determini per quali valori reali di s il vettore è un autovettore di A s. (c) (3pt) Per s = 2 si determinino una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P per le quali D = P A s P. (2) (3pt) Si risolva, al variare del parametro reale a, il sistema lineare 2x + (a + 4)x 2 + (a + 6)x 3 4x 4 = a + 5 x + x 2 + 2x 3 + ax 4 = x 2 + x 3 + ax 4 = (3) Sia dato il sottospazio di R V = 3, 4,, 7. 4 (a) (pt) Si determinino una base e la dimensione di V. (b) (pt) Si determini il sottospazio ortogonale V di V. 3 (c) (2pt) Dato il vettore v = 4 V si descriva il sottoinsieme B di R4 dei vettori la cui proiezione ortogonale su V sia v. Si determini una base per il sottospazio B generato da B.

8 8 (4) Sia data l applicazione lineare g : R 4 R[X] 3 determinata dalle seguenti condizioni: Ker(g) = ; g = 2x 2; g = 4x2 + 4; g = 2x3 2. (a) (2pt) Si dica se l applicazione è suriettiva. In caso contrario, si determini una base di Im(g). (b) (3pt) Siano date le basi B = ; B = di R 4 e C = {, x, x 2, x 3 } di R[X] 3. Si determinino M B,C (g) e M B,C (g). (c) (pt) Si dica se 6x 3 x 2 + x 6 Im(g). In caso affermativo, si determini g (6x 3 x 2 + x 6). (5) Nello spazio euclideo tridimensionale, al variare del parametro reale l, siano dati i piani π e α di equazioni rispettivamente: (6 2l)x + (l + 4)y (2 + l)z = l, (3 + l)x + 2y (l + 6)z = 7. (a) (3pt) Determinare per quali valori di l i due piani sono paralleli. (b) (2pt) Per tali valori, determinare la distanza tra i due piani. (6) Siano date X, Z M n,n (R) tali che XZ = ZX e det(z). Sia u un autovettore di X di autovalore µ. (a) (pt) Si dimostri che Zu è anch esso un autovettore di X di autovalore µ. (b) (2pt) Sia ora n = 2. Si dimostri che se u non è un autovettore di Z allora u e Zu sono lineamente indipendenti e X = µi 2. (7) Siano z, w C non nulli, con 3 z = w. (a) (2pt) È vero che z w 3zw ir cioè è puramente immaginario? Fornire una dimostrazione o un controesempio. (b) (pt) È vero che l argomento di z e l argomento di w coincidono? Fornire una dimostrazione o un controesempio.