ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala ridotta equivalenti per righe ad una matrice del tipo + t + t,. al variare del parametro t R. Soluzione. C è un unica matrice a scala ridotta equivalente ad una del tipo dato ed è: () Sia / Verificare che A 5A + 5A + I =. Senza usare l algoritmo di Gauss- Jordan, stabilire se la matrice A è invertibile e in caso affermativo calcolarne l inversa. Soluzione. Si ha A(A 5A + 5) = I e quindi A(A 5A + 5)( I) = I. Ne duduciamo che A = (A 5A + 5)( I). () Sia A una matrice quadrata n n tale che una potenza di A abbia una riga nulla. Dimostrare che la matrice A non è invertibile. Soluzione. Sia k N tale che A k ha una riga nulla. Ne segue che A k non ha rango massimo e pertanto non è invertibile. Supponiamo per assurdo che A sia invertibile e sia B la sua inversa. Allora A k B k = A k ABB k = A k B k. Reiterando questo calcolo k volte otteniamo A k B k = AB = I. Ne segue che B k è l inversa di A k contro la nostra precedente deduzione che A k non è invertibile...

2 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 (5) Utilizzando l algoritmo di Gauss-Jordan, determinare l inversa delle seguenti matrici A e B: 9 B = //7 Soluzione. Si ha A = 8 B = () Si calcoli il determinante della seguente matrice 6 5 Soluzione.Si ha det 66. () Calcolare il determinante della seguente matrice utilizzando la definizione del determinante con le permutazioni e la regola di Laplace. 6 5 () Si determini per quali valori del parametro reale t la seguente matrice risulta invertibile. t t 5 t 9 t + 6 Soluzione. Il determinante della matrice è t(8t 5). Siccome una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero concludiamo che gli unici valori da escludere sono t = e t = 5 8. () Risolvere il seguente sistema lineare omogeneo al variare del parametro reale t //7 x +ty +tz = x +y z = x +z = Soluzione. Il sistema ammette solo la soluzione banale per ogni valore del parametro t in quanto la matrice coefficienti ha sempre determinante uguale a. () Si calcoli il determinante della seguente matrice 9 B = 5 7 Soluzione. Per calcolare det B conviene scambiare la prima colonna con la terza colonna e poi procedere con l algoritmo di Gauss per righe. Si otterrà facilmente det B = 98.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 () Sapendo che det () Siano det x y z x y z =, calcolare i seguenti determinanti: det B = x x + x + y y y + z z + z Sia X una matrice soddisfacente la seguente equazione matriciale: AX = B. Si calcoli det X. () Risolvere il seguente sistema lineare omogeneo al variare del parametro reale k. kx +y z = x +(k + )y +z = (k + )x +(k + )y +(k + )z = Soluzione. Per calcolare il determinante della matrice dei coefficienti converrà dapprima semplificarla. Ad esempio si può sottrarre dalla terza riga volte la prima e volte la seconda. In questo modo la matrice si semplifica notevolmente e si può calcolare il determinante con la regola di Laplace ottenendo k(k + )(k + ). Quindi per k,, il sistema ammette solo la soluzione banale. Negli altri casi si avranno infinite soluzioni che vanno calcolate caso per caso. (5) Determinare per quale valore del parametro k R le matrici k k B = k k hanno lo stesso rango. Soluzione. La matrice A ha al più rango uguale a. Per i valori di k per cui det B avremo rango(b) = rango(a). Calcoliamo quindi il determinante di B (utilizzando ad esempio il metodo di Laplace rispetto alla seconda riga). Otteniamo det B = 9(k ) e quindi se k abbiamo rango(a) rango(b). Se k = osserviamo che la quarta colonna di B combinazione lineare delle altre (I-II+III) e quindi la possiamo annullare. La matrice rimanente è uguale alla matrice A con l aggiunta di una colonna di zeri ed avrà pertanto lo stesso rango di A. 7//7 () Determinare equazioni parametriche e cartesiane per il sottospazio W R generato dai vettori v =, v =, v = () Determinare equazioni parametriche e cartesiane per il sottospazio W M (R) generato dalle matrici: ( ) ( ) ( ) M =, M =, M =

4 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 () Sia U il sottospazio di R di equazioni cartesiane x x + x =, x = e sia W il sottospazio generato dai vettori w = (,,, ) e w = (,,, ). Determinare una base per U + W e U W. () In R di considerino il sottospazio U = Span(u, u, u, u ) ed il sottospazio W = Span(w, w, w ). Trovare le dimensioni di U, W, U + W, U W : u = w =, u =, w =, u = (5) Si consideri il seguente sottoinsieme di R 6, w =, u = S = {(,,,, 5, 6), (,,,,, ), (,,,,, )} Verificare che S è linearmente indipendente e completare S ad una base di R 6. (6) Si consideri il seguente sottospazio di R : V := {(h k, h + k, h, k) h, k R}; determinare un sottospazio di U di R tale che U V = R. (7) Si considerino i seguenti vettori di R dipendenti da un parametro reale k. 9//8 u = k, u =, u = determinare per quali valori di k i vettori u, u, u formano una base di R. Per tali valori esprimere i vettori della base canonica come combinazioni lineari di u, u, u. Per i valori di k per cui non formano una base esprimere il vettore nullo come combinazione lineare di u, u, u con coefficienti non tutti nulli. () Sia V lo spazio vettoriale delle funzioni continue in R +. Sia W = Span{log x, log(x + )}. Deterinare se log( (x + x ) ) W. () Sia V = R [x] lo spazio vettoriale dei polinomi reali di variabile reale di grado minore o uguale a. Sia W = Span{x + x +, x x, x + }. Determinare quali tra x, x e x appartengono a W. Determinare inoltre le equazioni cartesiane di W. () Determinare equazioni parametriche e cartesiane per il sottospazio W R generato dai vettori v =, v =, v = ; 5

5 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 5 () Determinare equazioni parametriche e cartesiane per il sottospazio W M (R) generato dalle matrici: ( ) ( ) ( ) M =, M =, M = (5) Sia U il sottospazio di R di equazioni cartesiane x x + x =, x = e sia W il sottospazio generato dai vettori w = (,,, ) e w = (,,, ). Determinare una base per U, U + W e U W. (6) In R di considerino il sottospazio U = Span(u, u, u, u ) ed il sottospazio W = Span(w, w, w ). Trovare le dimensioni di U, W, U + W, U W : u = w =, u =, w =, u = (7) Si consideri il seguente sottoinsieme di R 6, w =, u = S = {(,,,, 5, 6), (,,,,, ), (,,,,, )} Verificare che S è linearmente indipendente e completare S ad una base di R 6. (8) Si considerino i seguenti vettori di R dipendenti da un parametro reale k. u = k, u =, u = determinare per quali valori di k i vettori u, u, u formano una base di R. Per tali valori esprimere i vettori della base canonica come combinazioni lineari di u, u, u. Per i valori di k per cui non formano una base esprimere il vettore nullo come combinazione lineare di u, u, u con coefficienti non tutti nulli. //7 () Si determinino equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio U di R generato dai vettori u =, u =. () Si considerino i seguenti vettori di R : ( ) ( k u =, u k = Per quali valori di k i vettori u, u formano una base di R? In corrispondenza a tali valori esprimere i vettori della base canonica come combinazione lineare di u e u. ). ; 5

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 () Sia W il sottospazio vettoriale di R generato dai vettori + k + k v =, v =, v = 8/5/7 al variare del parametro k R, ed U il sottospazio di R di equazione cartesiana { x x + x = x + x =. Determinare una base dei sottospazi U, W, U + W e U W al variare del parametro reale k. () Si consideri l applicazione lineare f : R R data da f(x, y, z) = (y z, x, x + y z, x + y z). (i) Determinare nucleo ed immagine di f (ii)determinare una base del sottospazio f(u) di R, dove U è il sottospazio di R di equazione cartesiana x y z =. () Si considerino i seguenti endomorfismi di R f(x, y, z) = (z, x, x z) g(x, y, z) = (y + x, y x, ) (i) Determinare una base per Ker f ed una base per Ker g; (ii)determinare equazioni cartesiane per i sottospazi Im f e Im g; (iii) Determinare i sottospazi Ker f Ker g, Ker f + Ker g, Im f Im g, e Im f + Im g. () Si consideri il seguente endomorfismo di R f(x, y, z) = (x + λy, x λz, y + z). Per quali valori del parametro λ l endomorfismo f risulta essere un automorfismo? Per i valori di λ per cui f non è un automorfismo determinare equazioni parametriche e cartesiane di Ker f e Im f. () Si consideri la trasformazione lineare f : R R tale che f(, ) = (, ) e f(, ) = (, ). Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. (5) Si consideri l endomorfismo di R 5/5/7 f(x, y, z) = (x + z, x z, y z), e l insieme di vettori B = {(,, ), (,, ), (,, )}. Dimostrare che B è una base di R e determinare le matrici M B E (f), M E B (f), M B B (f) e M E E (f), dove E è la base canonica di R. () Si consideri la trasformazione lineare f : R R tale che f(, ) = (, ) e f(, ) = (, ). Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. () Sia E la base canonica di R e B = {(,, ), (,, ), (,, )}. Determinare la matrice del cambio di base da E ad B. () Si consideri l endomorfismo di R f(x, y, z) = (x + z, x z, y z),

7 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 7 e l insieme di vettori B = {(,, ), (,, ), (,, )}. Dimostrare che B è una base di R e determinare le matrici M B E (f), M E B (f), M B B (f) e M E E (f), dove E è la base canonica di R. () Si considerino le trasformazioni lineari f : R R, g : R R, tali che f(x, y, z) = (x, x y z, x + z) per ogni (x, y, z) R e g(,, ) = (, ), g(,, ) = (, ), g(,, ) = (, ). Determinare la trasformazione h = g f. (5) Si consideri l endomorfismo f di R tale che f(,, ) = (,, ), f(,, ) = (,, ), f(,, ) = (7, 6 ). Determinare f, ker f e imf. (6) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione su R e sia B = {b, b, b }una sua base. Si consideri lunico endomorfismo di V tale che f(b ) = b + b f(b ) = b 5b 8b f(b ) = b + b + 6b. Determinare l endomorfismo f. Verificare che V = ker(f Id) ker(f + Id). /5/7 () Si consideri la seguente matrice ( ) 5 Dimostrare che A è simile alla matrice ( ) B = 7 e determinare una matrice P tale che P DP. Determinare tutte le matrici P che soddisfano l identità P DP. () Si consideri il seguente endomorfismo di R f(x, y, z) = (x, x y z, x y z). Determinare se possibile una base B di R tale che MB B (f) sia diagonale. Determinare una matrice invertibile P tale che ME E(f) = P MB B(f)P () Determinare gli autospazi dell endomorfismo lineare f di R definito ponendo f(,, ) = (,, ), f(,, ) = (,, ), f(,, ) = (,, ) () Si consideri l endomorfismo f di R definito ponendo f(,, ) = (,, ), f(,, ) = (,, ), f(,, ) = ( 6, 5, ). Sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. Determinare tutte le matrici diagonali simili ad A. (5) Si consideri la seguente matrice 6 Determinare gli autospazi della matrice A. A è diagonalizzabile?