Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi

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1 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 1 A: Sistemi lineari: eliminazione gaussiana Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Determinare, con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare x + y z = 1 x y + 2z = 2x + z = 1. (R. ( 1 z 2, 1+z 2, z)). A2. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare del x + y + λz = 2λ 1 x + λy + z = λ λx + y + z = 1. (R. Se λ = 1 si hanno 2 soluzioni date da (1 y z, y, z),y, z R; se λ = 2 non si hanno soluzioni; se λ 1, 2 la soluzione è ( 2 λ+2, λ λ+2, 2λ+1 λ+2 )). A. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare (R. La soluzione è (, 2, 2, 2)). 2z + t = 2 y + 2z + t = x + 2y + 4z + t = 2 y + z + 2t = A4. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare del parametro h R x + z = 2x + hy + 2z = h x + (1 + h)y + 2z = 2h. (R. Se h = si hanno 1 soluzioni date da ( z, z, z), z R; se λ = 2 non si hanno soluzioni; se h la soluzione è (1 h, 1, h 1)). A5. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare del x + z = x + λy + 2z = 1 x + λy + (1 + λ 2 )z = λ. (R. Se λ = si hanno 1 soluzioni date da ( 1, y, 1),y R; se λ = 2 non si hanno soluzioni; se λ = 1 non vi sono soluzioni; se λ = 1 si hanno 1 soluzioni date da ( z, 1 z, z),z R; se λ, 1, 1 la soluzione è ( 1 λ+1, 1 λ+1, 1 λ+1 )). A6. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare del λx + y = 1 x + (λ + 2)z = λ x + λy = (λ 2 1)x = λ. (R. Se λ = la soluzione è (, 1, ); se λ non esistono soluzioni).

2 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 2 A7. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare del x + λy + z = x y + z = x + y z =. (R. Se λ 1 la soluzione è (,, ); se λ = 1 si hanno 1 soluzioni date da ( z 2, z 2, z),z R). A8. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare dei x + 2y 2z = 1 x y z = µ 4x + λy + 4z = 2. (R. Per λ = 8, µ R la soluzione è ( 1 2µ, 2µ 5 6, µ 1 ); per λ = 4, µ = 5 si hanno 1 soluzioni ( 1+12z 9, 2+z 9, z), z R; per λ = 4, µ 5 non esistono soluzioni, per λ 4, 8, µ R si ha la soluzione ( 2λµ+5λ 4µ+1 (λ 4), 2 λµ λ+2µ 11 λ 4, λµ+λ 8µ+26 λ 4 )). A9. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare dei λx + y + µz = µ λx + y + z = 2 µy + z =. (R. Per µ =, λ R non esistono soluzioni; per µ = 1, λ R non esistono soluzioni; per µ, 1, λ la soluzione è ( µ+2 λµ, µ 2 µ(1 µ), 2 µ 1 µ ); per µ = 2, λ = si hanno 1 soluzioni (x, 2, 4 ), x R; per µ 2,, 1, λ = non esistono soluzioni). A1. Determinare con il metodo di riduzione gaussiana, tutte le soluzioni del sistema lineare al variare dei parametri λ R λx + y + z + t = x y + t = 2x + z + t = λx + y + 2z =. (R. Per λ = si hanno 1 soluzioni (t, 2t, t, t), t R; per λ = 1 si hanno 1 soluzioni ( t 2, 2t, 2t, t), t R; per λ = si hanno 1 soluzioni ( t 4, 5 4 t, 2 t, t), t R; per λ, 1, si hanno 1 soluzioni ( t 1 λ, t λ 2 λ 1, t λ 1 λ, t), t R)). B: Matrici, Determinante, Rango, Matrice Inversa B1. ( Verificare ) che il prodotto ( ) righe per colonne delle due seguenti matrici non è commutativo: A = e B =. 1 ( ) ( ) (R. AB = e BA = ). B2. Verificare che il prodotto righe per colonne delle due seguenti matrici è nullo: A = e B = B. Calcolare det con la regola di Sarrus, con lo sviluppo di Laplace e mediante la riduzione 1 2 gaussiana (o, equivalentemente, con il prodotto di matrici elementari). (R. 5).

3 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici B4. Calcolare det 9 81 mediante la riduzione gaussiana (o, equivalentemente, con il prodotto di matrici elementari). (R. 12) B5. Calcolare det mediante lo sviluppo di Laplace (R. 28). 1 2 B6. Calcolare det (R. ). λ 1 B7. Calcolare, al variare di λ R, det A e rank (A) dove A = λ 2 (R. det(a) = λ 2 ; se λ =, allora rank (A) = 2; λ, allora rank (A) = ). B8. Calcolare, al variare di λ, µ R, rank (A) dove A = µ. 4 λ 4 2 (R. Se λ 4, µ R allora rank (A) = ; se λ = 4, µ 1 2 allora rank (A) = ; se λ = 4, µ = 1 2 allora rank (A) = 2). λ µ λ λ B9. Calcolare, al variare di λ, µ R, rank (A) dove A = µ λ λ (R. Se λ =, µ = 1 allora rank (A) = 2; se λ =, µ 1 allora rank (A) = ; se λ, µ = 1 allora rank (A) = ; se λ, µ 1 allora rank (A) = 4) B1. Calcolare, al variare di λ R, rank (A) dove A = λ λ 1 λ 1 1 2λ (R. Se λ = 1 2 allora rank (A) = 2; se λ 1 2 allora rank (A) = ). λ B11. Calcolare, al variare di λ R, rank (A) dove A = λ 2 (R. rank (A) = per ogni λ R). λ B12. Calcolare, al variare di λ R, rank (A) dove A = 1 1 λ + 1 λ λ (R. Se λ = allora rank (A) = 2; se λ = 2, allora rank (A) = ; se λ, 2, allora rank (A) = 4). λ 1 B1. Sia data la matrice A λ = λ λ 1 λ 2 λ. Calcolare rank (A λ) per ogni λ in R. λ λ 1 λ C: Sistemi lineari: Teorema di Rouché-Capelli; Teorema di Cramer

4 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 4 C1. Risolvere gli esercizi della sezione A utilizzando il teorema di Rouché-Capelli ( per determinare l esistenza delle soluzioni) e il teorema di Cramer per calcolarle. C2. Utilizzando quanto visto nell esercizio B9, risolvere, utilizzando il teorema di Rouché-Capelli (per determinare l esistenza delle soluzioni) e il teorema di Cramer per calcolarle, il sistema lineare al variare dei λx + µy + (λ 2 + 1)z = λ µx + λz = y + z = x + (λ + 1)y + z =. (R. Se λ, µ R allora non esistono soluzioni; rank (A) = 2; se λ =, µ = 1 allora esistono 1 soluzioni (, z, z), z R; se λ =, µ 1 allora esiste una unica soluzione (,, )). D: Matrici: Calcolo della matrice inversa D1. Per le matrici del punto B che la ammettono calcolare le matrici inverse utilizzando sia il metodo di riduzione totale di Gauss che il metodo degli aggiunti (e facendo la verifica finale). D2. Dopo aver verificato che A = è invertibile, calcolarne la matrice inversa utilizzando sia il 1 1 metodo di riduzione totale di Gauss che il metodo degli aggiunti (e facendo la verifica finale). (R. A 1 = ) E: Esercizi misti 1 λ λ E1. Sia A λ = 2 λ 1. Utilizzando il metodo di Gauss, si calcolino rank (A λ) e det(a λ ) per ogni λ 2 1 λ R. Esiste (A 1 ) 1? Risolvere A x = ( 2 1 ) T. 1 1 E2. Sia A α = α α 1 α e b α = α α. Al variare di α R, si discuta l esistenza delle soluzioni 1 α α del sistema lineare A α x = b α, precisandone il numero e in dipendenza di quale variabile libera esse sono espresse. Dire inoltre per quali α R, A α ammette inversa e calcolare tale inversa per α = 1. (Si utilizzi il metodo di eliminazione totale di Gauss). 1 1 α E. Sia A α = α α 1 α 1 α e b α = α 1. Al variare di α R, si discuta l esistenza delle soluzioni 1 α α del sistema lineare A α x = b α, precisandone il numero e la eventuale variabile libera con cui esse possono essere espresse. Determinare tutte le soluzioni, se esistono, del sistema A 1 x = b 1. Dopo aver calcolato det A α, si dica per quali α R esiste A 1 α. α 1 α E4. Sia A α = α Al variare di α R, si determini il rango di A α, utilizzando il metodo di Gauss. Determinare, se esistono, tutte le soluzioni del sistema A 1 x = b, dove b = ( ) T. Si calcoli (se esiste) A 1, utilizzando il metodo di Gauss, di eliminazione totale. 1 E5. Sia A = 4. Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, si calcoli rank A e det A Inoltre, se esiste, si calcoli A 1 mediante eliminazione totale sulla matrice [A I].

5 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 5 2λ λ 1 E6. Sia A λ = λ e b λ = 2λ. Discutere, al variare di λ R, il sistema A λ x = b λ 2λ λ 1 4λ (dicendo, per ogni λ R, se il sistema ha, oppure no, soluzioni e, se ne ha, specificare quante ne ha). Risolvere il sistema per λ = 1 e per λ = 2. 1 λ 1 λ E7. Sia A λ = 1 1 λ 1 1 λ 1 λ. Si calcoli, per ogni λ R, il rango di A λ. (si consiglia di utilizzare λ 1 λ il metodo di eliminazione di Gauss). Si ponga λ = e si calcoli, se esiste, A 1 (si consiglia di utilizzare il metodo di eliminazione sulla matrice pluriaumentata). 1 2 λ 1 E8. Sia A λ = 2 λ 1 1 e b λ = ( λ 1 λ ) T. Si discuta, per ogni λ R, l esistenza delle soluzioni 2 4 λ del sistema A λ x = b λ. Calcolare tutte le soluzioni del sistema A λ x = b λ per λ = e λ = 1. 1 λ 2 E9. Sia A λ = λ 1 1 λ Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss si calcolino, per ogni 1/2 λ λ R, rank A λ e det A λ. Posto λ = 1 e b = ( 1 a ) T, si dica per quali valori reali di a esistono soluzioni del sistema lineare A 1 x = b. E1. Siano A λ = 1 λ λ λ e b = ( 1/2 1/2 ) T. Si discuta, per ogni λ R, l esistenza 1 λ 1 λ delle soluzioni del sistema A λ x = b. Si indichi, in caso esistano soluzioni, quante esse siano e, nel caso sia necessario, si indichi quali sono le variabili libere.calcolare tutte le soluzioni (se esistono) del sistema A λ x = b per λ = 1 e per λ = 1/2. E11. Determinare per quali valori del parametro reale k il seguente sistema ammette infinite soluzioni: x ky + z = 1 x + ky z = x y + z = 2. (R. k = 1.) E12. Discutere, al variare di k R, la risolubilità del sistema: z + ky = 2 x + y = 1 x + z =. (R. se k 1 una sola soluzione: ( k+2 k+1, 1 k+1, k+2 k+1 ); k = 1 nessuna soluzione.) E1. Discutere, al variare di k R, la risolubilità del sistema omogeneo: x + (k 2)y + z = kx + y z = x y + kz =. (R. se k o k 1 soluzione nulla; se k = l insieme delle soluzioni è: < (1, 1, 1) >; se k = 1 l insieme delle soluzioni è: < (1, 1, ), (, 1, 1) >.) E14. Risolvere, se possibile, il sistema lineare: 2x + y z = 2 x y + 2z = 2 2x 2y + 4z = 4. (R. {(1 h, 1 + h, 1 + h) h R}.)