Esercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a

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1 26 Esercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a Parte V. Anelli Nota. Salvo contrario avviso il termine anello sta per anello commutativo con identità. Es Provare che per ogni intero n 2 i polinomi in una indeterminata X a coefficienti in Z n con le usuali operazioni di somma e prodotto formano un anello Z n [X]. Per quali n l anello Z n [X] è integro? per quali n è un corpo? Es Siano A e B anelli, provare che A B con le operazioni definite componente per componente è un anello. E un anello integro? Provare che A B è commutativo se e solo se A e B sono commutativi. Es Sia G un gruppo abeliano. Provare che l insieme End(G) degli omomorfismi di gruppo di G in sé, è un anello (non necessariamente commutativo) con identità rispetto alle operazioni così definite: se f, g End(G) allora f + g è l omomorfismo dato da (f + g)(x) = f(x) + g(x) e f g = f g. Es a) Provare che il più piccolo sottoanello di R che contiene Q e 5, denotato Q[ 5], è { a + b 5 a, b Q }. b) Provare che il più piccolo sottoanello di C che contiene Z e i, denotato Z[i], è { a + b i a, b Z }. c) Provare che il più piccolo sottoanello di R che contiene Q e 3 2, denotato Q[ 3 2], è { a + b c 3 4 a, b, c Q }. d) Provare che Q[ 5], Z[i] e Q[ 3 2] sono anelli integri. Es Siano x e y due elementi di un anello. Provare che per ogni intero positivo n si n ( ) n ha (x + y) n = a k b n k. k k=0 Es Provare che Z p è un corpo se e solo se p è un numero primo. Es Quali sono gli elementi zero-divisori e quali sono gli elementi invertibili di Z, Z 20, Z 11, Z n, Z Z, Z[i]? Es Provare che il polinomio 1 + 2X è invertibile in Z 4 [X]. Es Sia A un anello integro. Provare che a) f(x) A[X] è invertibile se e solo se f A e f è invertibile in A. b) A[X] non è un corpo. Es Provare che Q[ 2] = { a + b 2 a, b Q } è un corpo. Es Sia F(R) = { f : R R f funzione }. Se f, g F (R) definiamo f + g e f g ponendo (f +g)(x) = f(x)+g(x) e (f g)(x) = f(x)g(x), per ogni x R. Provare che F(R)

2 27 è un anello non integro e che le funzioni continue costituiscono un suo sottoanello C(R). Tale sottoanello è integro? Es Sia A un anello e sia x A tale che x n = 0 per qualche n N. Provare che 1 x è invertibile. Es Provare che un elemento invertibile non può essere zero-divisore. Es Siano A un anello, x, y A due elementi non nulli. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 1. x, y invertibili = x + y invertibile; 2. xy invertibile = x, y invertibili; 3. x zero divisore = xy zero divisore; 4. x e y zero divisori = xy zero divisore; 5. xy zero divisore = x oppure y è zero divisore; 6. xy zero divisore = x e y sono zero divisori; 7. x e y zero divisori = x + y zero divisore; 8. x + y zero divisore = x zero divisore. Es Sia A un anello con identità, integro e finito. Provare che A è un corpo. Es Provare che Z è un sottoanello di Q ma non è un suo ideale. Es Sia A un sottoanello di un anello B, allora A[X] è un sottoanello di un anello B[X]. A[X] è un ideale di B[X]? Es Determinare tutti gli ideali di Z 12. Es Provare che X 5 + 4X 4 + 4X + 1 appartiene all ideale di Z 5 [X] generato da 2X 3 + 2X Es Sia I un ideale di Q[X] che contiene i polinomi X 5 3X 2 + 4X 3 e X 2. Provare che I = Q[X]. Es Trovare tre ideali distinti di Q[X] che contengono il polinomio X 3 + X. Es Mostrare che l ideale di Z 6 [X] generato da 2 e 3X è uguale all ideale generato da 2 + 3X. Es Mostrare che l ideale di Z[i] generato da 2 i è proprio e coincide con l ideale generato da 1 + 2i.

3 28 Es In Q[X] dividere il polinomio f(x) = 2X 4 + X 2 X + 1 per il polinomio g(x) = 2X + 1 e verificare che l ideale I = (f(x), g(x)) è improprio. Es Sia I l ideale di R[X] generato da f(x) = 2X 4 3X + 1 e g(x) = X 3 X. Provare che I contiene un polinomio di secondo grado. Provare che I = (X 1). Es Sia I l ideale di Q[X] generato da f(x) = X 5 +2X 4 +X 3 +X+1 e g(x) = X 3 X. Provare che X + 1 I e determinare A(X), B(X) Q[X] tali che X + 1 = A(X) f(x) + B(X) g(x). Es Siano I l ideale di Z[X] generato da f(x) = 5X 3 + 3X e g(x) = X + 2 e J = (19, g(x)). Provare che I = J. Es Sia I l ideale di Z[X] generato da X e X 3 1. Provare che I = (X + 1, 2). Es Verificare che in Z 5 [X] il polinomio f(x) = 2X 3 + X 2 + 3X + 4 sta nell ideale I = (3X + 2). Es In Q[X] esiste un ideale generato da un polinomio di grado 1 che contiene l ideale generato da f(x) = X 4 X 2 + 5X 2? Es Provare che ogni ideale di Z Z è principale. Es Siano A un anello integro e I, J due ideali non nulli di A. Provare che I J (0). Es Sia k un corpo. Mostrare che gli unici ideali di k sono (0) e k. Es Siano A un anello, x A un non zero-divisore, a, b A tali che a x = b x. Provare che a = b. Dare un controesempio nel caso che x sia uno zero-divisore. Es Stabilire se le seguenti applicazioni sono omomorfismi di anelli e, nel caso lo siano, determinarne nucleo e immagine. a) φ : C C data da φ(a + b i) = a b i ; b) φ : R[X] R data da φ(f(x)) = f(1) ; c) φ : R[X] C data da φ(f(x)) = f(i) ; d) φ : M 2 (R) R data da φ(a) = det(a) ; e) φ : R R[X] data da φ(a) = a ; f) φ : End(Z) Z data da φ(f) = f(1) ; g) φ : Z Z 12 data da φ(n) = 2n. Es Esiste un omomorfismo non nullo di anelli f : Q[ 2] Q[ 3]? Es Sia φ : Z[X] Q l omomorfismo di anelli dato da φ(f(x)) = f(1/2). Provare che Ker(φ) = (2X 1).

4 Soluzione di alcuni esercizi 29 Soluzione di alcuni esercizi Es. 157 b) Se z = a + i b, w = c + i d Z[i] allora z w = (a c) + i (b d) Z[i] quindi Z[i] è un sottogruppo di C ; inoltre zw = (ac bd) + i (ad + bc) Z[i] quindi Z[i] è un sottoanello di C. d) Sono integri perchè sottoanelli di anelli integri. Es. 159 Poiché Z p è finito, basta provare che Z p è integro se e solo se p è un numero primo. Se p non è primo, sia p = r s con r, s < p ; allora r 0, s 0, ma r s = r s = p = 0, quindi Z p non è integro. Se p è primo e se r s = 0, si ha r s = n p, cioè p rs e quindi p divide r, cioè r = 0, oppure p divide s, cioè s = 0. Es. 160 Z[i] è un anello integro quindi non ha zero-divisori non nulli. Gli elementi invertibili di Z[i] sono {1, 1, i, i}, infatti, indicando con N(z) la norma di z, se z = Z[i] è invertibile allora esiste w Z[i] tale che zw = 1, perciò N(zw) = N(z) N(w) = N(1) = 1, quindi N(z) = 1 e z {1, 1, i, i}. D altra parte questi elementi sono tutti invertibili ( ( 1) 2 = 1, i ( i) = 1 ). Es. 161 In Z 4 [X] si ha (1 + 2X) (1 + 2X) = 1. Es. 162 a) Se A è integro anche A[X] lo è; inoltre se f(x)g(x) = 1 in A[X] allora si ha deg(f g) = deg(f) + deg(g) = deg(1) = 0, quindi deg(f) = deg(g) = 0 cioè f è invertibile in A. Il viceversa è ovvio. b) Se A[X] fosse un corpo, allora sarebbe integro e in particolare X sarebbe invertibile, cioè esisterebbe un polinomio g(x) tale che X g(x) = 1, ma questo è assurdo perché X g(x) ha grado maggiore di 0. Es. 165 Si ha: (1 x)(1 + x + x x n 1 ) = (1 + x + x x n 1 )(1 x) = 1 + x + x x n 1 x x 2... x n = 1. Quindi 1 + x + x x n 1 è l inverso di 1 x. Es. 166 Se x è invertibile in A, esiste y A tale che xy = 1. Se esistesse z A, tale che z 0 e xz = 0, si avrebbe z = z 1 = zxy = 0y = 0. Es. 167 a) è falsa: in Z, x = y = 1 sono invertibili ma x + y = 2 no. b) è vera: posto z = y(xy) 1 si ha xz = zx = 1 quindi x è invertibile; in modo analogo si mostra che y è invertibile. c) è vera: se xz = 0 con z 0, allora (xy)z = x(yz) = x(zy) = (xz)y = 0y = 0, quindi xy è zero divisore. d) è vera. e) è vera: se (xy)z = 0 con z 0, allora x(yz) = 0 ; se yz 0 allora x è uno zero divisore, se yz = 0 allora y è uno zero divisore. f) è falsa: A = Z Z, x = (1, 0), y = (1, 1) ; allora xy = (1, 0) è zero divisore, ma y, essendo invertibile, non è zero divisore. g) è falsa: A = Z Z, x = (2, 1), y = ( 1, 1). h) è falsa: A = Z Z, x = (1, 0), y = (0, 1).

5 Soluzione di alcuni esercizi 30 Es. 168 Sia a A, a 0 ; poiché A è finito esistono n, m Z con m < n ed a m = a n 0. Allora a m (1 a n m ) = 0. Poiché a non divide 0, a n m = a n m 1 a = 1, e quindi a è invertibile. Es. 175 In Z 6 [X] si ha: 2 = 4 (2 + 3X) e 3X = 3 (2 + 3X) quindi (2, 3X) (2 + 3X). L inclusione opposta è ovvia. Es. 176 La prima affermazione segue dal fatto che 2 i non è invertibile in Z[i], la seconda dal fatto che 2 i e 1 + 2i sono elementi associati di Z[i] infatti 2 i = ( i) (1 + 2i) e i è invertibile. Es. 178 In R[X] si ha f(x) = g(x)(2x) + 2X 2 + 5X + 1 e quindi 2X 2 + 5X + 1 = f(x) g(x)(2x) I. Poiché X 1 divide sia f(x) che g(x), si ha che I (X 1) ; l inclusione opposta segue dal fatto che X 1 è il massimo comun divisore in R[X] di f(x) e g(x), quindi (identità di Bezout) esistono A(X) e B(X) in R[X] tali che X 1 = A(X)f(X) + B(X)g(X). Es. 179 Si ha (algoritmo euclideo): f(x) = g(x) (X 2 + 2X + 2) + (2X 2 + 3X + 1) g(x) = (2X 2 + 3X + 1) ( 1 2 X 3 4 ) + ( 3 4 X ) 2X 2 + 3X + 1 = ( 3 4 X ) ( 8 3 X ) quindi ( 3 ) (g(x) (2X 2 + 3X + 1)( 12 X 34 ) ) X + 1 = X + 3 = (g(x) [f(x) g(x)(x 2 + 2X + 2)]( 12 X 34 ) ) = 4 3 = ( 43 (12 X 34 ) ) f(x) + ( 4 3 (1 (X2 + 2X + 2)( 1 2 X 3 ) 4 ) g(x) Es. 180 Per provare che I J basta provare che i generatori di I stanno in J ; il generatore g(x) è in comune, inoltre il resto della divisione di f(x) per X + 2 è f( 2) = 19, quindi f(x) = (X + 2) h(x) 19 = (X + 2) h(x) + 19( 1) J. L inclusione opposta segue dall uguaglianza 19 = f( 2) = f(x) + (X + 2)h(X). Es. 181 In Z[X] si ha X = (X 3 1)(X) + (X + 1) quindi I = (X 3 + 1, X + 1), inoltre X 3 1 = (X + 1)(X 2 X + 1) 2 quindi I = (X + 1, 2) = (X + 1, 2). Es. 182 Il resto della divisione in Z 5 [X] del polinomio f(x) per 3X + 2 è 0, quindi f(x) I. In alternativa si può osservare che 3 è invertibile in Z 5, il suo inverso è 2, quindi I = (3x + 2) = (x + 4) = (x 1) e f(1) = = 0, ciò significa che f(x) è divisibile per X 1 e pertanto sta in I.

6 Soluzione di alcuni esercizi 31 Es. 183 Se ax + b Q[X] con a 0, allora a è invertibile in Q[X] e si ha l uguaglianza di ideali (ax + b) = (X + ba 1 ), così possiamo supporre che l ideale cercato sia del tipo (X α) con α Q. Se (f(x)) (X α) allora X α divide f(x) e quindi α deve essere una radice razionale di f(x). Le eventuali radici di f(x) stanno nell insieme {±1, ±2} (vedi es.??), si ha f(1) = 3, f( 1) = 7, f(2) = 20, f( 2) = 0. Quindi (X 4 X 2 + 5X 2) (X + 2). Es. 184 Dato un ideale J di Z Z, siano J 1 = { x Z a Z, (x, a) J }, J 2 = { y Z b Z, (b, y) J }. Poiché J 1 e J 2 sono ideali di Z che è principale, si ha J 1 = (α) e J 2 = (β), e siccome J 1 J 2 = αz β = (α, β)z, J 1 J 2 è principale. La conclusione segue dalla uguaglianza J = J 1 J 2. Infatti se (x, y) J 1 J 2, allora esistono x, y Z tali che (x, a) J e (b, y) J ; allora (x, y) = (1, 0)(x, a) + (0, 1)(b, y) J. L altra inclusione è ovvia. Es. 185 Se 0 x I e 0 y J, allora xy 0 e xy I J. Es. 186 Se I è un ideale non nullo di k, allora I contiene un elemento invertibile e quindi I = k. Es. 187 a x = b x = 0 = a x b x = (a b) x, ed essendo x un non zero-divisore, si ha a b = 0, cioè a = b. Se A = Z 8, x = 2, a = 1, b = 5, si ha a x = 2 = 10 = b x ma a b. Es. 189 Sia f un tale omomorfismo, allora f(2) = 2 ; inoltre se f( 2) = a + b 3 Q[ 3] si deve avere 2 = f(2) = f( 2 2) = f( 2) f( 2) = (a + b 3) 2 = (a 2 + 3b 2 ) + 2ab 3. Ne segue che ab = 0, quindi a = 0 oppure b = 0, ma in entrambi i casi si ha un assurdo (se a = 0 deve essere 2 = 3b 2, se b = 0 deve essere 2 = a 2 ). Es. 190 L inclusione (2X 1) Ker(φ) è banale. Proviamo l inclusione opposta. Sia f(x) = t i=0 n ix i Ker(φ), allora Allora ( 1 i n i = 2) i=0 t i=0 n i 2 t i 2 t = 0 e quindi n i 2 t i = 0 i=0 f(x) = f(x) 0 = ( n i X i X t i=0 i=0 n i 2 t i ) = ( n 0 X t n 0 2 t) + ( n 1 X X t n 1 2 t 1) +... = n 0 (2 t X t 1) n 1 X(2 t 1 X t 1 1)... n t 1 X t 1 (2X 1) n t X t (1 1) = (2X 1) A(X)