Esercizi sugli A-moduli liberi, sui gruppi abeliani finitamente generati e sulle forme canoniche degli endomorfismi degli spazi vettoriali

Transcript

1 Esercizi sugli A-moduli liberi, sui gruppi abeliani finitamente generati e sulle forme canoniche degli endomorfismi degli spazi vettoriali.) Siano A un anello commutativo con unità e L un A-modulo libero di rango s. Indicata con {e,..., e s } una base di L, siano {v i } elementi di L tali che (v,..., v s ) = (e,..., e s )X, dove X è una matrice di ordine s con elementi in A. Si dimostri che sono equivalenti i seguenti fatti: a) X è invertibile. b) {v,..., v s } è una base di L. c) {v,..., v s } è un sistema di generatori di L..2) Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottomoduli: K = (5, 2), (3, 0), (2, 4) Z 2, H = (2, 4, 6), (3, 6, 9), (5, 0, 5) Z 3, N = (2, 3,, 6), (4, 7, 3, 4), (0,,, 2), (9,, 0, 2) Z 4. In tutti i casi si dica se quozientando Z n con il corrispondente sottomodulo si ottiene uno Z-modulo libero..3) Vero o falso? a) (6, 24) può essere un elemento di una base di Z 2. b) (9, 8, k) fa parte di una base di Z 3 se e solo se k non è divisibile per 9..4) Sia A un anello commutativo con unità. Si provi che se ogni A-modulo M è libero, allora A è un campo..5) Sia A un PID e f : A n A m un omomorfismo di A-moduli. a) Si provi che se rv ker f con r A, r 0, e v A n, allora v ker f. b) Si provi la relazione rango (ker f) + rango (Im f) = n..6) Si consideri il gruppo abeliano G definito dalla presentazione G = x, y, z x + 5y + 4z = 3x + 8y z = x + 2y + 9z = 0. a) Considerato uno Z-modulo libero su tre elementi F = e, e 2, e 3 e detto ϕ l omomorfismo F G tale che ϕ(e ) = x, ϕ(e 2 ) = y, ϕ(e 3 ) = z, si determini il rango di ker ϕ. b) Si provi che il gruppo G è ciclico e se ne determini un generatore g in funzione di x, y e z. c) Trovare gli interi h e k tali che x = hg e z = kg.

2 .7) Si considerino i seguenti gruppi abeliani: G = a, b a + 5b = 0,.8) G 2 = a, b a + 5b = 2a 4b = 0, G 3 = a, b a + 5b = 2a 4b = 4a + 9b = 0, G 4 = a, b 6a + 0b = 8a + 4b = 0, G 5 = a, b 6a + 0b = 9a + 5b = 0, G 6 = a, b 6a + 0b = 9a + 6b = 0, G 7 = a, b 2a + 6b = 8a + 24b = 0, G 8 = a, b 6a + b = a + 2b = 0, G 9 = a, b 6a + b = 2a + 4b = 0. Stabilire quali tra i gruppi G i sono infiniti, finiti, ciclici, non ciclici, privi di torsione, decomponibili, indecomponibili. In quali casi G i è il gruppo banale? Quali G i sono isomorfi? È dato il gruppo abeliano G = a, b, c 2a 3c = 7b + 5c = 0. Provare che G è ciclico infinito e determinarne un generatore g in funzione di a, b e c. Esprimere a, b e c come multipli interi di g..9) È dato il gruppo abeliano G = a, b 70a + 20b = 45a + 0b = 0. a) Determinare gli invarianti di torsione di G e la decomposizione di G come somma diretta di due sottogruppi ciclici H e K. b) Trovare i generatori di H e K in funzione di a e b. c) Determinare gli invarianti primari e le componenti primarie di G. d) Calcolare il periodo di a e il periodo di 3a 5b. e) È vero o falso che G a 2b 3a 5b? f) È vero o falso che 7a + 5b = 2a 5b? e che 7a 25b = 2a 35b?.0) Provare che il gruppo abeliano G = a, b, c 2a + 2b = a 6b + 5c = 4a + b + 5c = 0.) è ciclico finito. Determinarne l ordine e un generatore in funzione di a, b e c. Trovare i periodi di a, b e c e le componenti primarie di G. È dato il gruppo abeliano G = a, b, c, d a + 3b 2c + d = a 7b + 8c 5d = 2a + b + c d = 0. Si verifichi che G è infinito. G è isomorfo a Z? Si esprima G come somma diretta di sottogruppi ciclici e si determini un generatore di ciascun addendo..2) Trovare gli invarianti di torsione e gli invarianti primari del gruppo abeliano G = Z 0 Z2 Z8 Z30. Determinare le componenti primarie di G e la decomposizione di G come somma diretta di sottogruppi indecomponibili.

3 .3) Trovare l ordine del sottogruppo ciclico più grande contenuto nel gruppo G = Z 30 Z20 Z0..4) Determinare tutti i gruppi abeliani di ordine 300 a due a due non isomorfi. Stessa domanda per i gruppi di ordine In entrambi i casi si calcolino gli invarianti di torsione dei gruppi trovati..5) I gruppi Z 2 Z72 e Z 8 Z48 sono isomorfi? Stessa domanda con Z 72 Z84 e Z 36 Z68..6) È dato il gruppo G = Z 2 Z3 Z4 Z9. Trovare le coppie di interi positivi (a, b) tali che G Z a Zb. ([ ]) [ x x y 2.) Nello spazio vettoriale IR 2 è dato l endomorfismo α = y 2x IR 2 modulo sull anello IR[x] [ ] mediante il prodotto [ ] p (x) v = p (α)(v). 2 a) Calcolare: (x 3 ), (x 4 + 2x). ]. Ciò rende [ ] 0 b) Verificare che il modulo IR 2 può essere generato da. c) Verificare[ che ] l annullatore [ ] di IR 2 è x 2 x + 2 e determinare un polinomio p (x) 0 tale che = p (x) ) Stabilire qual è l annullatore di IR 3, considerato come IR[x]-modulo mediante α, nei seguenti casi: α x y = z x, α x y = 3z 3z, z y z 3z α x y = 0 y, α x y = x y + z 0. z 2z z x y + z 2.3) Si consideri l endomorfismo di IR 3 così definito: α x z y = 2x + 2y + z z x + 2z a) Determinare la forma canonica razionale e la forma canonica di Jordan di α. b) Trovare le basi di IR 3 relative alle forme canoniche suddette. c) La forma canonica primaria di α differisce da quella razionale? In caso affermativo se ne scriva la matrice e si determini la base relativa.

4 2.4) Si consideri l endomorfismo di IR 4 così definito: x y 0 0 α = z 0 0 w 2 Determinare le forme canoniche razionale, primaria e di Jordan di α, e le basi relative. 2.5) Si conosce la forma normale di Smith della matrice xi A, dove A Mat 3,3 (Q). In ciascuno dei seguenti casi si dica quali sono le forme canoniche di A (razionale, primaria e, se esiste, di Jordan). M = x 0, 0 0 x 2 3x + 2 M 3 = , 0 0 x 3 4x 2 + 5x 2 M 2 = M 4 = x y z w x (x 2) 2, x 3 25x ) È dato l endomorfismo dello spazio vettoriale Q3 definito da ϕ x y = x y z 0 z Determinare le forme canoniche di ϕ (razionale, primaria e, se esiste, di Jordan) con le corrispondenti basi. 2.7) Si consideri l endomorfismo α di (Z 2 ) 4 individuato dalla matrice A = Determinare le forme canoniche razionale e primaria di α e le basi relative. Esiste per α la forma canonica di Jordan? 2.8) Sia α l endomorfismo di K 3 definito da α x 88y y = 40x + 57z z 4y + 8z Trovare i fattori invarianti, le forme canoniche di α e le relative basi nei seguenti casi: K = Z 2, K = Z 5, K = Z 7, K = Z. 2.9) Stabilire se le seguenti matrici rappresentano lo stesso endomorfismo di IR 3 rispetto a basi diverse: ,

5 2.0) Stabilire quali tra le seguenti matrici sono simili su Q: 0 0, 0 0, , ) Stabilire se le seguenti matrici sono a due a due simili su IR: , 3 3 3, ) Stabilire se le seguenti matrici rappresentano lo stesso endomorfismo di K 3 nei casi K = Q e K = Z 5 : , RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI B. HARTLEY T.O. HAWKES Rings, modules and linear algebra, ed. Chapman and Hall 970. P.M. COHN Algebra, vol., ed. John Wiley 989. I.N. HERSTEIN Algebra, Editori Riuniti In questo testo viene detta razionale la forma canonica che nel corso è stata chiamata primaria. P.A. GRILLET Abstract Algebra, ed. Springer V.V. VOJEVODIN Algèbre linéaire, ed. MIR 976. In questo testo si trova una presentazione della forma canonica di Jordan secondo gli strumenti propri dell Algebra lineare.

6 ARGOMENTI E TEOREMI PRINCIPALI. PRODOTTI E SOMME DIRETTE. Prodotto diretto esterno di gruppi; prodotto diretto interno di sottogruppi di un gruppo. Componenti primarie di un gruppo abeliano finito. TEOR. Ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di sottogruppi ciclici. 2. TEOREMI DI DECOMPOSIZIONE DI UN MODULO SU UN PID. Moduli su un anello. Generatori di un A-modulo, moduli ciclici; elementi linearmente indipendenti, basi di un modulo, moduli liberi. Analogie e differenze con gli spazi vettoriali. TEOR. Ogni A-modulo è immagine omomorfa di un A-modulo libero. TEOR. Tutte le basi di un modulo libero finitamente generato su un anello commutativo con sono finite e hanno lo stesso numero di elementi. TEOR. Ogni sottomodulo S di un modulo libero F su un PID è libero e si ha rk S rk F. Forma normale di Smith: ogni matrice H su un PID è equivalente a una matrice diag (d, d 2,..., d r ), con d d 2... d r. TEOR. Ogni A-modulo M finitamente generato su un PID è somma diretta di sottomoduli ciclici: M A d A d 2... A d r A... A, dove i d i (invarianti di torsione di M) sono 0, non invertibili in A e d d 2... d r. Elementi e moduli di torsione; annullatore di un modulo. Moduli decomponibili, indecomponibili, primari. TEOR. Ogni A-modulo M finitamente generato su un PID è somma diretta di sottomoduli ciclici primari e di sottomoduli liberi di rango. Più precisamente, se T è il sottomodulo di torsione di M e Ann (T ) = d e d = up α pα pα k k è una decomposizione di d mediante primi non associati, allora si ha M A p α A p α A p α k k A p α 2k k... A... A. 3. APPLICAZIONI ALLA TEORIA DEI GRUPPI. Teoremi di decomposizione dei gruppi abeliani finiti o finitamente generati. Struttura dei gruppi abeliani assegnati mediante generatori e relazioni. 4. APPLICAZIONI ALL ALGEBRA LINEARE. Lo spazio vettoriale V sul campo K pensato come K[x]-modulo mediante un endomorfismo ϕ. Forme canoniche di un endomorfismo di V : forma canonica razionale, primaria e di Jordan.