Prova scritta di Approfondimenti di Algebra. 10 Gennaio 2008

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1 10 Gennaio Nell anello Mat 3 (Q): (a) si determini la forma normale di A = (b) si trovi B tale che rango(b 2 ) < rango(b) ; 3. Considerando M := Z 24 Z 15 Z 30 come Z-modulo, se ne determinino: 1) i divisori elementari e la decomposizione primaria; 2) i fattori invarianti e la forma normale; 3) l ordine M, il minimo numero di generatori e l annullatore; 4) un insieme di generatori di cardinalità minima. 3. Siano A Mat n (C), V = C n, λ C. Si supponga V = U +W con AU U, AW W. Posto V λ := {v V Av = λv} si dimostri che è : V λ = U λ +W λ dove U λ := {u U Au = λu} e W λ := {w W Aw = λw}. 4. Data A = ) la forma canonica razionale; 2) la forma canonica di Jordan ; 3) gli autovalori e gli autospazi. Mat 3 (C), se ne determinino: 5. Sia A Mat n (C) tale che A 3 = I. Si dimostri che A è diagonalizzabile e che i suoi autovalori appartengono all insieme { 1, ω, ω 2} con ω = e 2πi 3. 1

2 17 Marzo Si consideri il gruppo abeliano M := Z 20 Z 9 Z ed i suoi elementi: m 1 := ([5] 20, [0] 9, 0), m 2 := ([6] 20, [0] 9, 3). a) Si calcolino Ann Z (m 1 ) e Ann Z (m 2 ) ; b) si scriva la sequenza dei fattori invarianti di M e la sua forma normale; c) si determini un insieme di generatori di M di cardinalità minima; d) si dica se {m 1, m 2 } è un insieme di generatori di M. 2. Siano M e N sottomoduli di un R-modulo L. Si dimostri che: a) M + N e M N sono sottomoduli; N b) i moduli quoziente M N e M+N M sono ismorfi. 3. In Mat 3 (C) si consideri la matrice A = r 1 In relazione a r si calcolino autovalori e autovettori di A, la sua forma canonica di Jordan, e la sua forma canonica razionale.. 4. Si consideri B = Mat 3 (Q). Si calcolino una forma normale B di B e due matrici P, Q GL 3 (Q) tali che P BQ = B. 5. Si scrivano una matrice non diagonalizzabile C e una matrice diagonalizzabile D di Mat 4 (C) i cui autovalori sono 0 e 3. 2

3 11 Dicembre Dato lo Z-modulo M = Z 98 Z 180 se ne determinino: i divisori elementari e la decomposizione primaria; i fattori invarianti, e la forma normale; un insieme di generatori di cardinalità minima. Si indichi un elemento di M il cui annullatore è 7Z. 2. Data A = Mat 3 (C), se ne calcolino: la forma canonica razionale e quella di Jordan; autovalori e autospazi. Si determini una matrice P tale che P 1 AP sia diagonale. 3. Siano GL n (C) il gruppo delle matrici invertibili n n a elementi complessi, C il gruppo additivo di tutti i numeri complessi e C il gruppo miltiplicativo dei numeri complessi non nulli. Si indichino: un omomorfismo f : C GL 2 (C); un omomorfismo h : C GL 2 (C); una matrice non diagonalizzabile di GL 3 (C) con autovalori 1 e Si consideri il Q[x]-modulo M = Q[x] x 3. a) si determinino gli annullatori, in Q[x], di ciascuno degli elementi: m 1 = x 3 + x + 1, m 2 = x 3 + x; b) detti M 1 = Q[x]m 1 e M 2 = Q[x]m 2 i sottomoduli generati da m 1 e da m 2, si dimostri che M 1 = M, mentre 0 < M 2 < M. b) Considerando M come spazio vettoriale su Q, se ne determini una base B e la matrice, rispetto a B, della moltiplicazione per x

4 8 Gennaio Sia α : C 3 C 3 l applicazione tale che: x x + 2y + z y z 3x 2z x + 3y + z Si dimostri che α è lineare; si scriva la matrice A di α rispetto alla base canonica; si calcolino la forma canonica razionale e quella di Jordan di A. A è diagonalizzabile?. 2. Dato il C[x]-modulo M = C[x] x 3 1 C[x] x 2 x se ne determinino: i divisori elementari e la decomposizione primaria; i fattori invarianti, e la forma normale; l annullatore; la dimensione e una base come C-modulo. 3. Sia M un D-moduli sinistro e siano N, M 1, M 2 sottomoduli di M. Si dimostri che: se M è finitamente generato, anche il quoziente M N lo è ; se M 1 e M 2 sono finitamente generati, anche la somma M 1 + M 2 lo è ; si dia un esempio di un R-modulo non finitamente generato. 4. Si determinino la forma normale A di ( ) A = Mat ,3 (Q) e due matrici invertibili P, Q tali che A = P AQ. 4

5 19 Marzo Si consideri il gruppo abeliano M := Z 25 Z 4 Z ed i suoi elementi: m 1 := ([10] 25, [0] 4, 0), m 2 := ([15] 25, [0] 4, 2). a) Si calcolino Ann Z (m 1 ) e Ann Z (m 2 ) ; b) si determini un insieme di generatori di M di cardinalità minima; c) si dica se {m 1, m 2 } è un insieme di generatori di M. 2. Si consideri la matrice A = Mat 3 (C) a) Si determini la forma canonica razionale e quella di Jordan. b) Si dica se A è diagonalizzabile, motivando la risposta. c) Data la matrice B = Mat 3 (C), si dica se A e B sono coniugate, motivando la risposta. d) Si determinino autovalori e autospazi di A. 3. Dato il C[x]-modulo M = C[x] x 3 1 C[x] x 2 1 se ne determinino: i divisori elementari e la decomposizione primaria; i fattori invarianti e la forma normale; l annullatore; la dimensione e una base come C-modulo. 4. Siano M e M due D-moduli isomorfi. Si provi che Ann(M) = Ann(M ). 5. Si scriva una matrice di Mat 4 (Q) il cui polinomio minimo sia x

6 9 Luglio Considerato lo Z-modulo M = Z 6 Z 9 Z 75 Z 75 se ne calcolino: a) i divisori elementari e la decomposizione primaria; b) la sequenza dei fattori invarianti e la forma normale. Si indichi qualche elemento di M il cui annullatore è 25Z. 2. Siano R un anello, M un R-modulo generato dal sottoinsieme {m 1, m 2 }. Si dimostri che Ann(M) = Ann(m 1 ) Ann(m 2 ). 3. Si dia un esempio di due Z-moduli non isomorfi con annullatore 6Z. 4. Si scriva la forma canonica razionale C di A := e si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A e quelli di C. 5. Si calcolino le forme canoniche razionali di Mat 2 (Z 3 ). 6

7 10 Settembre Considerato il C[x]-modulo M = C[x] x 2 1 C[x] x 3 1 se ne calcolino: a) i divisori elementari e la decomposizione primaria; b) la sequenza dei fattori invarianti e la forma normale. Si indichi una matrice A di Mat 5 (C) tale che C 5, considerato come C[x] modulo rispetto f(x)v := f(a)v, sia isomorfo a M. 2. Dopo aver dimostrato che i sottoinsiemi B = { (1, 0, 0) t, (1, 0, 1) t, (1, 1, 1) t}, C = { (0, 2, 0) t, (1, 1, 1) t, (3, 0, 1) t} sono basi di R 3, si scriva la matrice della applicazione identica R 3 R 3 rispetto a B e C. 3. In Mat 3 (C), si determinino la forma canonica razionale e quella di Jordan di A := e si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A. 4. In Mat 3 (C): a) si dia un esempio di due matrici non coniugate che hanno lo stesso polinomio caratteristico; b) si dimostri che una matrice A tale che A 5 = I è diagonalizzabile. 5. Dopo aver definito il rango di una matrice, si dimostri che due matrici di Mat m,n (Q) sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango. 7

8 24 Settembre Si considerino i gruppi abeliani M = Z 20 Z 8, N = Z 10 Z 16. i) Si determinino il numero degli elementi e gli annullatori di M e di N. ii) Si dica se M e N sono isomorfi, motivando la risposta. iii) Si classifichino i gruppi abeliani di ordine 160, a meno di isomorfismi. 2. Siano M, N degli R-moduli sinistri e f : M N un R-omomorfismo. i) Si dimostri che f(m) é un sottomodulo di N; ii) Sia M 0 un sottomodulo di M. Si dimostri che f(m) = f(m 0 ) se e solo se M = M 0 + Ker f. 3. Si consideri l applicazione lineare α : Q 3 Q 3 tale che x x + y 2z y z 2x y + z x. i) Si determini la matrice A di α rispetto alla base canonica di Q 3. ii) Si determinino le dimensioni di Ker α e di Im α. 4. In Mat 3 (R) si consideri la matrice Si determinino: A = a) La forma canonica di Jordan J di A; b) gli autovalori e gli autospazi di A; c) il rango di A.. 8

9 17 Dicembre Si consideri l applicazione ( lineare α ): Q 3 Q 2 la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, è A = a) Si determinino α(e 1 ), α(e 2 ), α(e 3 ), α(2e 1 e 2 + 5e 3 ). b) si trovino una ( base B di ) Q 3 e una base C di Q 2 tali che la matrice di α rispetto B, C sia Si calcolino la decomposizione primaria, la forma normale M, l annullatore e il minimo numero di generatori del gruppo abeliano M = Z 60 Z 9 Z 50. Si definisca un epimorfismo f : Z 2 M, e si calcoli Ker f. Esiste una base di Ker f come Z-modulo? 3. Considerato il D-modulo M = U + W, siano {u 1, u 2 }, {w 1, w 2 } basi di U e W rispettivamente e sia S := {u 1, u 2, w 1, w 2 }. Si dimostri che: a) S genera M; b) S è indipendente se e solo se U W = {0 M }. 4. Data A = Mat 3 (C), se ne calcolino: a) la forma canonica razionale e quella di Jordan; b) autovalori, relativi autospazi. A è diagonalizzabile? A 2 è diagonalizzabile? Si determini il sottomodulo del C[x]-modulo A C 3 generato da e 1. 9

10 14 Gennaio Nell anello Mat 2 (Z) si considerino le matrici: A = ( ) ( 3 0, B = 9 6 1) Si dimostri che il sottomodulo N di Z 2, generato dalle colonne di AB, è contenuto nel sottomodulo M di Z 2, generato dalle colonne di A; 2) si dica se N = M; 3) si calcolino tutte le forme normali di B in Mat 2 (Z). ). 2. Si calcolino la decomposizione primaria, la forma normale, l annullatore e il minimo numero di generatori del Q[x]-modulo V = Q[x] x 3 1 Q[x] x 2 2x + 1. V è libero come Q-modulo? V è libero come Q[x]-modulo? 3. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, e siano v 1, v 2 e v 3 elementi di V, con v 1, v 2 linearmente indipendenti. Si dimostri che v 1, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti se e solo se v 3 v 1, v Data A = Mat 3 (C), se ne calcolino: a) la forma canonica razionale C e quella di Jordan J; b) autovalori e relativi autospazi. Esiste qualche matrice P GL(3, C) tale che P 1 CP = J? In caso affermativo se ne trovi una. 10

11 25 marzo Ricordiamo che due matrici A, B sono equivalenti se esistono due matrici invertibili P, Q tali che B = QAP. 1) Quante sono le classi di equivalenza in Mat 4,3 (Q)? Per ciascuna di esse si indichi una forma normale e il rango. 2) Se esistono, si indichino due matrici non equivalenti di Mat 2,3 (Z) che hanno lo stesso rango. 2. Si consideri il Q-modulo (ossia lo spazio vettriale su Q): V := Q[x] x 2 3 Q[x] x ) Si trovi una base B di V ; 2) si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V V tale che v xv. 3) si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x 4 : V V tale che v x 4 v. 3. Si determinino i gruppi abeliani non isomorfi di ordine 7 3. Di ciascuno si scriva l annullatore e il minimo numero di generatori. 4. Si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale della matrice:

12 8 Aprile Considerato il gruppo abeliano M = Z 30 Z 6 Z 100, si determinino: i) l ordine, la decomposizione primaria e la forma normale di M; ii) un insieme minimo di generatori per M. 2. Sia f : M N un epimorfismo fra due moduli M, N sull anello A. Detti m, n il minimo numero di generatori per M, N rispettivamente, si dimostri che n m. Si dia inoltre un esempio in cui n < m. 3. Si consideri l applicazione lineare α : Q 3 Q 3 tale che x x + 2y + 3z y z x + y + z 3y + 4z. i) Si determini la matrice A di α rispetto alla base canonica di Q 3. ii) Si determinino una base di Ker α e una base di Im α. 4. Nell anello Mat 4 (C) si determinino la forma canonica razionale, la forma canonica di Jordan, gli autovalori e gli autospazi della matrice A =

13 8 Luglio Si considerino i gruppi abeliani M = Z 6 Z Z e N = Z 6 Z. i) Si determinino gl annullatori e i sottomoduli di torsione di M e N. ii) Si dica se M e N sono isomorfi. iii) Si classifichino i gruppi abeliani di ordine 360, a meno di isomorfismi. 2. Siano A un R-modulo sinistro e B, C due sottomoduli di A tali che A = B + C. Si dimostri che l applicazione f : C A B tale che c B + c per ogni c C, è un epimorfismo di R-moduli. Si deduca che C B C A B. 3. Si consideri l applicazione lineare α : Q 4 Q 3 tale che. x y z t x t 2x y + z 2t x + 3y 2z + 4t i) Si determini la matrice A di α rispetto alle basi canoniche di Q 4 e Q 3. ii) Si determinino delle basi di Ker α e di Im α. 4. Nell anello Mat 4 (C) si determinino la forma canonica razionale, la forma canonica di Jordan, gli autovalori e gli autospazi della matrice A =

14 9 Settembre Si determinino l ordine, i divisori elementari, la decomposizione primaria, la forma normale, i fattori invarianti, l annullatore, il minimo numero di generatori del gruppo abeliano: Z 20 Z 120 Z Si dia la decomposizione primaria del C[x]-modulo: V = Inoltre si calcolino: i) una base B di V come C-modulo; C[x] x ii) la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V V tale che x f(x) x xf(x). 3. Sia v un autovettore della matrice A relativo a λ. Si dimostri che: i) v è un autovettore della matrice A 2 relativo a λ 2 ; ii) P 1 v è un autovettore della matrice P 1 AP relativo a λ. 4. Si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale della matrice: B =

15 23 Settembre Si determinino l ordine, i divisori elementari, la decomposizione primaria, la forma normale, i fattori invarianti, l annullatore, il minimo numero di generatori del gruppo abeliano: Z 9 Z 15 Z Si dia la decomposizione primaria del C[x]-modulo: V = Inoltre si calcolino: i) una base B di V come C-modulo; C[x] x 3 1. ii) la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V V tale che x f(x) x xf(x). 3. Sia A Mat n (C) tale che A 4 = I. i) Si dimostri che A è diagonalizzabile; ii) si discuta quale è il polinomio minimo di A, in relazione ai suoi autovalori. 4. Si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale della matrice: B =

16 16 Dicembre Dato uno Z-modulo M, siano M 1, M 2 due suoi sottomoduli liberi, con rispettive basi B 1 = {m 1, m 2 }, B 2 = {m 3, m 4 }. (i) Si dimostri che B = B 1 B 2 è una base di M se e solo se M = M 1 +M 2 (somma diretta). (ii) Quando B è una base di M, si determinino i suoi fattori invarianti. 2. Si calcolino i divisori elementari, i fattori invarianti, la decomposizione primaria e la forma normale e dello Z-modulo M = Z 10 Z 15 Z 4. Esiste m M il cui annullatore è l ideale 7Z? Si motivi la risposta. 3. Siano M, N due D-moduli e M 1 M un sottomodulo di M. Considerato un D-epimorfismo ϕ : M N, si dimostri che: (i) ϕ(m 1 ) è un sottomodulo di N; (ii) ϕ(m 1 ) = N se e solo se M = Ker ϕ + M In Mat 4 (C), si calcolino la forma canonica razionale C, la forma canonica di Jordan J, autovalori e autovettori della matrice A := Si determini inoltre una matrice invertibile P tale che P 1 AP = J. 16

17 13 Gennaio Si elenchino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 125 e quelli di ordine 180. Si dica se i gruppi abeliani Z e 2Z sono isomorfi. 2. Data la matrice A := lineare α : Q 3 Q 3 tale che, per ogni v Q 3 : (i) Posto v = v Av., si calcoli α (v); Mat 3 (Q), si consideri l applicazione (ii) Detta B la base canonica di Q 3, si trovi la base C di Q 3 tale che la matrice di α rispetto B e C sia quella identica. (iii) Dopo aver determinato la forma canonica di Jordan J di A, si trovi una base B di Q 3 tale che la matrice di α rispetto B (e B ) sia J. 3. Siano M un D-modulo e M 1 M un sottomodulo di M. Si dimostri che: (i) l annullatore di M è contenuto in quello di M 1 ; (ii) si dia un esempio di M, M 1, D in cui Ann(M 1 ) Ann(M); (iii) si dia un esempio in cui M 1 M, ma Ann(M 1 ) = Ann(M). 4. In Mat 3 (C), si calcolino autovalori e autovettori, forma canonica razionale C, forma canonica di Jordan J della matrice A :=

18 24 Marzo a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 100, precisando di ciascuno l annullatore e il minimo numero di generatori; b) si dica se il gruppo additivo Z dei numeri interi è ismorfo al gruppo additivo 2Z dei numeri interi pari. 2. Siano R un anello, M, M due R - moduli e f : M M un R-omomorfismo. Dato un sottomodulo N di M si dimostri che: a) f(n) è un sottomodulo di M ; b) f(n) = f(m) se e solo se M = N+ Kerf. 3. In Mat 3 (C), considerata la matrice A = a) se ne calcolino autovalori, autovettori, forma canonica razionale e forma di Jordan; b) si indichi una base di C 3 rispetto la quale l applicazione lineare v Av, per ogni v C 3, ha matrice diagonale. 4. a) Si dimostri che una matrice A e la sua trasposta A T hanno lo stesso polinomio minimo. b) si scriva una matrice di Mat 3 (Q) il cui polinomio minimo è (x 3) 2. Tale matrice è diagonalizzabile? 18

19 7 Aprile a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 45, precisando di ciascuno l annullatore e il minimo numero di generatori; b) si dimostri esplicitamente che non esiste alcun isomorfismo fra il gruppo additivo Z Z 2 e il gruppo additivo Z. 2. Siano R un anello, M, M due R - moduli e f : M M un R-omomorfismo. Dato un sottomodulo N di M si dimostri che: a) N := f 1 (N ) è un sottomodulo di M; b) si dica se Kerf N. 3. In Mat 3 (C), considerata la matrice A = a) se ne calcolino autovalori, autovettori, forma canonica razionale e forma di Jordan; b) esiste una base di C 3 rispetto la quale l applicazione lineare v Av, per ogni v C 3, ha matrice diagonale? 4. a) Sia A una matrice il cui polinomio minimo è x 2 x + 2. Si dimostri che A 5 = A + 6I. b) si scriva una matrice di Mat 3 (C) il cui polinomio minimo è x 2 x

20 23 Giugno a) Si trovino i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti e la forma normale e del Q[x]-modulo: M := Q[x] x 2 6x + 9 Q[x] x 3 9x. b) Se ne calcoli l annullatore e un insieme di generatori di cardinalità minima. 2. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, con base B = {v 1, v 2, v 3 }. a) Posto w 1 := v 1, w 2 := v 1 + v 2, w 3 := v 1 + v 2 + v 3 si dimostri che C = {w 1, w 2, w 3 } è una base di V. x 1 b) Dato v V, e detto v B = x 2 il vettore delle sue coordinate rispetto B, si calcoli il vettore v C delle sue coordinate rispetto C. x 3 3. In Mat 3 (C) si consideri la matrice A = e se ne calcolino autovalori, autovettori, forma di Jordan e forma canonica razionale. A è diagonalizzabile? 4. Sia A Mat 3 (C). Si dimostrino le seguenti affermazioni: a) A ha inversa se e solo se non ha l autovalore nullo; b) se A ha solo l autovalore nullo, allora A 3 = 0; c) se A ha periodo 5, allora è diagonalizzabile. Si dia infine un esempio di matrice A Mat 3 (C), avente periodo 5 e determinante 1. 20

21 11 Luglio Considerati i gruppi abeliani Z Z e Z 2Z, si dica se sono isomorfi. Si indichi inoltre un insieme minimo di generatori di Z 2Z. 2. Un A-modulo M sia somma di due sottomoduli M 1 e M 2, ossia M = M 1 + M 2. Sia N un sottomodulo di M. Si provi che N = M 1 + (N M 2 ) se e solo se N che contiene M Si consideri il Q[x]-modulo : V := Q[x] x Q[x] x 2 3. Si trovi: a) una base B di V come Q-modulo, ossia come spazio vettoriale su Q; b) la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V V tale che v xv. c) la matrice, rispetto a B, di (µ x ) In Mat 4 (C) si consideri la matrice A = e se ne calcolino autovalori, autovettori, forma di Jordan e forma canonica razionale. A è diagonalizzabile? 21

22 8 Settembre Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine Sia R 2 il gruppo additivo dei vettori colonna a due componenti reali, rispetto alla somma componente per componente Si definiscano i prodotti: R R 2 R 2 rispetto al quale R 2 è un R-modulo; Mat 2 (R) R 2 R 2 rispetto al quale R 2 è un Mat 2 (R)-modulo. ( ) 1 Si ponga e 1 :=. 0 a) Considerando R 2 come R-modulo, si determini il sottomodulo generato da e 1 e si dica se {e 1 } è indipendente. b) Considerando R 2 come Mat 2 (R)-modulo, si determini il sottomodulo generato da e 1 e si dica se {e 1 } è indipendente. 3. a) Si trovino i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti e la forma normale e del C[x]-modulo: M := C[x] x 3 1 C[x] x 2 1. b) Se ne calcoli l annullatore e un insieme di generatori di cardinalità minima. 4. a) Si dimostri che se una matrice A ha l autovalore λ, allora A 2 ha l autovalore λ 2. b) In Mat 2 (C) si calcolino autovalori, autovettori, forma di Jordan e forma canonica razionale di ciascuna delle matrici: ( ), ( ) 2. 22

23 22 Settembre 2011 { ( ) ( ) 1 1 } 1. Si consideri il sottoinsieme S =, di R i) Considerando R 2 come spazio vettoriale su R, si dica se S è una base. ii) Considerando R 2 come Z-modulo, si dica se S genera R 2 e se è indipendente. 2. Si dica se l applicazione f : Z Z 3 Z 6 tale che ( ) [z]3 z [z] 6 è un omomorfismo di Z-moduli. Si determini Ker f e si dica se f è suriettiva. 3. Si determinino l ordine, i divisori elementari, la decomposizione primaria, la forma normale, i fattori invarianti, l annullatore, il minimo numero di generatori del seguente gruppo abeliano: Z 45 Z 120 Z Considerato il C[x]-modulo V = C[x] x 4 16, sia µ x : V V l applicazione: x f(x) x xf(x). Si determinino una base B di V come spazio vettoriale su C e la matrice della µ x rispetto B. Infine si calcolino gli autovalori e gli autovettori di tale matrice. 23

24 15 Dicembre (i) Si calcolino l annullatore e la forma normale dello Z-modulo M = Z 6 Z 9 Z 20 (ii) si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 54. (iii) considerato (Q, +, 0) come Z-modulo si dica se il sottomodulo 3 5, 15 7 è libero. In caso affermativo se ne indichi una base e il rango. 2. (i) Sia {m 1, m 2 } un insieme di generatori di R-modulo M. Dato r R, si stabilisca se {m 1, rm 1 + m 2 } è un insieme di generatori per M. {( ) ( )} 1 1 (ii) B =, è una base di Z 3 1 2? È una base di Q2? ( ) ( ) 1 1 (iii) In Q 2 si trovi v tale che v B = e si trovi 0 0. B A; 3. In Mat 3 (C), si consideri la matrice A = Si trovino: (i) gli autovalori di A e i corrispondenti autospazi; (ii) la forma canonica di Jordan J e la forma canonica razionale C di (iii) una matrice P GL 3 (C) tale che P 1 AP = J. 4. Si trovi una base B di V := K[x] x K[x], come K-modulo, e si scriva (x+1) 2 la matrice, rispetto a B, di µ x : V V tale che v xv. Esiste una base di V rispetto alla quale la matrice di µ x è A, definita nel precedente esercizio? 24

25 12 Gennaio (i) Si calcolino i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti, la forma normale, il minimo numero di generatori e l annullatore dello Z-modulo M = Z 15 Z 63 Z 49. (ii) Siano S, R due anelli, f : S R un omomorfismo, M un R-modulo. Si dimostri che M risulta un S modulo rispetto al prodotto: s m := f(s)m, s S, m M. 2. Si consideri lapplicazione lineare α : R 3 R 3 tale che x 2y 2z y z 3y 2z y. (i) Si scriva la matrice A di α rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 }; (ii) si calcolino autovalori e autospazi di A, la sua forma di Jordan e la sua forma canonica razionale; (iii) si trovino la matrice B di α rispetto alla base {e 3, e 1, e 2 }, e una matrice P tale che P 1 AP = B. 3. Si dia una dimostrazione diretta dei seguenti enunciati: 6Z 45Z = 90Z, 6Z + 45Z = 3Z. 4. (i) Si trovi A Mat 3 (Q) avente polinomio minimo x 2 1. Esiste B Mat 3 (Q), non coniugata ad A, avente lo stesso polinomio minimo? Se sì, se ne indichi una, spiegando perchè non è coniugata ad A. (ii) Sia λ un autovalore di una matrice C. Si dimostri, per induzione, che λ n è autovalore di C n per ogni intero n 0. 25

26 22 Marzo a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 150, precisando di ciascuno l annullatore e il minimo numero di generatori; b) si dica se il sottogruppo < 2 > di (Q,, 1), generato da 2, è abeliano e se è isomorfo al gruppo (Z, +, 0) dei numeri interi. 2. Siano R un anello, M, M due R-moduli. M sia libero con base B = {m 1, m 2 }. a) Si dimostri che, per ogni applicazione f : B M esiste un unico omomorfismo di moduli f : M M la cui restrizione a B è f. b) Si mostri che B = {m 1, m 1 + m 2 } è base di M e si scriva la matrice di passaggio da B a B. ( ) 3 c) Dato m M con vettore coordinate m B = si calcoli m 2 B. 3. In Mat 3 (C), considerata la matrice A = a) si dica se è un suo autovettore; b) se ne calcolino autovalori, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale; c) si indichi una base di C 3 rispetto la quale l applicazione lineare v Av, per ogni v C 3, ha matrice diagonale. 4. Siano A, B due matrici di Mat n (Q). Si dimostri che, se esiste una matrice P GL n (C) tale che P 1 AP = B, allora esiste G GL n (Q) tale che G 1 AG = B. 26

27 10 Aprile a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 3 4, precisando di ciascuno l annullatore e il minimo numero di generatori; b) si dica se il gruppo additivo Z dei numeri interi è isomorfo a Z Z. 2. Siano R un anello, M un R-modulo libero con base B = {m 1, m 2, m 3 }. a) Si mostri che B = {m 1, m 1 + m 2, m 1 + m 2 + m 3 } è base di M e si scriva la matrice di passaggio da B a B ; b) detto α l R-omomorfismo la cui matrice, rispetto a B, è A = si determini α (m 1 + 4m 2 m 3 ). 3. In Mat 3 (C), considerata la matrice A = a) se ne calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale; b) si indichi una base di C 3 rispetto la quale l applicazione lineare v Av, per ogni v C 3, ha matrice diagonale. 4. Siano A, B due matrici di Mat n (Q). Si dimostri che se A è coniugata a B, allora A 2 è coniugata a B 2. 27

28 21 Giugno Si consideri il gruppo abeliano (Q, +, 0) come Z-modulo. a) Il sottoinsieme S = { 2, 7 3} è indipendente? Genera Q? b) Q è finitamente generato? Si giustifichi la risposta. 2. Si consideri la base B = 0 0 2, 1 1 0, di R3. 1) Si calcoli la matrice di passaggio P dalla base canonica di R 3 a B. x x 2) Dato un generico vettore y z R 3, si trovi y z. 3. Si dimostri che l applicazione f : Z Z 6 Z 8 tale che ( ) [z]6 z [z] 8 è un omomorfismo di Z-moduli. Si calcoli Ker f e si dica se f è suriettiva. 4. a) In Mat 4 (C) si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale di A è diagonalizzabile? A = b) In Mat 2 (C), si dica se sono coniugate le matrici ( ), ( ). B 28

29 12 Luglio 2012 ( 4 1. (i) In Q 2 si consideri il sottoinsieme S = { 1 ) ( 1, 3 ) }. Considerando Q 2 come Q-modulo, si dimostri che S è una sua base. Considerando Q 2 come Z-modulo, si dica se S lo genera. (ii) Sia Z 5 l anello delle classi di resti modulo 5. Il modulo regolare Z5 Z 5 è libero? Il gruppo abeliano (Z 5, +, [0] 5 ) è libero come Z-modulo? 2. (i) Si trovi una base B di V := Q[x] x come Q-modulo e si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V V tale che x f(x) x xf(x). 3. Data A = Mat 3 (C), si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan J e forma canonica razionale C di A. Quali sono gli autovalori di A 1? A è diagonalizzabile? A 1 è diagonalizzabile? 4. Siano A coniugata ad A, B coniugata a B. (i) Si dimostri che sono coniugate le matrici: ( A 0 0 B ), ( A 0 0 B (ii) Si dimostri che A 2 è coniugata ad (A ) 2. ). 29