Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari

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1 Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Cristina Turrini UNIMI /2016 Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 18

2 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 2 / 18

3 Applicazioni lineari Applicazioni lineari Siano V, W spazi vettoriali sullo stesso campo K. Consideriamo un applicazione f : V W. Si dice che f è lineare (o K-lineare) se u, v V, λ, µ K è: f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v), cioè f conserva le combinazioni lineari. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 3 / 18

4 Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari V spazio vettoriale, si può considerare l applicazione identica id V : V V; l applicazione identica è lineare. V, W, si può considerare 0 : V W, v 0 W. L applicazione nulla è lineare. sia V uno spazio vettoriale su K e B = {b 1,..., b n } una sua base (ordinata: qui e nel seguito parlando di base sottointenderemo sempre che lo sia); l applicazione definita da Φ B : V K n Φ B (v) = λ 1 λ λ n se v = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n, è lineare. Φ B associa ad ogni vettore le sue componenti rispetto alla base B (dette anche coordinate nella base B). Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 4 / 18

5 Applicazioni lineari V = K n, W = K m, A Mat m,n (K), L A : K n K m, (prodotto riga per colonna) x A x L applicazione L A viene detta applicazione associata alla matrice A e, per le proprietà del prodotto riga per colonna, è lineare. Se A Mat m,n (K) e B Mat n,p (K), allora si hanno le applicazioni L A : K n K m e L B : K p K n per cui si può considerare la composizione L A L B : K p K m. Risulta L A L B = L A B cioè l applicazione composta L A L B è l applicazione associata alla matrice A B Mat m,p prodotto riga per colonna di A per B. Se I = I m Mat m è la matrice identica, allora L I : K m K m è l applicazione identica. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 5 / 18

6 Applicazioni lineari Propriet`à delle applicazioni lineari Siano V, W, Z spazi vettoriali sul campo K. 1) f (0 V ) = 0 W 2) g : W Z. Se f, g sono lineari g f : V Z è lineare. 3) Se f è biunivoca, l applicazione inversa di f, f 1 : W V è lineare. TEOREMA - Siano V e W spazi vettoriali su K. Sia B = {b 1,..., b n } una base di V e siano w 1,..., w n W vettori comunque presi. Allora esiste una ed una sola applicazione lineare φ : V W tale che φ(b i ) = w i, i = 1,..., n Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 6 / 18

7 index Nucleo e immagine di un applicazione 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 7 / 18

8 Nucleo e immagine di un applicazione Nucleo e immagine di un applicazione lineare Siano V, W spazi vettoriali su un campo K e sia f : V W lineare. Si dice nucleo di f e si indica con ker(f ) l insieme dei vettori di V che hanno per immagine il vettore nullo. ker(f ) = {v V f (v) = 0 W } Si dice immagine di f e si indica con Im(f ) l usuale immagine dell applicazione. Im(f ) = {w W v V : f (v) = w} Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 8 / 18

9 Nucleo e immagine di un applicazione Proprietà a) ker(f ) V è un sottospazio. b) Im(f ) W è un sottospazio (verificarlo). f è iniettiva se e solo se ker(f ) = {0 V }, ossia f è iniettiva se e solo se dim(ker(f )) = 0. f è suriettiva se e solo se Im(f ) = W, ossia f è iniettiva se e solo se dim(im(f )) = dim(w). Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 9 / 18

10 Nucleo e immagine di un applicazione Teorema della nullità + rango TEOREMA - Siano V, W spazi vettoriali f.g. su un campo K, e sia f : V W lineare. Si ha: ( ) dim(v) = dim(ker(f )) + dim(im(f )). COROLLARIO - Sia f : V W lineare, con V, W f.g. e dim(v) = dim(w). Allora f è iniettiva se e solo se è suriettiva se e solo se è biunivoca. Dimostrazione f iniettiva se e solo se dim(ker(f )) = 0 se e solo se dim(v) = dim(im(f )) se e solo se dim(w) = dim(im(f )) se e solo se f suriettiva. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 10 / 18

11 index Isomorfismo di spazi vettoriali 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 11 / 18

12 Isomorfismo di spazi vettoriali Un applicazione lineare biunivoca si dice isomorfismo. ESEMPI id V : V V è un isomorfismo. se A è una matrice quadrata m m invertibile, allora L A : K m K m è un isomorfismo e l applicazione inversa di L A è (L A ) 1 = L A 1 fissata una base B = {b 1, b 2,..., b n } l applicazione Φ B : V K n definita in precedenza (e che associa ad ogni vettore le sue coordinate nella base B) è un isomorfismo. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 12 / 18

13 Isomorfismo di spazi vettoriali Siano V, W spazi vettoriali su un campo K. Si dice che V e W sono isomorfi, e si scrive V W, se esiste un isomorfismo f : V W. La relazione di isomorfismo è di equivalenza (verificarlo). TEOREMA - Due spazi vettoriali f.g. V e W sullo stesso campo K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n sono isomorfi a K n. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 13 / 18

14 index La matrice rappresentativa 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 14 / 18

15 La matrice rappresentativa Proprietà della trasformazione L A Sia A Mat m,n (K), siano K n, K m spazi vettoriali. Abbiamo visto che si può costruire L A : K n K m lineare, x A x = y. Si ha: ker L A = {x K n : L A (x) = 0 K m } = {x K n : A x = 0} = {soluzioni del sistema omogeneo A x = 0}. α 11 x α 1n x n = 0. α m1 x α mn x n = 0 ImL A = {y K m : x K n : y = L A (x)} = {y K m : x : A x = y} = {termini noti che rendono risolubile il sistema riportato qui sotto} α 11 x α 1n x n = y 1. α m1 x α mn x n = y m Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 15 / 18

16 La matrice rappresentativa L A ( x 1 x 2 ) = x 1 α 11 α 21.. x n α m1 I vettori colonna di A sono generatori di ImL A. + + x n α 1n α 2n. α mn. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 16 / 18

17 La matrice rappresentativa Costruzione della matrice rappresentativa Siano V, W spazi vettoriali sul campo K, con dim V = n, dim W = m, e siano A = {a 1,..., a n } una base (ordinata) di V, e B = {b 1,..., b m } una base (ordinata) di W. Scriviamo i vettori f (a 1 ),..., f (a n ) W come combinazioni lineari dei vettori della base B : f (a 1 ) = α 11 b 1 + α 21 b α m1 b m f (a 2 ) = α 12 b 1 + α 22 b α m2 b m. f (a n ) = α 1n b 1 + α 2n b α mn b m Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 17 / 18

18 La matrice rappresentativa Costruiamo la matrice A Mat m,n (K) le cui colonne sono le coordinate dei vettori f (a 2 ) nella base B: α 11 α 12 α 1n α A = 21 α 22 α 2n α m1 α m2 α mn Essenzialmente si ha f = L A. Ossia, se x è il vettore delle coordinate di v nella base A e y è il vettore delle coordinate di f(v) nella base B risulta y = A x. Ricapitolando: tutti gli spazi vettoriali f.g. sono del tipo K n ; tutte le applicazioni lineari tra spazi vettoriali f.g. sono del tipo L A. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 18 / 18