La notazione di Dirac

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1 La notazione di Dirac Marcello Colozzo 1 Introduzione. Il Teorema di Riesz Assegnato uno spazio di Hilbert H, consideriamo il suo spazio duale: 1 INTRODUZIONE. IL TEOREMA DI RIESZ H = hom(h,c), (1) Cioèglielementidi H sonogliomomorfismidahac(consideratospaziovettorialesucmedesimo): φ : H C (2) φ : ξ φ(ξ) C, ξ H detti anche funzionali lineari o forme lineari algebriche. Riesce: dim( H) = (dimh) (dimc) = dimh, (3) cioè H e H sono isodimensionali. Per un noto teorema, segue che essi sono isomorfi. Teorema 1 (Teorema di Riesz) dove, denota il prodotto scalare in H. φ ( H) =!ˆφ H φ(ξ) = ˆφ,ξ, ξ H (4) Dimostrazione. Facciamo riferimento alla fig. 1, dove è visibile l azione di un elemento φ ( H) su un qualunque vettore ξ di H. Consideriamo il kernel dell operatore lineare φ: kerφ = {ξ H φ(ξ) = 0} (5) Come è noto, si tratta di un sottospazio di H la cui dimensione si dice nullità di φ: Se N (φ) = dimh def = n + si ha N (φ) = dimkerφ (6) kerφ = H = φ è il funzionale nullo : φ(ξ) = 0, ξ H In tal caso la(4) è immediatamente verificata dal vettore nullo di H e l asserto è banale. Consideriamo quindi N (φ) < n Riesce dove (kerφ) è il supplementare ortogonale di kerφ: H = kerφ (kerφ), (7) η (kerφ) η,ξ = 0, ξ kerφ (8) Per definizione di somma diretta, si ha: ( ) ξ H,! ξ kerφ,ξ (kerφ) kerφ (kerφ) ξ = ξ (ker) +ξ (kerφ) (9) 1

2 1 INTRODUZIONE. IL TEOREMA DI RIESZ Cioè, ogni vettore di H si decompone in modo univoco nella ( somma di un) vettore di kerφ e (kerφ). È univocamente definita la coppia ordinata di proiettori ˆπ kerφ, ˆπ (kerφ) : Poniamo avendosi Dalla (9) segue Applicando φ a primo e secondo membro della (13): ˆπ kerφ ξ = ξ kerφ, ˆπ (kerφ) ξ = ξ (kerφ), ξ H (10) ξ kerφ = ξ 1, ξ (kerφ) = λη, (λ C), (11) ξ 1,η = 0 (12) ξ = ξ 1 +λη, ξ H (13) φ(ξ) = φ(ξ 1 +λη) = φ è lineare φ(ξ 1 ) }{{} +λφ(η) = λφ(η) (14) =0 = ξ 1 kerφ Moltiplicando scalarmente primo e secondo membro della (13) per η: Per η 0 dividiamo membro a membro le (14)-(15): η,ξ = η,ξ 1 }{{} =0 = η (kerφ) +λ η,η = λ η,η (15) φ(ξ) η,ξ = φ(η) η,η, da cui che può essere scritta come Eseguiamo la posizione onde φ(ξ) = φ(η) η,ξ, ξ H, (16) η,η φ(η) φ(ξ) = η,η η,ξ φ(ξ) = ˆφ def (17) = φ(η) η, (18) η,η ˆφ,ξ, ξ H, con ˆφ (kerφ) {0} = ˆφ H univocamente definito dalla (18). Conclusione 2 In corrispondenza di un qualunque funzionale lineare φ dello spazio duale H, è univocamente definito un vettore ˆφ di H tale che il valore assunto da φ su un arbitrario vettore ξ di H, è dato dal prodotto scalare di ˆφ per ξ. La predetta corrispondenza è un applicazione Ω da H a H : Ω : ( H) H (19) Ω : φ ˆφ = Ω(φ), φ ( H) 2

3 1 INTRODUZIONE. IL TEOREMA DI RIESZ Ξ Φ Φ Ξ Figura 1: Un elemento φ dello spazio duale H, associa al vettore ξ lo scalare φ(ξ). 3

4 1 INTRODUZIONE. IL TEOREMA DI RIESZ Dalla (18): Comunque prendiamo φ 1,φ 2 ( H): Chiaramente onde Cioè Ω(φ) = φ(η) η,η η, η (kerφ) {0} (20) Ω(φ 1 ) = φ 1(η) η,η η, Ω(φ 2) = φ 2(η) φ = φ 1 +φ 2 = φ ( H), Ω(φ) = [φ 1(η)+φ 2 (η)] η = φ 1(η) η,η η,η η + φ 2(η) η,η η η,η η (21) Ω(φ) = Ω(φ 1 )+Ω(φ 2 ), φ 1,φ 2 ( H) (22) Inoltre, comunque prendiamo φ ( H) e λ C si ha (λφ) ( H). Segue ovvero Le (22)-(23) possono essere inglobate in Ω(λφ) = λ φ(η) η,η η, Ω(λφ) = λ Ω(φ), φ ( H), λ C (23) Ω(λφ 1 +µφ 2 ) = λ Ω(φ 1 )+µ Ω(φ 2 ), φ 1,φ 2 ( H), λ,µ C (24) La proprietà (24) implica che l applicazione Ω che associa il funzionale φ al vettore ˆφ è antilineare. L azione di Ω è illustrata in (2). L applicazione (19) è invertibile: Ω 1 : H ( H) (25) Ω 1 : η ˆη = Ω 1 (η), η H ed è facile convincersi che Ω 1 è a sua volta antilineare. Conclusione 3 Abbiamo dunque una corrispondenza biunivoca tra uno spazio di Hilbert e il suo duale: a ogni φ ( H) corrisponde univocamente ˆφ H tale che φ(ξ) = ˆφ,ξ, ξ H. Viceversa, a ogni η H corrisponde univocamente ˆη ( H) tale che ˆη(ξ) = η,ξ, ξ H. Osservazione 4 Chiamiamo la predetta corrispodenza biunivoca, corrispondenza duale. In simboli: η H CD ˆη ( H), (26) dove CD sta per corrispondenza duale. 4

5 1 INTRODUZIONE. IL TEOREMA DI RIESZ Φ Φ Figura 2: Ad ogni funzionale φ ( H) possiamo associare univocamente attraverso un applicazione antilineare Ω un vettore ˆφ H tale che φ(ξ) = ˆφ,ξ, ξ H. 5

6 2 LA NOTAZIONE DI DIRAC 2 La notazione di Dirac Fino ad ora abbiamo denotato gli elementi di H con simboli del tipo: ξ,η,... (27) e gli elementi di H con simboli del tipo φ,ψ,... (28) Dirac, invece, indica gli elementi di H con simboli del tipo: ξ, η,... (29) e li chiama vettori ket. Un qualunque funzionale φ ( H) Dirac lo indica con φ e lo chiama vettore bra. Ricapitolando: ξ H, φ ( H) (30) Come indichiamo con questa notazione il valore assunto da φ su ξ, cioè lo scalare φ(ξ)? La risposta più ovvia è: φ ξ e si legge bra(c)ket. La (26) nella notazione di Dirac si scrive: η H CD η ( H) (31) con η ( H) η ξ = valore assunto dal funzionale lineare η su ξ (32) In altri termini, non utilizziamo più il simbolo ˆη per denotare il funzionale univocamente associato al vettore η, bensì il simbolo η. Per quanto precede, si ha: φ ξ = valore assunto dal funzionale φ sul vettore ξ H (33) Per il teorema (1):!ˆφ H φ ξ = ˆφ,ξ, ξ H (34) Tuttavia φ ξ = ˆφ,ξ è un espressione ibrida, nel senso che il primo membro è in notazione di Dirac, mentre il secondo membro è in notazione usuale. Per uniformità di notazione, dovremmo scrivere: φ ξ = φ, ξ Tale identità suggerisce semplicemente di adottare il simbolo φ ξ per il prodotto scalare tra i vettori φ, ξ H. Quindi in generale, comunque prendiamo i vettori ket ξ, η H, il loro prodotto scalare lo denotiamo con η ξ. Per definizione di prodotto scalare in uno spazio di Hilbert, si ha: η ξ = ξ η (35) Dalla antilinearità di Ω 1 : Ω 1 (λη) = λ Ω 1 (η), che nella notazione di Dirac si scrive: Ω 1 (λ η) = λ Ω 1 ( η) = η λ Cioè λ η CD η λ (36) Vediamo come si esprimono alcune operazioni tipiche utilizzando la notazione di Dirac. 6

7 2 LA NOTAZIONE DI DIRAC 2.1 Componenti di un vettore in una base ortonormale Sia data una base ortornormale: {e k } H e k,e k = δ kk, con k,k = 1,2,...,n = dimh, (37) essendo δ kk la delta di Kronecker. Abbiamo ξ H =!(c 1,c 2,...,c n ) C n ξ = dove c 1,...,c n sono le componenti del vettore ξ nella base (37): c k e k, c k = e k,ξ, k = 1,2,...,n, (38) che si ottiene moltiplicando scalarmente per e k primo e secondo membro di ξ = c k e k Infatti: cioè la (38). Segue: Passando alla notazione di Dirac: che può essere scritta come: Ciò implica e k,ξ = c k e k,e k = k =1 ξ = ξ = c k δ kk, k =1 e k,ξe k (39) e k e k ξ, (40) ( ) ξ = e k e k ξ, ξ H (41) e k e k = ˆ1, (42) dove ˆ1 è l operatore identità. La (42) è nota come relazione di completezza in H, nel senso che esprime la completezza del sistema di vettori { e 1,..., e n }. D altra parte il proiettore lungo e k è: giacché ˆπ k = e k e k, (43) ˆπ k ξ = e k e k ξ, ξ H, ovvero la componente di ξ nella direzione di e k. Ne consegue che la relazione di completezza può scriversi: ˆπ k = ˆ1, come appunto deve essere. 7

8 2 LA NOTAZIONE DI DIRAC 2.2 Prodotto scalare in termini di componenti. Presi i vettori ξ = e k e k ξ, η = e k e k η, (44) il prodotto scalare si può formalmente scrivere: η ξ = η (ˆ1 ξ ) = η ˆ1 ξ Tenendo conto della (42): ( ) η ξ = η e k e k ξ = η e k e k ξ = η e k e k ξ Per la (35): η ξ = e k η e k ξ (45) Se η = ξ otteniamo il quadrato della norma di ξ: ξ 2 = e k ξ e k ξ = e k ξ 2 (46) 2.3 Cambiamento di base Siano{ e k }e{ e k }duebasiortonormalidiunostessospaziodihilberth. Ivettori e k siesprimono come combinazione lineare dei vettori della prima base. Lo sviluppo si ottiene facilmente osservando che formalmente possiamo scrivere: e k = ˆ1 e k (47) Ma ˆ1 = Σ h e h e h, per cui e k = e h e h e k = α hk e h, (48) dove elemento di matrice di che è la matrice di passaggio dalla base { e k } alla base { e k }. Riesce α hk def = e h e k, (49) P = (α hk ), (50) P M C (n), (51) 8

9 2 LA NOTAZIONE DI DIRAC essendo M C (n) lo spazio vettoriale i cui elementi sono le matrici quadrate di ordine n sul campo complesso. Viceversa: e k = ˆ1 e k (52) Esprimiamo l operatore identità nel seguente modo: ˆ1 = e h e h, (53) per cui e k = essendo elemento di matrice di e h e h e k = α hk e h, (54) α hk = e h e k, (55) P = (α hk), (56) quale matrice di passaggio dalla base { e k } alla base { e k}. Per stabilire il legame tra le matrici P e P riscriviamo la (54): e k = α hk e h (57) Fissiamo ora la nostra attenzione sulla (48). Ridefiniamo l indice muto della sommatoria: e k = α ik e i, i=1 e l indice libero k: e h = α ih e i (58) che va sostituita nel secondo membro della (57): i=1 e k = = α hk i=1 i=1 α ih e i α hkα ih e i Cioè D altra parte onde la (59) diventa: α hkα ih e i e k = 0 (59) i=1 e k = δ ki e i, (60) i=1 α hkα ih e i δ ki e i = 0 i=1 i=1 9

10 2 LA NOTAZIONE DI DIRAC Invertendo l ordine delle sommatorie: ( ) α hkα ih δ ki e i = 0 (61) Definiamo gli scalari: λ (k) i = i=1 (α hkα ih ) δ ki, i = 1,2,...,n per un assegnato k {1,...,n} (62) In tal modo la (61) diventa: i=1 λ (k) i e i = 0 = λ (k) 1 = λ (k) 2 =... = λ (k) n = 0, k {1,2,...,n}, giacché { e i } è linearmente indipendente. Dalla (62): α hkα ih = δ ki P P = 1, (63) essendo 1 la matrice identità di ordine n. Allo stesso modo si dimostra Ne concludiamo che P è la matrice inversa di P: PP = 1 (64) P = P 1 (65) 10