Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

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1 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca r (la parallela a r passante per A). Dimostrazione. Per definizione esistono un punto x 0 e un vettore v 0 per cui r = {x 0 + tv : t K}, e non esiste t K per cui x 0 + tv = A (dato che r non passa per A). La retta r = {A + tv : t K} passa certamente per A. Supponiamo che r r. Allora esistono t 1, t 2 K tali che e quindi A + t 1 v = x 0 + t 2 v r r, A = x 0 + (t 2 t 1 )v = A r che è assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca r. Supponiamo di avere due rette s e s tali che s r = e s r = e passanti per A. Allora si possono scrivere con le equazioni s = {A + tw} e s = {A + tw }. Per la proposizione (15.8) le due rette coincidono se e solo se w e w sono linearmente dipendenti. Analogamente a quanto visto sopra, s r = se e solo se non esistono t 1 e t 2 K tali che A + t 1 w = x 0 + t 2 v, cioè se e solo se l equazione vettoriale (nelle incognite t 1 e t 2 ) t 1 w t 2 v = x 0 A non ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore x 0 A non appartiene al sottospazio di K 2 generato da w e v. Ora, se v e w sono linearmente indipendenti allora tale sottospazio coincide con K 2, per cui la soluzione c è. Affinché la soluzione non esista è necessario che v e w siano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che w è necessariamente multiplo di v. Dato che lo stesso vale per w, risulta che w e w sono linearmente dipendenti e quindi s = s. Osserviamo che valgono le seguenti proprietà: Se X è un piano affine, allora (i) Per ogni due punti distinti passa una unica retta. (ii) Per ogni retta r e punto A r, esiste una unica retta per A che non interseca r (detta parallela). (iii) Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate. (15.10) Esempio. Sia GF (p k ) il campo finito di ordine p k (prossimo anno, algebra). Primo p 2. Allora, A 2 (GF (p k )) è un piano affine sul campo GF (p k ). Se Per p = 2, k = 1, A 2 (GF (2)) quanti punti ha? Quante rette? Che legame ha con un tetraedro? (15.11) Nota. Segue che esiste una relazione di equivalenza tra rette (relazione di parallelismo: r s r = s r s = ). In particolare, un piano affine ha una struttura di incidenza, nel senso che si ha un insieme P di punti, un insieme R di rette, e una relazione di appartenenza : P R {0, 1}. D.L. Ferrario 2006-mag-10 61

2 mag-10 Geometria e Topologia I (U1-4) (15.12) Nota. Supponiamo che una retta di un piano affine X abbia un numero finito di punti, n (deve essere n 2) perché... Il piano si dice di ordine n. Dimostriamo che tutte le rette hanno n punti, che per ogni punto passano n + 1 rette, e che in totale ci sono n 2 punti e n 2 + n rette. Dimostrazione. Sia r la retta con n punti e sua P un punto non su r (che esiste per il (iii)). Sia x il numero di rette per P e n il numero di punti di r. Delle x rette, una sola è parallela a r (per (ii)); le x 1 rette hanno intersezione con r e passano per P. Let intersezioni delle rette con r sono necessariamente distinte, per cui x 1 n. D altro canto per ogni punto R di r esiste una unica retta passante per R e per P (e queste rette sono tutte distinte): quindi x 1 n, cioè per ogni punto non sulla retta r passano n + 1 rette distinte. Ora, siano P e Q due punti distinti. Per (iii), esiste sicuramente una retta l che non contenga né P né Q (altrimenti, tutte le rette contengono almeno P oppure Q: tutte le rette intersecano la retta per P e Q: non ci possono essere punti al di fuori di questa retta (per l assioma delle parallele): tutti i punti sono allineati). Il numero di rette per P e Q è uno in più del numero di punti di l, e dunque il numero di rette per P è uguale al numero di rette per Q. Ora, se l è una retta e la retta r ha n punti, allora scegliamo un punto P non su l e non su r (ancora, P deve esistere per (iii), altrimenti tutti i punti sono in l r, e quattro punti distinti necessariamente contengono tre punti allineati... ). Segue che r e l hanno lo stesso numero di punti, e per l arbitrarietà di l la tesi. Ora, se x è il numero totale di punti e y il numero totale di rette, abbiamo: ny = (n + 1)x (15.13) (contando i punti al variare delle rette, alla fine ogni punto è stato contato esattamente n + 1 volte). Ma possiamo contare anche le rette con le coppie di punti distinti: per ognuna delle x(x 1)/2 coppie di punti distinti c è una retta, ed ogni retta è contata n(n 1)/2 volte in questo modo. Dunque x(x 1) = yn(n 1). (15.14) Risolviamo le due equazioni (15.13) e (15.14) otteniamo subito x = n 2 e y = n 2 + n. (15.15) Esempio. Quadrato magico di ordine n: matrice n n con i numeri {1, 2,..., n} in cui ogni riga e ogni colonna contiene ogni numero esattamente una volta. = le somme delle righe e delle colonne sono uguali a n(n + 1)/2, oppure, se si somma k Z ad ogni coefficiente della matrice, n(n + 1)/2 + nk. La tabella di moltiplicazione di un gruppo G di ordine n è un quadrato magico:... Un piano affine di ordine n genera n 1 quadrati magici n n: fissiamo un punto O del piano e due rette x e y distinte per O. Ci sono n = n 1 altre rette per O distinte, n rette parallele a x e n rette parallele a y. Sia z una delle n 1 rette per O diversa da x e y. Allora i fasci di rette parallele saranno x 1,..., x n, y 1,..., y n e z 1,..., z n. Fissato z, appunto, sia A la matrice n n con coefficienti a i,j determinati da a i,j = k x i y j z k. Quindi al variare di z nell insieme delle n 1 rette per O otteniamo n 1 quadrati magici (esercizio (10.19)). C è anche la nozione di quadrati magici ortogonali che risolve alcuni interessanti problemi combinatorici mag-10 D.L. Ferrario

3 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag Sottospazi affini (16.1) Definizione. Sia X uno spazio affine e X lo spazio vettoriale su campo K associato. Se P X è un punto fissato di X e W X è un sottospazio vettoriale, allora il sottospazio S = {x X : x p W } di tutti i punti x per cui x P W si dice sottospazio affine passante per P e parallelo a W. Il sottospazio W si dice giacitura di S. La dimensione di S è per definizione la dimensione di W. (16.2) Nota. I sottospazi affini sono le orbite mediante l azione del sottospazio W, che agisce mediante traslazioni sullo spazio affine. Osserviamo anche che, seguendo la definizione (16.1), le rette sono proprio i sottospazi affini di dimensione 1. Inoltre non è difficile vedere che i punti sono i sottospazi affini di dimensione 0. I sottospazi di dimensione dim(x) 1 (codimensione 1 in X) si dicono iperpiani. I sottospazi di dimensione 2 si dicono piani. Se n = 3, piani e iperpiani coincidono. (16.3) Proposizione. Se S X è un sottospazio affine con giacitura W X, allora è uno spazio affine con spazio vettoriale associato S = W X Dimostrazione. Il gruppo additivo X agisce in modo fedele e transitivo su X per definizione, e dunque W X agisce in modo fedele e transitivo sulla sua orbita, che per definizione è S! (16.4) Proposizione. Siano P 1, P 2 X due punti di uno spazio affine X, W 1, W 2 X due sottospazi vettoriali e S 1 = P 1 + W 1, S 2 = P 2 + W 2 i due sottospazi affini passanti per P i con giacitura W i (i = 1, 2). Allora S 1 = S 2 se e solo se W 1 = W 2, P 2 S 1 e P 1 S 2. Cioè, un sottospazio affine è identificato da uno qualsiasi dei suoi punti e dalla giacitura. Dimostrazione. Supponiamo che S 1 = S 2. Allora è ovvio che P 1 S 2 e P 2 S 1. Vogliamo dimostrare che W 1 = W 2. Osserviamo che per definizione W 1 = S 1 P 1 e W 2 = S 2 P 2. Dato che P 1 S 1 = S 2, per definizione il vettore P 1 P 2 appartiene a W 2. Inoltre P 2 = P 1 +(P 2 P 1 ) da cui si trae che S 2 = P 2 + W 2 = P 1 + (P 2 P 1 ) + W 2 = P 1 + W 2 dato che w+w 2 = W 2 (come insiemi!) per ogni w W 2 (vedi esercizio (10.4)), ed in particolare per P 2 P 1. Ora, questo implica che S 1 = S 2 se e solo se P 1 + W 1 = P 1 + W 2 ma questo accade se e solo se W 1 = W 2. Viceversa, se P 1 S 2 e P 2 S 1 e W 1 = W 2, allora come sopra si può scrivere S 1 = P 1 +W 1 e S 2 = P 2 + W 2, e quindi S 1 = S 2. Osserviamo che la proposizione (16.4) generalizza la proposizione (15.8): basta considerare i sottospazi 1-dimensionali generati da v e w. D.L. Ferrario 2006-mag-10 63

4 mag-10 Geometria e Topologia I (U1-4) (16.5) Definizione. Consideriamo un insieme di d + 1 punti P 0, P 1,... P d in uno spazio affine X. Il più piccolo sottospazio affine S X che contiene tutti i punti P 0,..., P d si dice sottospazio affine generato dai d + 1 punti P 0,..., P d. (16.6) Nota. Dobbiamo dimostrare che la definizione (16.5) è ben posta, dal momento che potrebbe non esistere un sottospazio con la proprietà cercata. Vediamo come. (16.7) Proposizione. Il sottospazio affine di X generato da d + 1 punti P 0,..., P d X è il sottospazio passante per P 0 e con giacitura P 0 P 1, P 0 P 2,... P 0 P d X, e non dipende dall ordine con cui i punti P 0,..., P d sono stati scelti. Dimostrazione. Sia S il sottospazio affine di X passante per P 0 e con giacitura W = P 0 P 1, P 0 P 2,... P 0 P d X. Si ha ovviamente P 0 S e, inoltre, per ogni i P i S dato che per ogni i = 1,... d si ha P i = P 0 + (P i P 0 ) P 0 + W = S (per definizione P i P 0 W ). Quindi S contiene tutti i punti P 0,..., P d. Supponiamo che S sia un altro sottospazio affine contenente i punti P 0,..., P d. In particolare, P 0 S, per cui esiste W X tale che S = P 0 + W. Dal momento che per ogni i = 1,..., d P i S, e quindi P i P 0 W, W = P 0 P 1, P 0 P 2,... P 0 P d W. Cioè S è contenuti in ogni sottospazio affine contenente i d + 1 punti. Sia ora S il sottospazio affine costruito a partire da una permutazione dei d + 1 punti esattamente come S. Allora l argomento di sopra si applica sia a S che a S, per cui S S e S S, cioè S = S. (16.8) Nota. Consideriamo d + 1 punti x 0, x 1,..., x d nello spazio affine X. A priori non ha senso scrivere la somma λ i x i =? per dei coefficienti λ i K, dal momento che non abbiamo definito prodotto di uno scalare λ i per un punto x i (potremmo farlo solo moltiplicando vettori con scalari, non punti con scalari). Però, si può prendere un punto qualsiasi z X e definire tale somma solo nel caso d λ i = 1: ( ) λ i x i = λ i ( zx i ) + λ i z = λ i ( zx i ) + z Possiamo in questo modo definire il baricentro di d + 1 punti, interpretando λ i come masse (più propriamente, densità di massa) mag-10 D.L. Ferrario

5 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag (16.9) Definizione. In uno spazio affine di dimensione n, si dice che d + 1 punti sono indipendenti se la dimensione del sottospazio affine generato è d, altrimenti si dicono dipendenti. È chiaro che se sono indipendenti, allora d n. Due punti sono dipendenti se e solo se coincidono. Tre punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad una stessa retta (e si dicono allineati. Analogamente, quattro punti sono indipendenti se non sono contenuti in un piano, per cui quattro punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad uno stesso piano. (16.10) d + 1 punti x 0, x 1,..., x d sono dipendenti se e soltanto se esistono λ 1,..., λ n non tutti nulli tali che d λ ix 0 x i = 0. Dimostrazione. Segue dalla definizione. (16.11) Nota. Due punti distinti nel piano sono sempre allineati. È vero che tre punti nello spazio sono allineati (dipendenti) se e soltanto se il determinante della matrice 3 3 delle loro coordinate è nullo? Quale direzione della doppia implicazione è vera e quale no? (16.12) Definizione. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n 1. Un riferimento affine in X è (equivalentemente): (i) Una scelta di n + 1 punti di X linearmente indipendenti. (ii) Una scelta di un punto x 0 di X e di n vettori indipendenti di X (cioè, di una base per X, visto che dim( X ) = dim(x) = n). (16.13) (Equazioni parametriche) Sia S X un sottospazio affine. Allora se si sceglie un riferimento affine x 0, x 1,..., x d S si può scrivere S mediante le equazioni parametriche come o anche come S = {x 0 + i=1 x = x 0 + t i x0 x 1 : t i R}, i=1 t i x0 x 1 (16.14) Nota. Ritroviamo qui le equazioni parametriche di rette (x = x 0 + tv) e piani (x = x 0 + sv + tw). D.L. Ferrario 2006-mag-10 65