Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari

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1 Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari 1. Sottospazi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari; ovvero u, w W, α, β C αu + βw W. 1.1 Osservazione. Siano V uno spazio vettoriale su C ed U e W due suoi sottospazi. Allora U W è un sottospazio di V. Più in generale, data una qualsiasi famiglia di sottospazi di V, la sua intersezione è ancora un sottospazio di V. Se l intersezione di due (o più) sottospazi vettoriali è ancora uno sottospazio vettoriale, non è vero, in generale, che l unione di due sottospazi sia ancora un sottospazio. Introduciamo quindi un nuovo concetto, quello di sottospazio generato da un insieme. Definizione. Sia S un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V. Si chiama sottospazio generato da S il minimo sottospazio S, contenente il sottoinsieme S, ovvero l intersezione di tutti i sottospazi che contengono S.

2 Possiamo descrivere in modo esplicito gli elementi del sottospazio generato da un sottoinsieme S : S = { α 1 s α k s k α 1,..., α k C, s 1,..., s k S, k N }. Grazie alla nozione di sottospazio generato, possiamo definire un operazione tra sottospazi di uno spazio vettoriale che può essere pensata come l analogo dell unione tra sottoinsiemi. Definizione. Siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V. Si chiama somma di U e W il sottospazio U + W = U W = { u + w u U, w W }. Se, inoltre U W = 0, diremo che la somma dei due sottospazi è diretta e scriveremo U W in luogo di U + W. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale su C e U, W suoi sottospazi. Si ha V = U W se e solo se ogni vettore v V si scrive unicamente come v = u + w, con u U e w W. Difatti, se u + w = u + w, con u, u U e w, w W, sarebbe u u = w w U W = (0), cioè u = u e w = w. E viceversa, se 0 t U W e se v = u + w con u U e w W, sarebbe anche v = (u + t) + (w t) un altra scrittura.

3 Più in generale, se W 1,..., W r sono sottospazi di V, diciamo che la somma W = W W r è diretta se ogni v W W r si scrive unicamente come Si scrive allora v = w w r con w i W i i = 1,..., r. W = W 1 W r. è come dire che le somme parziali (W W i ) + W i+1 sono tutte dirette, per i = 1, 2,..., r 1. Difatti, supponiamo che la somma sia diretta. Allora, se v = w + w i+1 con w = w w i W W i e w i+1 W i+1, la scrittura w = w w i + w i+1 è unica, e quindi lo è anche la scrittura v = w + w i+1, con w W e w i+1 W i+1. Quindi la somma W + W i+1 è diretta pe ogni i. Viceversa, se le somme parziali (W W i ) + W i+1 sono tutte dirette, e se v = w w r si comincia col mostrare che la scrittura v = (w w r 1 ) + w r è unica, che è il caso r = 2 già dimostrato. Poi si ragiona per induzione r 1 r.

4 2. Indipendenza lineare. Basi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su C. Un sottoinsieme non vuoto S di V si dice formato da vettori linearmente indipendenti (o, più brevemente, indipendente) se, dati comunque dei vettori v 1,..., v r di S, a 1 v a r v r = 0 a 1 = = a r = 0. Ovvero se l unico modo di scrivere il vettore nullo come combinazione di elementi di S sia quello di prendere tutti i coefficienti uguali a zero. Dei vettori che non siano linearmente indipendenti si diranno linearmente dipendenti. ESERCIZIO 1. Sia V uno spazio vettoriale sul campo C. Si dimostri che (a) Il vettore 0 è linearmente dipendente. (a0 = 0 con a 0.) (b) Un vettore v è linearmente indipendente se e solo se v 0. (Se v 0 e a C, a 0, esiste a 1 C. Allora se av = 0 è v = (a 1 a)v = a 1 (av) = a 1 0 = 0. Contraddizione!) (c) Due vettori v, w sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno dei due è multiplo dell altro. (Se v, w sono linearmente dipendenti è av + bw = 0, con (a, b) (0, 0). Se, per esempio, a 0, si ha v = a 1 bw, cioè v è multiplo di w.)

5 Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su C. Una base di V è un insieme di generatori linearmente indipendenti dello spazio V. La seguente osservazione mette in luce l importanza delle basi tra tutti i possibili insiemi di generatori. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale su C e B una sua base. Allora ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di B. Il risultato fondamentale sulla struttura degli spazi vettoriali asserisce che ogni spazio vettoriale ammette una base e che ogni base di un dato spazio ha lo stesso numero di elementi, che chiameemo dimensione. Daremo ora una dimostrazione di questo risultato fondamentale soltanto nel caso degli spazi vettoriali finitamente generati. Attenzione! Non tutti gli spazi vettoriali sono finitamente generati. P. es. R è un Q-spazio vettoriale, non finitamente generato. Anche l R-spazio vettoriale F delle funzioni continue [0, π] R non è finitamente generato. Una base esiste sempre, ma non lo dimostriamo. Per esempio, l R-spazio vettoriale R[X] dei polinomi ha come base {1, X, X 2,... }. Si può anche parlare di dimensione. Per esempio, la dimensione di R su Q è la cardinalità del continuo ed è strettamente maggiore della dimensione di R[X] su R, che è numerabile.

6 Definizione. Uno spazio vettoriale V su C si dice finitamente generato se esiste un insieme finito di generatori per V. Teorema. [struttura degli spazi vettoriali] Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato sul corpo C. Allora esiste una base per V e due diverse basi di V hanno lo stesso numero di elementi. La dimostrazione discenderà subito dal seguente fatto Lemma. [Lemma di scambio] Sia {v 1,..., v n } un insieme di generatori per uno spazio vettoriale V su C e sia {w 1,..., w r } un insieme formato da vettori linearmente indipendenti di V ; allora r n. Lo voglio dimostrare in questa forma: Lemma. Sia {v 1,..., v n } un insieme di generatori per uno spazio vettoriale V su C. Allora n + 1 vettori w 1,..., w di V sono linearmente dipendenti. Dimostrazione Induzione su n. Per n = 0 è chiaro: in questo caso V = {0} e ogni vettore è 0, e quindi linearmente dipendente. Supponiamo di avere dimostrato il caso n 1. Mostriamo che vale il caso n. Scriviamo: per indicare il passo induttivo. Caso n 1 Caso n,

7 Allora, i = 1,..., n + 1, w i = n a ij v j, w i a i1 v 1 = n a ij v j Questi sono n + 1 vettori generati da n 1 vettori:si applica il caso il caso n 1 e dice che tale che per cui j=2 i = 1,..., n + 1, j = 1,..., n, λ (i) j R i j (diciamolo j(i)) tale che λ (i) j 0 λ (i) j (w j a j1 v 1 ) = 0, Addirittura possiamo sempre supporre che λ (i) i = 0, i = 1,..., n + 1, perchè già n vettori in uno spazio generato da n 1 sono linearmente dipendenti!

8 dice che Sviluppiamo quanto scritto: λ (i) λ (i) j (w j a i1 v 1 ) = 0, j w j = ( λ (i) j a i1 ) v 1 = A i v 1. Se A i = 0, per qualche i, diciamo i = i 0, abbiamo finito, dato che avremmo una combinazione lineare nulla dei vettori w 1,..., w, in cui almeno il coefficiente λ (i 0) j 0. Se invece A i 0 per ogni i, prendiamo due indici diversi i 0 i 1, con λ (i 0) i 1 0. Allora λ (i 0) j w j = A i0 v 1. λ (i 1) j w j = A i1 v 1. A i1 λ (i 0) j w j A i0 λ (i 1) j w j = 0. Si noti che il coefficiente di w i1 è A i1 λ (i 0) i 1 0. Fine della dimostrazione.

9 Possiamo quindi dare la seguente definizione. Definizione. Sia V un spazio vettoriale (finitamente generato) sul campo C. Si chiama dimensione di V su C il numero di elementi di una base di V su C. In particolare, si scriverà dim C V per indicare la dimensione dello spazio V. SI noti che la dimensione dipende anche dal corpo C. Per esempio, il corpo dei numeri complessi C = R + R i = R R i è uno spazio vettoriale di dimensione 1 su se stesso, ma 2 sul corpo R. Cioè dim C C = 1, dim R C = 2 Adeso deduciamo dal Lemma di scambio che Teorema Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C di dimensione n > 0. (a) Ogni insieme di generatori di V formato da n vettori, è una base. (b) Ogni insieme di n vettori linearmente indipendenti di V, è una base. (c) Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti di V può essere completato in una base. In particolare, ha al più n elementi. (d) Ogni insieme di generatori di V contiene una base. In particolare, ha almeno n elementi. Dimostrazione (a). Sia {v 1,..., v n } l insieme in questione. Se non è una base, è l.d.. Allora, per esempio v n è c.l. di {v 1,..., v n 1 }, che dunque è un insieme di generatori di V. Per il Lemma di Scambio, la dimensione di V è n 1. Contraddizione.

10 (b) Ogni insieme di n vettori linearmente indipendenti di V, è una base. Sia {v 1,..., v n } l insieme in questione. Se non è una base, vuol dire che c è un vettore w che non è c.l. dei v i. Allora, {v 1,..., v n, w} è l.i.; difatti aw + n a i v i = 0, i=1 darebbe a = 0 (w non è c.l. di v i ) e quindi ogni a i = 0 (i v i sono l.i.). Questo contraddice il Lemma di Scambio, perchè avremmo un insieme l.i. di n + 1 vettori in uno spazio generato da n. (c) Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti di V può essere completato in una base. In particolare, ha al più n elementi. Sia {v 1,..., v r } l insieme l.i. in questione. È r n, per il Lemma di Scambio. Se non è una base di V, esiste un v r+1 che non è c.l. dei {v 1,..., v r }. Allora {v 1,..., v r, v r+1 } è l.i. e r + 1 n. E cosí via. Dopo s = n r passi ci si deve fermare, perchè non ci sono n + 1 vettori l.i.. (d) Ogni insieme di generatori di V contiene una base. In particolare, ha almeno n elementi. Sia {v 1,..., v r } l insieme di generatori in questione. Scegliamo un insieme massimale di vettori scelti tra i v i che siano l.i.. Supponiamo siano {v 1,..., v s }, con s r. Se s = r, i {v 1,..., v r } sono una base per definizione. Altrimenti, v s+i, per i = 1,..., r s è c.l. dei {v 1,..., v s } e dunque lo spazio generato v 1,..., v r = v 1,..., v s, che allora è una base.

11 3. Relazioni di Grassmann Siano V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo C ed U e W due suoi sottospazi. Si ha dim C (U + W ) = dim C U + dim C W dim C (U W ) Dimostrazione Sia {v 1,..., v r } una base di U W e completiamola in una base e in una Allora {v 1,..., v r, u 1,..., u s } di U, {v 1,..., v r, w 1,..., w t } di W. {v 1,..., v r, u 1,..., u s, w 1,..., w t } è base di U + W. Difatti, siano U = u 1,..., u s e W = w 1,..., w t. Difatti, certo si tratta di un insieme di generatori di U + W. D altra parte, se si ha una c.l. a i v i i + j b j u j + h c h w h = 0, e se a i 0, per esempio, allora deve esserci sia un b j 0 che un c h 0. Idem se uno dei b j 0 o se uno dei c h 0. Quindi una tale c.l. deve avere coefficienti non nulli in ciascuno dei 3 tipi a i, b j, c h. In definitiva, sommando all interno dei 3 tipi diversi otteniamo a + b + c = 0, con a U W, b U e c W. Ma W W (U W ) (U W ), ma W (U W ) = (0) e dunque U W = (0). Similmente U W = (0) e quindi la somma (U W ) + U + W è diretta = (U W ) U W, e si ha che la sua dimensione è r + s + t.